通例、「場所」に関連する「前置詞+関係詞」(in/on/at whichなど)は関係副詞whereと交換できると教わりますが、それはあくまで前置詞の意味が聞き手にとって明確であるときのみです。
つまり、今回の文において、in whichをwhereに置き換えてしまうと、my walletを置いた正確な位置が少し曖昧になってしまいます。例えば、whereと交換すると、...the bag ON which I put my wallet.とも解釈できてしまい、鞄の「上」に財布を置いたことなってしまい文章が曖昧性を引き起こしてしまいます。
単純化すると、
This is the bag.
I put my wallet in the bag.
と並べたときに、in the bag がthereで置き換えられるか?ということだと思います。
ここではやはり、
This is the bag.
I put my wallet in it.
が適切で、
This is the bag.
I put my wallet there.
は不自然だと感じます。
関係詞で言えば、
表記の文、"This is the bag in which I put my wallet." が正しく運用された文だとして、
それを書き換えた場合の、"the bag where" というまとまりを見た瞬間 (聞いた瞬間) に何を思い浮かべるか、そして、それがwhere に続く語句を見た時にきちんと成立するか、というあたりが重要だと思います。
the bag where というまとまりで私がまず思い浮かべるのは、
"Put the bag where it belongs."
とか、
"Leave the bag where it is."
というようなものです。
(a/the) bagという名詞は"place" の下位概念には入りにくいと思われるので、少なくとも "container" として捉えられるような先行文脈が与えられないと、"the bag where SV"そのものを名詞句と捉えることが難しいのではないかと感じます。