ゲーム理論コミュのお見合いゲーム

少し前の芸能番組に、こんなものがありました。

独身の芸能人が恋人募集をします。
応募をしてきた男性が、順番にスタジオに登場します。
芸能人の彼女は、この人なら良い、と思ったら ○ をあげますが、そうしたら以後の男性には
会うことなくゲームが終了します。

このゲームのキモは、応募してきた男性が何人いるのか、彼女は全く知らないで、○ と ×の
判定を下さなくてはならないことです。
×××…と続いて、もしかしたら、もう次は無いかもしれない。
でもここで ○ をあげても、あとにもっと良い人が沢山いるかもしれない。葛藤するわけです。

このお見合いゲーム、意思決定をする最適戦略ってあるのでしょうか。
あるいは、どのような戦略でのぞむのが良いのでしょうか。

確かに、○ と判断する判断基準はとても主観的で、しかもお見合いを重ねるほど相対的に
基準がぶれますから、最適戦略はないのかもしれません。
でもオークションゲームのような気もするし、何か戦略がありそうに思うのですが。

コメント(29)

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[1] mixiユーザー 12月09日 23:55

結婚は人生の墓場理論に従えば、
常に×を選択するのが最適戦略になります。

[2] mixiユーザー 12月10日 07:15

↑最適戦略に同意

[3] mixiユーザー 12月10日 07:49

墓場というのは「男性にとって」ではないかと…。

それはともかく、「○を出してもいいと思う相手が現れるまで×」のような回答ではなく「最初の二人は×で、３人目が今までの二人より良ければ○。これを一般化した式」のような回答が期待されてるのかな？

[5] mixiユーザー 12月10日 09:15

ミネルヴァの法則

[7] mixiユーザー 12月10日 09:28

自分もyuさんと同じ意見です。
独身芸能人は男性に対してある評価Viを形成する能力があるとします。
このゲームでは会場に来た男性の評価の分布がわからないことが問題となります。
評価の分布がわからない場合には、自分の一定の評価を越えた人に対して○をしますが、仮にその○をした男性の評価より高い評価の男性がいた場合後悔することになります。
そこで、このゲームでは応募した男性の数に限りがある以上、評価の分布は有限なので、事前に主催者に費用をかけて評価の分布を教えてもらえるよう交渉すればいいと思います。
主催者もそれに応じないインセンティブはないので、交渉に応じます。
よって彼女は評価の最高値となる男性をGetできるはずです！
費用はどのように支払われるかわかりませんが…笑

[8] mixiユーザー 12月10日 09:33

こういうのはヤラセだから、戦略もへったくれもないよ。

[9] mixiユーザー 12月10日 10:12

実際の結婚にも、こういう要素がありませんか？

[10] mixiユーザー 12月10日 11:41

何人で終わるかがわかっているか，もしくは平均何人で終わるかとその密度分布がわかっていないと最適戦略を決められないと思いますが，どうでしょう？？

こじん個人には最低ラインが存在するはずです．これを前提条件とするならば，これ以下の相手の場合は，あと何人かに拘わらずＮＯを選択する．そうでない場合，極端な話番組的空気がないとするならば，あるときボーダー以上の人が現れるとします．ここでもし期待値での残りの人数とその密度分布，もしくは明確に何人残っているかがわかれば自分の中の男性評価の確率密度分布に従って次の手を選択できますが，わからないとどうしようもないのではないでしょうか．

それかわからないならば，最低ラインではなく，文句ないラインにボーダーを設定するとかｗそのレベルに達したらＯＫでそうでなければＮＯの決め打ち

番組の空気(しかし自分は本気で相手を選ぶ)を考慮に入れるならば，プロデューサーならどう持ってくるかを考えながら戦略を決めることになるのではないでしょうか．

[11] mixiユーザー 12月10日 12:44

みなさん、コメントをありがとうございます。

ヤラセというのは、テレビの芸能番組としてはそうかもしれませんが、ゲームとして
みていただけたら、と思います。

結婚を前提としたら、そもそも参加しない、と言う選択肢も「あり」でしょうか（笑）＞sock/vuelaさん

戦略を考える際に、具体的にルール作りが可能なのか、悩んでいます＞新井さとしさん

ひろさんがおっしゃるように、実際の結婚（お見合い）でも、こうした要素はあると思います。
ですから、残り人数が分からない、という条件が、このゲームのキモだと思うのですが、
いかがでしょうか＞よこたくさん、あっちゅんさん

yuさんのおっしゃる方法が、割とその場で考えうるものかな、と思うのですが、期待値は
時間の経過とともにぶれますよね。
こうしたぶれがあると、そもそもゲームとしては成り立たないのでしょうか？

ミネルヴァの法則って、３７％の法則でしたっけ？　でも総数が分からないと、３７％が
決められません…＞松本さん

[12] mixiユーザー 12月10日 12:55

ミネルヴァの法則で総数は決められませんが
総数を決めて行動すればいいと思いませんか？
10人、50人、100人などと。
それを目指して行動する。

それが最も合理的だと私は考えます。

それ以外だったら、結果論でなんとでもいえると思うので。

[14] mixiユーザー 12月10日 17:06

スコアを標準正規乱数とかに代えて(すべてを×にした場合のスコアも決めて)
評価が各自の価値観で変化することを防がないと、
他の人が正しさを検証できる理論にはならないね。

しかし、そのようにしたところで相手の戦略が存在しないからゲーム理論にはならない。

[15] mixiユーザー 12月10日 18:44

まず基本的にゲーム理論は複数の意思決定主体が存在することを想定しているので、sock/vuelaさんが指摘しているようにゲーム理論で扱う問題ではない気がします。

それでもゲーム理論を用いて最適戦略を探す場合を考えます。
この場合「応募してきた男性が何人か」がわからないためにゲームの構造が女性（プレイヤ）にはわかりません。
そのため不完備情報ゲームになります。不完備情報ゲームでは期待利得を計算して最適戦略を導出します。

従って期待利得を出す必要があるため
・応募してきた男性が何人か
・まだ見ていない男性に対する女性側の評価（満足度）
の２つに関して何らかの確率分布が与えられないと最適戦略は出すことが出来ません。

[16] mixiユーザー 12月10日 20:05

戦略の相手は主催者側、ではダメなものでしょうか？
例えばですが、選択者が最後の相手まで選択せずに全滅した場合、主催者側は最高の利得が得られるものとする。
具体的な数値設定や男性の分布等、様々な問題は残りますが。

[17] mixiユーザー 12月10日 20:51

テレビで秋山仁が解いていたような。20人なら結果的に1位の人から20位になる人までランダムで登場してくるから、最初の数人はスルーして何人目かで今までで一番よかったらその人にする、みたいな。

[19] mixiユーザー 12月11日 10:13

とりあえず全部×にして、できるだけ多くの情報を得ておいて、
収録終わってから気に入ったのに声をかけるのが出演者の最善じゃないかな。

[20] mixiユーザー 12月17日 12:50

これは確率論ですね。ペイオフ分からないし。

[21] mixiユーザー 12月17日 13:58

定式化すると、次のようなかんじ。

今、数列 a1,a2,a3,.....,an（各aiは1～１００の整数）が与えられたとする。これを事象sと表記する。
数列がa1から順番に提示されたとき、ただ１回だけ○をつけたものをプレーヤーの得点とする。
ただし、数列の個数nはプレーヤーには知らされない。
このとき、最強の戦略が存在するか？

（定義）強い戦略とは
まず、事象空間Ｓとして、100^nが存在する。
戦略ＳＴ１が戦略ST２よりも強いとは、
　事象空間Ｓの全ての事象sに対して、
　ＳＴ２を選択したプレーヤーの得点合計よりもＳＴ１を選択した得点合計が多い場合
と定義する。

（定義）最強の戦略とは
戦略ＳＴが最強とは、
　ＳＴがその他のどんな戦略STiよりも強いとき
それを最強の戦略という。
ただし、それが存在するかどうかは不明である。

このあと、コメント書く人がいなくなりそうですが。。。ｗ

[22] mixiユーザー 12月17日 15:05

15さんのおっしゃる通り、ゲーム的状況と言うよりは、不確実性下の一人意思決定問題と考えた方がよいかと思います。

そのもとで「最適化」という観点で考えた場合、アプローチとしては18さんのような感じで、主観的な確率分布の前提の上で期待値を最大化する計算を行うことは理論上は可能です。
恐らく、この期待値を最大化する戦略が、この文脈での「最適戦略」ということになるのだと思います。
（ただ、相手の男性の数に関する主観的な確率分布も考慮しなくてはならないので、18さんの提案する戦略が最適かどうかは、検討の余地があると思います）

しかし、これはあくまでも主観的な確率分布を前提とした話でしかなく、客観的な最適戦略を求めるのは当然ながら不可能です。
（もし確率分布が与えられているなら、17さんの話にあるように、解析的に客観的な最適戦略が求まりそうです）

現実的には、最適化というより、満足化の意思決定基準（H.A. Simon）が良い気がします。
実際、一度相手を決めたら、自分の決断にコミットすることも大事だと思います。
いつまでも理想の相手を探し求めてふらふらするよりも、適当に奥さん（旦那）を見つけて、その後は浮気をすることもなく夫婦円満、幸せな家庭を築く、というのが実は最高に幸せな人生かもしれないですよね。

[23] mixiユーザー 12月23日 11:00

最適停止問題ですね。

年齢的な焦りなどが意思決定に影響すると仮定すると、数理心理学的なアプローチがよろしいかと。

[24] mixiユーザー 12月23日 11:12

最初の１人は必ずいるけど、２人目以降はいるかどうかわからない。

故に必ず最初の１人で○を出し、あとは　「こよなく愛する」　のが勝ち。

[26] mixiユーザー 12月28日 22:24

23さんが書いていますが、これは期待値が一番高くなるところで止める「最適停止問題」と呼ばれる問題です

15,22さんが書かれている通り、一般的には戦略を選ぶのは結婚相手を選ぶ方ひとりで、他の方は戦略を持ってないので、ゲームではなく不確実性下の一人意思決定問題として捉えられ、オペレーションズりサーチや応用数学で研究されています。

「秘書採用」の面接になぞらえて、古典的には「秘書問題」と呼ばれていますので、そのように検索するといろいろな情報が得られます。
例えばwikipedia↓
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%98%E6%9B%B8%E5%95%8F%E9%A1%8C

最適停止は、例えば株を一定の価格で買う権利である「オプション」を持っているときに、一番高値で売り抜けるために、どこでそれを行使すれば良いのかを決めたりするときにも使われます。お見合い相手に対して「一番良い人と思って、そこで結婚を申し込んでも、そのあとにもっと良い人が来ていた！」「いい人が来たがもっといい人が来るだろうと思い頑張って待ってみたが、結局さっきの人にすればよかった！」と後悔するのは「一番高値だと思って株を売り抜けたけど、もっと株価が上がった」「頑張って待ってみたら、株価が下がり、さっき売ってしまえば良かったのに！」ということと対応するのですね。

[27] mixiユーザー 12月29日 13:27

22です。

最適停止問題は、応募者数n人が既知となっています（上のリンクを見る限り）。
このトピックの関心である、nが分からない場合の最適戦略も、この範疇で扱えるのでしょうか？

[28] mixiユーザー 12月29日 14:40

22(27)さん。26です。私もあまり詳しくないのですが

、最適停止問題は研究者層が厚く、結構、いろいろな問題が研究されているようです。
人数が分からないものはunknown population sizeとかunknown number of opstionsとか、呼ばれているようですね。http://www.jstor.org/pss/170424
http://repository.ust.hk/dspace/handle/1783.1/888

最適停止問題は、日本の研究者層も厚いです。和書では以下のようなテキストがあります。
「タイミングの数理―最適停止問題（穴太克則著、朝倉書店, 2000年3月９

今回のようなお見合いの話など現実のお話に即して、分かりやすく面白い解説などが出るかもしれませんね