数学の雑談とマイミクコミュのトゥディズぷろぶれむ。

立体 A-BCDE は, 底面 BCDE が 1 辺の長さ 6cm の正方形で, AB=AC=AD=AE=6cm の正四角錐である。
点 P は, 頂点 B を出発し, 辺 BC, 辺 CD 上を, 毎秒 1cm の速さで動き, 12 秒後に頂点 D に到着する。点 Q は, 点 P が頂点 B を出発するのと同時に頂点 D を出発し, 辺 DE, 辺 EA 上を, 点 P と同じ速さで動き, 12 秒後に頂点 A に到着する。
点 P と点 Q を結ぶ。
点 P が辺 CD 上にあるとき, 線分 PQ の長さが最小になるのは点 P が頂点 B を出発してから何秒後か。また, そのときの線分 PQ の長さを求めなさい。空間座標使わないように。中学生の範囲で解こう。

コメント(13)

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[1] mixiユーザー 09月12日 09:41

Qから底面BCDEに下ろした垂線の足をQ'とする。
CP=EQ=2xとすると，QQ'=Q'E=\sqrt{2}x
∴PQ^2=PQ'^2+QQ'^2
=(6-3x)^2+(6-x)^2+(\sqrt{2}x)^2
=12(x^2-4x+6)
=======ここまでは中学生の範囲なんだけど=======
=12((x-2)^2+2)
なのでx=2のとき，すなわち10秒後に最小で
そのときのPQ=\sqrt{24}=2\sqrt{6}

と収束させるところは中学生範囲といっていいか微妙だなぁ。賢い子は十分理解できる範囲だけれど。
今は平方完成わりときちんとやるから大丈夫かな。

[3] mixiユーザー 09月15日 00:18

平方完成から持っていくなんて、これまたいいですね。

[4] mixiユーザー 09月15日 01:28

＞=(6-3x)^2+(6-x)^2+(\sqrt{2}x)^2

ところで、ここの3xってどこから来たんですか？

Ｑ’からＢＥに垂線を下ろし、垂線の足をＥ’とすると
Ｅ’Ｑ＝ｘなのでQ'P＝6-x　
と出したのかな？って思ったんですが、
そうだとすると、(6-3x)はどこから来たんだろう？って思いました。　まあ結果から逆に見ていくと、この値は０なわけですけどね。

この6-3xってどこのことを指しているのですか？

[5] mixiユーザー 09月15日 04:57

図を描くのが面倒で手抜きしました。ごめんなさい。
最初、AのBCDEに対する対称点A'を考えて正八面体A-BCDE-A'で考えればどうだっといぢくったのですが、何も思いつかなかったので正面から三平方を使いました。
今、らすかるさんの解答見ました。鮮やかですねぇ。

[6] mixiユーザー 09月15日 12:23

なるほど。そこでしたか。

図すごいですね。

ところで、この図はなんというソフトを使用して作成されたのですか？

[7] mixiユーザー 09月15日 17:54

WTPICというソフトです。

[8] mixiユーザー 09月15日 18:30

WTPICというソフトは初めて聞きました。

ここは私の運営するコミュニティなのですが、
http://mixi.jp/view_community.pl?id=2110975
ソフトを紹介しています。
興味深いですね。

[9] mixiユーザー 09月15日 18:52

dviprt向けのspecial命令を吐いてくれるソフトです。
LaTeXのユーティリティですね。
グラフもある程度かけるので便利なのですが、もうちょっと使いやすいと嬉しいです。
あ、正式にはWinTpicというみたいです。
http://mixi.jp/view_community.pl?id=461302

[10] mixiユーザー 09月15日 18:56

http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=22940853&comm_id=2110975
早速こちらで紹介させていただきました。

[12] mixiユーザー 09月15日 19:04

カルキングってソフトもいいですよ。
http://www.geocities.jp/bourbon_house_math_branch/mathsoft.html

[13] mixiユーザー 09月15日 19:23

…素早い！
カルキングですか。計算もしてくれるのが便利そうですね。
でも異動のある職場で使うので無料ソフトが基本です。つつましく暮らしています。
サクラエディタとLaTeXとjgawkあと今回のWTPICですね。

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