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条件付確率の計算なんでこうなる？

mixiユーザー 2006年07月24日 11:59

論文を読んでいてどうしてもわからない部分があったので質問させていただきます。

X,Y: １または２の値をとる確率変数
p(X=0) = p(X=1) = 1/2
p(Y=0|x=0),p(Y=0|X=1)の事前分布は(0,1)に一様分布

という条件のもとで、サンプルを何個かとりX,Yの値を調べた。
(X,Y)=(x,y)であったサンプルの数をn_{x,y}と書くことにすると、p(y|x)の事後分布は以下で定めることができる
p(y|x) = (n_{x,y}+1)/(n_{x,0}+n_{x,1}+2)

なぜ事後分布がこの式で書けるのでしょうか・・・？
ちなみに分母の2はYが取りうる値が１と２の二つだからのようです。

コメント(3)

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[1] mixiユーザー 07月25日 00:02

X,Y: １または０の値をとる確率変数ですね？

ちょっと見

P(Y|X)=P(X∩Y)/P(X)=n_{x,y}/(n_{x,0}+n{x,1})

となりそうなんですが、これだと事前分布の条件を使ってないですね。
多分事前分布から確率 P(n_{x,y} = i) を算出し、それに連続分布のときのベイズの定理を適用すればよいと思うのですが・・・。

[2] mixiユーザー 07月25日 09:16

P(X,Y) = P(Y|X)P(X) = P(Y|X)/2

ですので，データn(x,y)を観測したときの尤度関数は

Π P(Y|X)^n(x,y)
= P(Y=0|X=0)^n(0,0) x P(Y=1|X=0)^n(0,1)
x P(Y=0|X=1)^n(1,0) x P(Y=1|X=1)^n(1,1)
= P(Y=0|X=0)^n(0,0) x [1 - P(Y=0|X=0)]^n(0,1)
x P(Y=0|X=1)^n(1,0) x [1 - P(Y=0|X=1)]^n(1,1)

に比例します．P(Y|X)が事前に一様分布する（＝密度関数は定数）ので，その事後分布もこの尤度関数に比例します．その形を見てみますとP(Y=0|X)の事後分布はパラメータ（n(x,0)+1,n(x,1)+1）ベータ分布だとわかります（そしてP(Y=0|X=0)とP(Y=0|X=1)は独立であることもわかります）．ベータ分布（a,b）の期待値はa/(a+b)ですので，P(Y=0|X)の事後期待値は[n(x,0)+1]/[n(x,0)+n(x,1)+2]になります．なのでakihito_sさんのおっしゃている事後分布とは事後分布そのものではなく事後期待値ですね．

[3] mixiユーザー 07月25日 18:31

ねぼすけさん、かとけんさん、ご回答いただきありがとうございます！

まだご回答いただいた内容を１００％理解できていないので少しじっくり考えてみたいと思います。

まずはお礼まで。

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