この問題は生徒が学校で使うテキストに含まれていたものです(私学の子なのでおそらく市販のもの)。解説がないために生徒の質問に答えるのに時々困ってしまいます。 the day の前の前置詞についてですがもしかするとこちらのテキストからの写しミスかもしれません。しかし今は手元にそのテキストがないために確認できません。 が、この文の場合、onは必要ですね。
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"died the day he"…17.700
"died on the day he"…17.800
ですが、後者は"〜died. On the day he…"も含むため前者が多少多そうです。
前置詞がないと副詞的目的格に近い感覚がします。
yesterday、these days等、元々時を表す名詞は前置詞なしで目的語として機能していたけど、意味をハッキリさせるため後から前置詞が付いてきたってのが経緯だったかと思います。
個人的には、相対的な時を表す名詞は前置詞がない、つまり今を基準にしたtomorrow morningやlast year、the day before yesterdayのように形容詞句が後から付いて相対時制を表している場合には前置詞がない、と考えています。意味がハッキリするので。
すると今回は後者に近く、形容詞節がかかった<時>を表す名詞が副詞的に機能しているって感覚が非常に近い気がします。