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コメント(1)
A, B, C の対辺の長さをそれぞれ a, b, c とする。
∠A = 60°なので、
余弦定理より a^2 = b^2 + c^2 - bc ･･･ ?
これを変形して (a + b)(a - b) = c(c - b) ･･･ ?
ここで、△ABCが正三角形でない（すなわちb≠c）と仮定する。
一般性を失うことなく b < c とおける。
すると、?の右辺は正なので b < a
また、?より
a^2 = c^2 + b(b - c) < c^2 なので a < c
まとめると b < a < c
さて、a, b, c が三角形の3辺の長さであることも考慮すると
0 < a - b < c < a + b < 2c ･･･ ?
である。
一方 c は素数であるから、?より a + b、a - b のどちらか一方は
c の倍数でなければならない。しかしこれは?に矛盾する。
ゆえに、△ABCは正三角形である。
∠A = 60°なので、
余弦定理より a^2 = b^2 + c^2 - bc ･･･ ?
これを変形して (a + b)(a - b) = c(c - b) ･･･ ?
ここで、△ABCが正三角形でない（すなわちb≠c）と仮定する。
一般性を失うことなく b < c とおける。
すると、?の右辺は正なので b < a
また、?より
a^2 = c^2 + b(b - c) < c^2 なので a < c
まとめると b < a < c
さて、a, b, c が三角形の3辺の長さであることも考慮すると
0 < a - b < c < a + b < 2c ･･･ ?
である。
一方 c は素数であるから、?より a + b、a - b のどちらか一方は
c の倍数でなければならない。しかしこれは?に矛盾する。
ゆえに、△ABCは正三角形である。
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