統計家コミュの帰無仮説と対立仮説

についてテストが出ました。
まったく解りませんでした（泣）

問
正味が１００グラムと表示されている麺を、９個ランダムに取り出して、その重さを量った。
９個の麺の重さは、互いに独立で同一の正規分布に従うものとする。
９個の麺の重さはの標本平均は９８グラムしかなかった。
メーカーに問い合わせたところ、母集団標準偏差は２・２５であるという回答を得た。

（１）このとき最も適切な帰無仮説と対立仮説をは何か？

（２）有意水準を５％として検定せよ。必要ならばｔ（０．１、∞）＝１．６４５　、ｔ（０．０５、∞）＝１．９６０を用いよ。
このとき（１）では、
帰無仮説　Ｈo : μ0＝98　対立仮説　Ｈ1：μ1＞98でイイのでしょうか？？

全く解らなくて…

（２）では、μ0+ｔ（α+∞）√σ^2/n を使えばよいのでしょうか？つまり、98+1.960×2.25ってことでしょうか？？

誰か問題を理解できる方、解説お願いします。

コメント(7)

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[1] mixiユーザー 07月02日 17:37

はじめまして。

「正味が１００グラム」と書かれているのに、実際に計ったら平均が「98グラム」しかなかった。これは、ばらつきによるものなのか？それとも、不良品なのか？

というのが問題の意図だと、私は解釈しました。

なので、
帰無仮説　Ｈo : μ0＝100　対立仮説　Ｈ1：μ1＜100
で、有意に100グラムを下回った場合、不良品ということができるのではないでしょうか？

[2] mixiユーザー 07月02日 18:35

はじめまして．

問題の解釈の仕方としては，ねぇさんのご意見に賛同します．その上で，まず帰無仮説と対立仮説の考え方について説明します．コインを使った丁半博打を例に説明します．この博打では表が出ると賞金がもらえることとします．

博打で一番気をつけなくてはならないのはいかさまがあるかないかです．今，このコインに変な細工をしていないとすると，1回コインを投げた時に表が出る確率p=1/2です．ところが，4回も続けて裏が出てしまった．このコインには細工がしているのではないかと考えるわけです．そこで，まずこのコインに細工がされていない(つまりp=1/2)であると仮定します．これが帰無仮説です．p=1/2のもとで裏が4回続けて出る確率は(1/2)^4=1/16=0.0625です．ここで，有意水準の考え方が出てくるわけです．有意水準とは別名危険率といい，帰無仮説が正しいにも関わらず棄却してしまう(これを第1種の誤りと言う)確率のことです．仮に有意水準を0.05とした場合，ここでの帰無仮説(p=1/2)は棄却できません．なぜならば，有意水準0.05と言うのは第1種の誤りを犯す確率が0.05未満でなければならず，この場合はp=0.0625であるためです．

これをもとに問題を見てみると，この麺がきちんと製造されている(すなわちμ=100)ことを帰無仮説とし，検定を行えばよいと思います．検定の方法については，統計解析のテキストを見れば載っていると思います．この種の検定は一番オーソドックスなパターンなので．参考までに以下の本を推薦しておきます．

篠崎信雄，『統計解析入門』，サイエンス社，1994年

この本は問題と解説が豊富で，習った知識をすぐにものにできるところがおすすめです．

[3] mixiユーザー 07月02日 19:54

http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Average/Mean1.html

このページの「母分散が既知の場合」です．

μが母平均（この場合100）を指す記号になります．
仮説を立てるときに標本平均である98を用いるのは誤りです．

問題の(2)は，有意水準を定め（α=0.10 or 0.05)，
t検定を行うときに利用します．

>> ガイさん
中段のたとえのところに誤りがありますよ．
コインの裏表が出る確率は繰り返した試行のばあい，
二項分布に従うので，
コインを4回振ったときに4回とも裏が出るかどうかは
二項分布に照らし合わせて考えることになります．
0.0625と有意水準とした0.05を直接比較することは誤りです．

[4] mixiユーザー 07月08日 09:25

＞satoさま

教えてください～
二項分布であっても、p値が名義有意水準を上回るかどうかで有意性を判定すると思うのですが、ダメなんでしょうか？

[5] mixiユーザー 07月08日 11:57

>> ねぇさん

ガイさんの説明では，4回の試行で4回とも裏が出る確率を
(1/2)^4=1/16=0.0625
と表記してあり，どのような分布を仮定して検定しているのか不明なので有意水準と比較することが誤りであると指摘しました．
（計算式で判断するなら一様分布？）

また，有意水準の確率はある区間の確率を表したものであり，ある点の確率と有意水準を比較することは誤りとなります．
（標準正規分布でのα=.05はPr(z>1.96…)=.05，というようにzが1.96という値以上をとる確率)

二項確率を検定する場合（正確な検定），P値は「成功数x以上の値をとる確率」となります．
例えば，試行数20回でサイコロを振って6が10回出たとします．
このとき6が10回出る確率が理論値1/6に適っているか検定するならば，
P値は成功数10回～20回までの二項分布の値を
C(20,10)*(1/6)^10*(5/6)^10+ .... +C(20,20)*(1/6)^20*(5/6)^0
と累積させた値になり，この値と有意水準を比較することで帰無仮説が棄却されるか否か判断されます．

なお，この検定は，F分布を用いた検定で代用できます．
また，試行数nが十分に大きい場合に限り，正規分布を近似値とみなして母比率の検定が出来ます．

検定方法の紹介は，以下を読んでみてください．
（簡単な説明）
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Hiritu/bohiritu-test.html
（やや難しい内容）
http://www.is.seikei.ac.jp/~iwasaki/kouginote/B/B.00.1.Contents.htm
（上記URL内の「3.3.2. 正確な検定」「3.3.3. 近似検定」）

[6] mixiユーザー 07月08日 20:41

＞satoさま

あ、そういうことですか。
点確率と比較したから問題なのですね。
ありがとうございます。よくわかりました。

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