魔方陣についてコミュの寺村周太郎著　魔方陣　第１巻～第３巻　について

自費出版されたという寺村周太郎著の魔方陣第１巻から第３巻を借りてきました。

各巻についての紹介記事をここに載せておこうと思います。

まず第１巻は４方陣について、その総数が８８０通りあることが克明に記されています。

・・・・計算機を使わず、一切を手計算で、全ての組合せを数え上げている点がスゴイ労力だったことでしょう。

まずは、魔方陣の１行分を構成する４個の数字の合計が３４になる組合せが、
　何通りあるか示されており
　　　　次に、２行目として、１行目の４個を除いた残りの１２個の数字の中　　　　で、合計が３４になる４組の数字の組合せが示されて、
　　さらに、３行目４行目にあたる、のこり８個の内の合計が３４になる
　　４個について小さい数字の方の組合せが全部示されており、

これで４方陣の４行分の４組の数字のとりうる組合せがすべて提示されていました。
　　この４行分のとりうる組合せから、さらに縦４列分を構成する組合せを求め
　さらに、対角方向についても、魔方陣が成立する組合せを求めることで

　２２０通りの基本形を求め、行列の入れ替えにより、対角線上の４組の数字の
組合せの変わらない魔方陣が４通り作れることから：

　　（例えば、１行目と２行目とを交換、３行目と４行目とを交換し
　　　　　それに１列目と２列目とを交換　３列目と４列目とを交換・・（a)
　　　　　　　　　　　これにより対角要素の組合せが変化しない。
　　　　他には、２行目と３行目の交換および　２列目と３列目との交換・・(b)
　　　　あるいは、この両者の組合せ（a)→(b)　、(b)→(a)　の４通り）

その総数が８８０通りになるということを示しています。

　１３２ページの本のうち、１２３ページまでが、この２２０通りの魔方陣に
至るまでに費やされていました。

１２４ページ以降には、４方陣の分類が掲げてあります。

補数同士の配置がどのようになるかで
　　　対称型３種類、平行型７種類、混合型２種類に分類されています。

対称型の３種類の内容は
・すべて補数どうしが中心から点対称の位置に配置されるもの(３ｘ１６通り）

例
01,14,15,04
08,11,10,05
12,07,06,09
13,02,03,16

・対角位置の補数同士は点対称配置。辺の数の補数は対角線の線対称位置に配置されるもの(３ｘ１６通り）
01,14,04,15
08,11,05,10
13,02,16,03
12,07,09,06

・縦横半分に割った２ｘ２の４区画について、
　　補数が対角位置に配置されているもの（３ｘ１６通り）
01,04,14,15
13,16,02,03
08,05,11,10
12,09,07,06

平行型７種類については
　　補数同士が同じ行に並ぶ組合せで
１列目の補数が４列目にくるもの(76x4通り）、

01,04,13,16
14,15,02,03
12,09,08,05
07,06,11,10

１列目の補数が　３列目にあるもの　４８ｘ２通り　
01,04,16,13
14,15,03,02
07,06,10,10
12,09,05,08
１列目の補数が２列目にあり、３列目の補数が４列目にあるもの　４８ｘ２通り
10,07,11,06
16,01,13,04
05,12,08,09
03,14,02,15

補数の配置が上の３種類の混在するもの４種類（５６ｘ４通り）
（ただし、１行目と４行目、２行目と３行目での配置は同じ位置関係）
03,01,16,14
15,13,02,04
06,08,11,09
10,12,05,07

14,01,16,03
09,08,11,06
04,13,02,15
07,12,05,10

13,15,04,02
01,03,14,16
12,10,07,05
08,06,09,11

08,09,06,11
01,14,03,16
12,07,10,05
13,04,15,02

混合型は、平行型と、対称型とを混ぜた形で次の２種類　各々８通り
　　上２行が平行型　
　　下２行が１列目と3列目とでたすきがけ、
　　　　２列目と４列目とでたすきがけ

01,02,16,15
13,14,04,03
12,07,09,06
08,11,05,10

1行目と３行目が平行型で１列目の補数が２列目に並び３列目の補数が４列目に　
２行目と４行目とが対称型として
　　　　　２行目１列目と４行目２列目とで、たすきがけの配置
　　　　　２行目２列目と４行目１列目とで、たすきがけの配置

01,16,02,15
12,09,07,06
13,04,14,03
08,05,11,10

この当時（この本は昭和３２年１１月に発行）本書をもって
４方陣は８８０通りあると総数についての議論に決着をつけよういう意図が
はしがきに示されていました。

”本書をもって４方陣の総数の決定版とし、出版資金の面の困難を克服して、あえて公表する次第である。”

　との記載があります。自費出版の苦労が、どんなにあったことでしょう。。。

経緯としては

フランスの　Bernhard Frenicle de Bessy (1602?～1675)が作った８８０個が
死後(1693)パリの学士院から出版されていたそうで、パズル王といわれたHenry Ernest Dudeneyがこの880個の構造を調べて、その分類法を発表している(1910)
著者は　Erenicleの目録などを見ることができないので、その真否を確かめようとして実際に４方陣の全作を試み、大正１５年(1926)　２月から１１月までかかってちょうど８８０個を作ったとのこと。

　その結果は、(1931) 日本中等教育数学雑誌第１３巻第３号で発表したが、その作り方については述べなかった。
　そのため、４方陣の総数が８８０個であることの実証を示すように促されたり、８８０個よりもわずかに多くあるかのように書いた論文がでたり、多少疑惑の眼をもってみられているようであったとのことでした。

　また、他の人からも８８０通りあることがしめされたりしていたのだが、その方法が巧妙であったり、また細部が省略されているために、見る人には、依然として疑問を残すであろう。著者が８８０通りを確認してから、すでに３０年あまりも経過しているにもかかわらずこのような状態であるので、この問題の為に労力や時間の浪費を繰り返すことなく、さらに進んだ方向に研究の矛先を指向していただきたいとのことでした。

以上で第１巻についての紹介を終わります。

コメント(4)

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[1] mixiユーザー 09月19日 04:21

第2巻は　５方陣の重方陣というものの総数を調べた結果が示されています。

　結論として、基本形として６０５種あることが示されています。

重方陣というのは、５方陣の内側３ｘ３区画も、３方陣になって、魔方陣が内外２重になっているものをいいます。

例
15,22,01,24,03
06,18,07,14,20
05,09,13,17,21
16,12,19,08,10
23,04,25,02,11

この中央部３ｘ３区画は
18,07,14
09,13,17
12,19,08

13の周囲に、足して26になる補数同士が配置され
中心を通る直線上にある３個の数字の和は３９
周囲１行目３行目１列目3列目の３個の数字の和も
39に等しい３方陣になっています。

中央３方陣をそのまま固定しておいて、周囲の数字の配置を
回転、裏返しで８通り
また、補数同士の組合せの入れ替えが３６通り可能であり、
また
１行目と２行目の交換と、４行目と５行目の交換　および
１列目と２列目の交換と、４列目と５列目の交換　によって

18,06,07,20,14
22,15,01,03,24
09,05,13,21,17
04,23,25,11,02
12,16,19,10,08

このような別種の重方陣ができあがることから

一つの基本形から、３６ｘ８ｘ２＝５７６通りの重方陣が作れることが
示されています。
　これにより、６０５ｘ５７６＝３４８４８０個の重方陣が作れることになります。

　重方陣の総数としては、著者は
J.C.Burnett が　Nature Vol.116(1925) P.573に６０５個を発表しているとの情報を、阿部楽方から受けたそうです。

著者が、この重方陣を全作し、その確認を済ませたのは、大正１５年の６月頃だそうで、発表は、昭和５年(1930)東京物理学校雑誌に載せたそうで、誤植により、故浦田繁松氏に誤りの指摘を受けたとの経緯があったそうです。

６方陣の重方陣（内部に４方陣を含んでいる物）についても２種類、言及されています。

【A型】４方陣を、１１から２６までの連続した（１から３６までの内の中央部の１６個の）数字で構成したものの総数：１４０ｘ８８０ｘ４！^2ｘ８＝567705600通り

【B型】１から３６までを順に、６ｘ６の正方形に並べた時の中央４ｘ４区画にくる数字（8,9,10,11, 14,15,16,17,20,21,22,23, 26,27,28,29 )　の１６個で４方陣を構成した場合についての総数は不明になっていますが、基本形が８９種あり
８９ｘ4!^2ｘ８＝410112の整数倍になるそうです。
　中央の４方陣の構成方法については、とりうる数字の組合せが他にも選べることが示されています。

７方陣での重方陣　（３重方陣：　３方陣、５方陣を内包）についても
同様の構成方法が示されています。
　A型で基本形（５方陣の外側の周囲部分）が１８５通りあるそうで、これに
５方陣の重方陣の総数との組合せ方で、総数は
185x605x3!^2x5!^2x8^2＝　3713402880000通りになるそうです。
【A型】
46,01,02,03,41,42,40
45,35,13,14,32,31,05
44,34,28,21,26,16,06
07,17,23,25,27,33,43
12,20,24,39,22,30,38
11,19,37,36,18,15,39
10,49,48,47,09,08,04
【B型】
46,44,05,01,03,48,28
08,27,38,09,40,11,42
35,16,32,17,26,34,15
07,13,19,25,31,37,43
21,30,24,33,18,20,29
36,39,12,41,10,23,14
22,06,45,49,47,02,04

重方陣については、古くから研究されてるそうで、多くの文献が示されてました。
　古くは中国1275年の文献(楊輝：楊輝算法）があり、西洋でも：
Authore Michael Stifelio: Arithmetica integra,Nurnberg 1544.
　重方陣のことを　Stifelshe Quadrateというようになったそうな。

　日本では、　関孝和　1683年の文献(方陣之法）他
　1661年からの文献がいろいろ示されていました。

以上、第２巻についてはここまで。

[2] mixiユーザー 09月19日 04:56

第３巻は、対称５方陣　について述べています。

　その総数が３０３４種ｘ１６＝４８５４４通りであることを示しており

その３０３４種類を全部、図示することに１１ページから１６２ページまで
　使っていて、１７０ページの本の大半が占められています。

対称なので、行列変換で対角線上の数字の組合せが変わっても、
対称性が保たれているかぎり対角和の変化はありません。

・元々の配置　（1,2,3,4,5)
・２行目と４行目の交換　（1,2,3,4,5)⇒(1,4,3,2,5)
・１行目と２行目の交換　および、　４行目と５行目の交換
（1,2,3,4,5)⇒(2,1,3,5,4)
・上２つの合成　（1,2,3,4,5)⇒(4,1,3,5,2)

この４通りの置換について、同じ置換の組合せが列側についても４通りあり
計４ｘ４の１６通りが基本形から得られます。

・・・・ここに示された結果と、私の計算結果とが一致してほっとしました。
http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=6368400&comm_id=297396

　今日のPCでも、数分はかかる仕事を手作業だけでやってのけたのですから、大変なことだと思います。まして、それを出版しようとするのも大変な労力だったでしょう。ひたすら、証拠というかエビデンスを残そうとした本だったと思います。

[3] mixiユーザー 09月19日 05:38

第２巻の巻末に載せてある文献の中から

高木貞治：数学小景,1943 について次のように示されています。

　魔方陣という１章が設けられ、その中に同心方陣という名称で重６方陣の作り方が解説してある。その中でつぎのように述べられているのは傾聴に値する．

「現今では魔方陣は学者の好奇心をそそる魅力さえも失った．nxn目の魔方陣が，自由に作られるやうになったからである．しかし，神秘を軽蔑する為には，自ら神秘を征服せねばならない．科学に対する他力信心は迷信を距ること遠くない。かういふ考へから,魔方陣の征服を試みよう．魔方陣其の物はくだらないものだが，魔方陣製作法の中には，学問上の興味が若干ある………このやうにして,同心方陣ともいうべき任意目数の偶数方陣が作られる．くだくだしいから説明しないが根気よくやれば,必ずできる．かういふ賃仕事はつまらない」
　このように「くだらない」とか「つまらない」とかを連発しながらも全くこれを棄て去ることができず「神秘を征服した」かと思うと，すぐそのあとから新たな神秘性が顔を出すのが魔方陣の魔方陣たる所以で未解決の分野はまだまだ広大無辺であって「神秘を征服した」などというには程遠いことをこちわっておく．

[4] mixiユーザー 09月20日 11:44

重方陣という言葉は知りませんでした。

それにしても、凄い本ですね

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