数学の問題を出し合う場所コミュの整数の問題

3～4年くらい前に作った問題です。これも見た目重視な問題です(´∀`)

[問題]
自然数nに対して、nの各桁の数の和をS(n)、各桁の数の積をP(n)とする。ただしnが1桁の数の場合はS(n)=P(n)=nとする。n=S(n)+P(n)をみたすnをすべて求めよ。

例えば
S(19)+P(19)=(1+9)+(1×9)=19
ですので、n=19は題意の式をみたす数のひとつです。

コメント(4)

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[1] mixiユーザー 09月18日 02:45

試験期間というのに‥勉強が手に付かん

ということで参りました

（しろや～）
というわけで、あまり時間がないということを前提・言い訳にして途中までの答えを書きます

こちらの問題ですがこないだテスト中に

考えていたらあることに気付きました‥

それは例にあげられていた19のように『1の位が9の二桁の数
』は提示された条件をみたすということです

1の位が9の二桁の数で成り立っているとする
いま10の位を一つ大きくすると元の数より当然10大きくなる‥またS（n）は1大きくなりP（n）は9大きくなるので合わせて10大きくなるので成り立つ‥
となんかｷﾞｮｳｷﾞｮｳしいですが当たり前のことですね‥

さてさて‥
これでは、これ以上に解があるかは‥わかりません

‥他に2桁で解があるのでしょうか？そしてもっと桁が大きくなるとかなり困難なような気がします

3桁以上では不可能と思います‥が‥厳密な証明はしていません

[2] mixiユーザー 09月23日 15:39

n+1桁の自然数を
a0*10^n+…+an
と表すと、題意n=S(n)+P(n)は

a0*10^n+…+an
=Σk=0,n ak*10^(n-k)
=Σk=0,n ak+Πk=0,n ak

と表せる。Σ、Πの範囲は
k=下端,上端と書いた。
少しずつ変形して、

Σk=0,n-1 ak*10^(n-k)
=Σk=0,n-1 ak+Πk=0,n ak

Σk=0,n-1 ak*{10^(n-k)-1}
=Πk=0,n ak

これをみたすa0≠0となる数があるか、を調べることが題意をみたす自然数を調べること。

右辺
Πk=0,n ak
のakはすべて10未満である。したがって2<=nの場合、

Πk=0,n ak
=a0a1Πk=2,n ak
<a0a1Πk=2,n 10
=a0a1*10^(n-1)
<=a0*9*10^(n-1)
<a0*10^(n-1)*9.9…9(9がn個)
=a0*(10^n-1)
=[Σk=0,n-1 ak*{10^(n-k)-1}]のk=0の項
<=Σk=0,n-1 ak*{10^(n-k)-1}
より、右辺≠左辺となり矛盾。

Σk=0,n-1 ak*{10^(n-k)-1}
=Πk=0,n ak

2>n (n∈Ｎ∪{0})の場合、n=1の場合、

Σk=0,1-1 ak*{10^(1-k)-1}
=Πk=0,1 ak

a0*9=a0a1

a0≠0より

9=a1
a1=9

a0*10+9=a0+9+a0*9より、

a0*10=a0+a0*9
a0*9=a0*9

となって、a0=1,…,9は不定。
よって、2桁の場合、1の位=9であればよい。19,29,39,49,59,69,79,89,99

Σk=0,n-1 ak*{10^(n-k)-1}
=Πk=0,n ak

2>n (n∈Ｎ∪{0})の場合の、n=0の場合、

Σk=0,0-1 ak*{10^(0-k)-1}
=Σk=0,0 ak*{10^(0-k)-1}
(k=-1のakはないので。)
=Πk=0,0 ak

a0*0=a0
a0=0

より、1桁の場合、0となり自然数でないので、矛盾。

よって、答えはn*10+9 ,∀n∈{1,…,9}。

[3] mixiユーザー 09月23日 15:58

k=-1のakはないので。
の意味は、k<0のakは0であるので、という意味です。

a(-1)は10^(n+1)の位の数であり、自然数はn+1桁としているので
a0*10^n+…+an
=0*10^(n+1)+a0*10^n+…+an
=a(-1)*10^(n+1)+a0*10^n+…+an

より、a(-k)=0,∀k∈Ｎ。

[4] mixiユーザー 09月24日 03:51

> taka改めryanさん
> NS8000さん

ありがとうございます。答えは

19,29,39,49,59,69,79,89,99

の9つで正解です。NS8000さんの証明の通り3桁以上では

n>S(n)+P(n)

となり'='にはなりません。>2 では不等式評価はもう少し単純化できますが、僕の用意していた証明とほぼ同じでした。答えていただきありがとうございました(^^)

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