ZKセミナー・サロンコミュの数論セミナー第十回（6/21 sun）

左：鼻からニョロニョロを放出する某氏
中：ラムちゃんに癒されつつメモ取り
右：セミナー後のリラックスした雰囲気

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問題
(1) Rをデデキント環（ここでは，素イデアル分解ができる環）とする．A，BをRのイデアルとし，AがBに含まれるとき，A=BCとなるRのイデアルCが存在することを示せ．

(2) Rを環とする．A，B，CをRのイデアルとする．「AB=ACならばB=C」はどのような条件の下で成り立つか．

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§5.5ヘンゼルの補題，§5.3既約剰余類群の構造 by TKC

・Z/p^kZにおけるヘンゼルの補題はRCA_0で証明可能．
・既約剰余類群については簡単だしgdgdになってきたので切り上げ．一応まとめとくと，

1. 任意の既約剰余類群は素数冪の既約剰余類群(Z/p^eZ)^×の直積に分解できる．
2. p>2のとき，(Z/p^2Z)^×は巡回群．
3. p=2のとき，e=1,2のとき(Z/2^eZ)^×は巡回群，e>3のとき(Z/2^eZ)^×は2つの元から生成される．

途中の補題5.17, 21は大学入試の問題として使えそう．

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ミンコフスキーの定理 by TMSN
定式化さえできれば，証明に強い公理は必要ないぽ．

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フェルマーの最終定理の抽象度について．
この定理はどの体系で証明可能か．
一階算術，あるいは二階算術の弱い体系に，この定理を公理として加えたらどれくらい強くなるのか．この定理が証明されていない段階だったら，こういう研究がもっと面白かったかも．

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逆・代数について，論文の読み込みと基礎概念の再整理を行う．
Countable Algebra and Set Existence Axioms / Friedman, Simpson and Smith / Annals of pure and applied logic 25 (1983)
Ordinal Numbers and The Hilbert Basis Theorem / Simpson / The Journal of Symbolic Logic vol. 53, no. 3, Sept, 1988