[mixi]☆宇宙論関係の質問トピ☆ - 時空物理学会

[53] mixiユーザー 05月16日 17:36

> FAT26さん
回答有難うございます。
つまり、雷雲は常にマイナスが地面のほうに集まるという事でしょうか？

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
【質問】

ブラックホール（ＢＨ）の半径は回転電荷無しならシュヴァルツシルト解
で求まりますよね？で、２つの同じ質量のＢＨが合体した場合、エネル
ギー放射がないなら、当然合体したあとのＢＨの半径は二倍になるはず
です。これも単純なシュヴァルツシルト解ですね？

では、合体開始から合体終了までの過程ではそれぞれ半径がどのように変
化していくのでしょう？単純にエネルギーに比例するなら合体が進むに
つれて単調に半径は増加して行きそうですが、等方的ではないため、
完全に合体し終わるまではシュヴァルツシルト解は使えないはず。
ではどのような規則で半径は変化していくのでしょうか？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
っていう質問を
http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=18421389&comm_id=173492
にしましたが返事が得られませんでした。
ご存知の方、宜しくお願いします。。

なお、どちらかに回答が入り次第もう一方コミュの質問を消去します。

[54] mixiユーザー 05月16日 18:32

どういう計算かまったくわかりませんが（というか、そもそも僕の理解を超えてる話ですが；）、アニメーションがありましたので貼っておきます。
http://www.nasa.gov/vision/universe/starsgalaxies/gwave.html

[55] mixiユーザー 05月16日 18:41

↑肝心のところが見えませんね

[56] mixiユーザー 05月16日 18:50

もう１個
http://www.aip.org/png/2006/256.htm
こちらも「半径」がどうなってるのかは？？？

[57] mixiユーザー 05月17日 00:05

なるほど！確かにわかりませんが＾＾；シミュレーション研究されてる
事がわかりました！ありがとうございます☆

[58] mixiユーザー 05月17日 03:01

ブラックホールの半径ということは、事象の地平面を調べるということだから、単にアインシュタイン方程式を解くということでは、なくて、時空の大域的構造に関する考察が必要なのでしょう。

Hawking & Ellisという教科書の9.2章にそれらしい議論があるのを見つけましたが、数学が苦手で、内容が理解できないので誰かわかる方がいれば説明してください。

[59] mixiユーザー 05月17日 23:01

>合体開始から合体終了までの過程ではそれぞれ半径がどのように変化していくのでしょう？

半径ではなくて、表面積ならば、ブラックホールの熱力学で考察できるのではないかと思いました。ブラックホールの表面積の増加はブラックホールに落ち込むエネルギーに比例するので、衝突が起こるまでは、それぞれのブラックホールの表面積は一定のままなのではないでしょうか？

もしどこか間違ってたら、指摘してください。

[62] mixiユーザー 05月18日 21:14

>60>61
とおかしなことを書いてたので、まとめなおします。

>くらべんさん
>ブラックホールの表面積の増加はブラックホールに落ち込むエネ
>ルギーに比例するので、
エネルギーに比例するのは半径だと思われます。
表面積に比例するのはエントロピーではないでしょうか？

>衝突が起こるまでは、それぞれのブラックホールの表面積は一定
>のままなのではないでしょうか？
この衝突というのは完全に合体し終わるときのことでしょうか？
だとすれば、唐突にＢＨ半径が大きくなってしまいます。

>半径ではなくて、表面積ならば、ブラックホールの熱力学で考察
>できるのではないかと思いました
熱力学のどの式から出てくるんですか？

[63] mixiユーザー 05月19日 00:35

ブラックホールの熱力学の第一法則

δM = (κ/8π)δA + ΩδJ

Mはブラックホールの質量、κは表面重力、Aは表面積、Ωは地平面の角速度、Jはブラックホールの角運動量です。

通常の熱力学の第一法則

dE = TdS - PdV

のアナロジーですね。

僕は勝手にJ=0とおいて、さらにブラックホールに落ち込むエネルギーをδMと置き換えたので、

「表面積の増加はブラックホールに落ち込むエネルギーに比例する」

と書きました。このことより、BHの二つの地平面が互いに接触するまでの間はそれぞれのBHの地平面の表面積は一定であろうと考察しました。接触後は二つの地平面は一つになり、その表面積は合体前の二つのBHの地平面の表面積の和になるだろうと思うのですがどうでしょうか？

「顔はマンゲツ☆」さんは半径で議論しようとされていますが、半径を定義しようと思えばBHが球対称でなければならないとおもうのですが、ここで議論されている状況ではそうとも限らないと思ったので、あえて表面積で議論しています。

ちなみに、上の式の導出方法とかは知らないので、上っ面だけで話してます。ひょっとしたら「定常なブラックホールでなければ成り立たない」とか、余計な条件がついてくるのかもしれませんが、よくわかりません。

[64] mixiユーザー 05月19日 14:48

横レスですいません。

>ブラックホールの熱力学の第一法則

>δM = (κ/8π)δA + ΩδJ

>Mはブラックホールの質量、κは表面重力、Aは表面積、Ωは地平面の角速度、Jはブラックホールの角運動量です。

>通常の熱力学の第一法則

>dE = TdS - PdV

>のアナロジーですね。

というお話なのですが、δM, δA は分かるのですが、残りの (κ/8π), Ω, δJ というのが、どのようなアナロジーなのかが良くわりません。
対応は、(κ/8π)→T, Ω→P, δJ→dV という事は分かりますが、なぜ、その様に考えていいのかが……

すいません、熱力学には興味があるのですが、ＢＨ物理学はあまり、というか、ほとんど知らないので、もしよろしければ、もう少し詳しい解説などをして頂けないでしょうか……

[65] mixiユーザー 05月19日 16:51

dE = TdS
のアナロジー、、っていうかこの式から出してきたんでしょう。
dＥ＝ｄMc^2
T＝ κ/8π　（ホーキング輻射）
ｄS∝ｄA
という関係から適当に係数を１にして
ｄM = (κ/8π)ｄA
が出てくるんですね。

>平面の表面積は一定であろうと考察しました
>合体前の二つのBHの地平面の表面積の和になるだろうと

その様にはならないと思います。
合体前のトータルの表面積は各BHの表面積をAとすると
A+A＝2A
となります。
一方完全に１つに合体したBHの表面積は
４A
になるはず。これはもとのBH半径と比較して合体後は二倍の半径になる
ため表面積は四倍になります。

トータルで表面積は二倍になると思われます。

あ、ワンピース見てこよう！！！

[66] mixiユーザー 05月20日 00:18

>dE = TdS
>のアナロジー、、っていうかこの式から出してきたんでしょう。

いや、歴史的には、先に相対論の計算のみで
δM = (κ/8π)δA + ΩδJ
及び「δAは単調に増大する」という結果が得られたわけで、それを後にベケンシュタインが通常の熱力学の法則とのアナロジーを見出したのだと記憶してます。

ついでに言うと、δAの増大の計算は初めホーキングが導出したのに、ベケンシュタインがそれをエントロピーの増大とのアナロジーとして議論したときに、当初不快感を覚えたというようなことを「ホーキング宇宙を語る」あたりで書いていたような気がします。もっとも、彼自身ホーキング放射を導いてからは、ベケンシュタインの考え方に賛成したのでしょうけども。

>合体前のトータルの表面積は各BHの表面積をAとすると
>A+A＝2A
>となります。
>一方完全に１つに合体したBHの表面積は
>４A
>になるはず。これはもとのBH半径と比較して合体後は二倍の>半径になる
>ため表面積は四倍になります。

すみません、寝ぼけてました。κがMに依存することをうっかり忘れてました。

シュバルツシルドの場合、κ = 1/4M だから
δM = (κ/8π)δA
を積分するとA = 16πM^2
なので、Mが2倍になるとAは4倍になります。

従ってBHの合体前（event horizonが接触する前）はBHの表面積の和は2Aで合体後時空が定常になるまでに4Aにまで増大するということなんでしょう。

結論としては、BH熱力学の第一法則の式は微分でかかれているので、BHに微小な質量が落ち込んでゆっくりBHが増大するような状況で無い限り、熱力学の式は使えないんでしょうね。

ところで、顔はマンゲツ☆さんが書いているBHの半径とは、地平面の半径のことだとみなしてましたが、僕はかってに事象の地平面で議論してましたが、apparent horizonっていうのもありますよね（このコミュの他のトピでも出てきてますね）。数値計算ではこっちの方が計算しやすい様ですね。先ほどのHawking & Ellisの本では、二つのBHが合体する時の絵がかかれていて、二種類のホライズンがどの様に成長するのかが、図解でかかれてました。

[67] mixiユーザー 05月20日 01:05

>いや、歴史的には、先に相対論の計算のみで
>δM = (κ/8π)δA + ΩδJ
>及び「δAは単調に増大する」という結果が得られたわけで、それ
>を後にベケンシュタインが通常の熱力学の法則とのアナロジーを
>見出したのだと記憶してます。
そのような経緯があったとは、しりませんでしたＯｒｚ．．

>apparent horizonっていうのもありますよね（このコミュの他の
>トピでも出てきてますね）。数値計算ではこっちの方が計算しや
>すい様ですね。
どうもこれがいまいちよくわからないんですが、具体的にどういう物
を言ってるんでしょう？ちなみにwikiを読む限り
http://en.wikipedia.org/wiki/Apparent_horizon
時間的に変化するもので、ハッブル地平線みたいなものかと思ったんで
すが、どうなんでしょ？
>If the AH exists, it is necessarily inside of the EH.
これがわからない。なんでイヴェントホライズンのなかに必要なのか？

>先ほどのHawking & Ellisの本では、二つのBHが合体する時の絵
>がかかれていて、二種類のホライズンがどの様に成長するのか
>が、図解でかかれてました。
非常に興味があります。もしよろしければ画像としてあげて頂けないでしょうか？

[68] mixiユーザー 05月20日 02:06

2種類の地平面の説明は、このサイトで見つけました
http://www.is.oit.ac.jp/~shinkai/his/clubJ/0206_isolatedH.html

これによると、事象の地平面（event horizon）は
「光束が未来に渡って外側に抜け出せない最大領域」
で、みかけの地平面（apparent horizon）は
「空間3次元超曲面上での外向き光束測地線の膨張率がゼロとなる最大領域」
となっています。

事象の地平面が、時空の未来の状態まで考察しなければ求まらないのに対して、みかけの地平面は、空間的超曲面上だけで計算できるので、数値計算でアインシュタイン方程式の時間発展を追う場合には、扱い易いということでしょうか。

Hawking & Ellisの図の説明ですが、開始時刻から二つの「見かけの地平面」があって、それぞれ「事象の地平面」に囲まれてます。
「事象の地平面」は2つのBHが近づくにつれて合体しますが、開始時刻からある二つの「みかけの地平面」は（この図で見る限りは）合体しません。かわりに、第三の「みかけの地平面」が「事象の地平面」の合体後暫くして、もともとあった２つの「見かけの地平面」を囲む様に発生する様ですね。

一般相対論コミュでリンクされてた数値計算にのってた地平面のシミュレーション図も、この状況を表しているのかも知れません。

http://www.psc.edu/science/Laguna/dance_of_two_black_holes.html

[69] mixiユーザー 05月20日 02:18

第３の「見かけの地平面」は二手に別れてますよね。ひょっとしたら、これの内側の面は未来方向に伸ばしていくと、初めからあった二つの「見かけの地平面」につながったりするのかな？単なる憶測ですが、どうなんだろうか？
とりあえず、もう少しテキストを読んでみます。難しいけれども。

[70] mixiユーザー 05月20日 13:14

教科書の絵を挙げていただきありがとうございます！
「ホーキング虚時間の宇宙」竹内薫　著
に載ってる絵もこれにそっくりです。こっちの絵はもとの出典が
「Gravitation」らしいので、よんでみます！
最初と最後だけでなく、各時間ごとに輪切りにした図があればｲｲのですが。。

>2種類の地平面の説明は、このサイトで見つけました
>http://www.is.oit.ac.jp/~shinkai/his/clubJ/0206_isolatedH.html
すごい！こんなレビューのＨＰがあったなんて！

>http://www.psc.edu/science/Laguna/dance_of_two_black_holes.html

なるほど！１つ目の図の真ん中が見かけの地平線な分けですね。
二枚目の「青みがかった部分は削除された（切り取られた）領域」
っていう説明はよくわかりませんが。、恐らくその教科書に載って
三つ目の見かけの地平線に対応してるのかもしれませんね。

[71] mixiユーザー 05月22日 13:25

こんな図を見つけました。
ＢＨの中心間距離に厚みが比例するわけではないようです。
また、相当遠く離さないと互いの影響を受けるようです。

[72] mixiユーザー 05月22日 22:03

なかなかリアルな図ですね。これはどうやって計算したんでしょうか？

>ＢＨの中心間距離に厚みが比例するわけではないようです。
すみません。厚みとは何の厚みですか？

>69
調べるとかきましたが、やっぱりよくわからないです。すみません。

>68
第三のみかけの地平面については、以下のように考えればなんとなくわかった気になります。（テキストの本文を読んだわけではなく、僕の憶測ですが）

合体する前の二つのBHは同じ大きさとし、その質量をM, 半径をRとします。二つのBHを一つの系とすれば、この系のエネルギーEは2Mと二つのBHの運動エネルギー？と重力相互作用エネルギー?のようなものを足した値になります。

だから、この系の「シュバルツシルド半径R'」
（R'=2GE/c^2, E>2M）は、2Rよりも大きくなります。二つのBHが半径R'の球に入った瞬間に第三のみかけの地平面が形成されると考えると、68の図は、なんとなくわかったような気になります。

[73] mixiユーザー 05月24日 00:47

Marcel Grossmann Meeting on General Relativity
とかいう本に載ってました☆内容は、まだこれから読むところです。
自分の研究に不備が発覚して、なかなか読めなかったもので。。

[74] mixiユーザー 05月26日 03:01

>64　タナさん

ベケンシュタインはエントロピーがBHの表面積に比例するというところまでは考察しました（S ∝ A)。でも、比例定数がわかりませんでした。

ホーキングがブラックホールからの放射を計算して、温度がT=κ/2πであるかのような黒体放射をしていることを導いたため、エントロピーは（自然単位系で）

S=A/4

と求まった、という、歴史的経緯があるようです。また、僕の読んでいた教科書によると、ΩdJは、回転する物体に適用される場合、通常の熱力学の式にも出てくる項であるとのことです。

BHの物理学については、実はカー解もろくに知らない人だったりするので、とりあえず自分の為にいろいろ調べてみたいと思います。逆にいろいろ教えてください。

[75] mixiユーザー 05月26日 14:08

>74 くらべんさん

ご丁寧な解説、本当にありがとうございます。
ＢＨにおける熱力学の第１法則の右辺の第１項目については、くらべんさんと、その前のマンゲツさんの解説で良く分かりました。ありがとうございます。

しかし、それより第２項目の方が自分的には興味が出てきました。。

>僕の読んでいた教科書によると、ΩdJは、回転する物体に適用される場合、通常の熱力学の式にも出てくる項であるとのことです

これは、ＢＨ関係の教科書を読んでる時に出てきた記述でしょうか…
非常に興味があります。回転する物体に適用した熱力学など聞いた事がないので……（自分の知識が浅いだけですが、汗）
もし、可能でしたら、もう少し詳しく（あるいは出典など）を教えて頂けないでしょうか？

# 余談ですが、なかなか別の研究もあって熱力学の勉強に集中
　できていないので、まだ浅薄な知識での話ですが…海外の
　熱力学の教科書を読むと、目から鱗のような感覚を良く
　受けます…本当に熱力学はすごいな～…といつも思います（笑）
　ですので、海外では「回転する物体に適用した熱力学」など
　の研究も進んでいるのかな～…と、くらべんさんの書き込み
　を見て思いました…

　駄文、失礼しました。

[76] mixiユーザー 05月27日 22:50

>>僕の読んでいた教科書によると、ΩdJは、回転する物体に適用される場合、通常の熱力学の式にも出てくる項であるとのことです

これは、WaldのGeneral Relativityという本の12.5節に載っていた記述です。英語でordinary rotating bodyと書いてあったので回転する物体と訳しました。

具体例をみたことがないので、よくわからないけども、たぶんこの項は、BHに限らず、天体現象の熱力学的な解析に使われるんじゃないでしょうか。

角速度Ωで回転する、熱平衡にある系に、物質が落下していくとか、そういうの状況を計算するときに使えるんじゃないかと思いました。

だれか、天体物理とか研究してらっしゃるかたがいれば、（式の導出なんかも含めて）教えて頂ければ幸いです。

[77] mixiユーザー 05月27日 23:09

>76: くらべんさん

お願いを聞いて頂いて、本当にありがとうございます。
自分も時間を見つけて、紹介された本を少しチェックしてみたいと思います。

…また、ちゃんとチェックした上でご報告をしたいとは思いますが…

もともと、熱力学や統計力学には重力、というか長距離相互作用が考慮されてないと思います。それは、理想気体など気体を対象として、最初の段階はそれらの分野が発展していったからではないかと、自分は思っています。

…そういった考え方からすると、「熱平衡にある系に、物質が落下していく」という事を考えている人が、すでにいる事に少し驚いています。

自分もＢＨのようなアプローチではありませんが、熱力・統計力学に、どのようにして重力（長距離相互作用）を取り入れるか、という点に興味があります。

また、ご紹介して頂いた本を読んだ後で感想等を書き込まさせて頂きたいと思っています。
本当にありがとうございました。

[78] mixiユーザー 05月28日 21:30

>タナさん

Waldは相対論の本なので、熱力学のことはあまり書いてないかも知れません。その式を導出した原論文にでもあたれば、なにか書いてあるかもしれませんが。

僕自身は、社会人になってて、論文を簡単に入手できない環境なので、なにかわかったら教えてください。

[79] mixiユーザー 05月28日 22:00

> くらべんさん

了解しました。自分も原論文に当たりたいと思っていました。
…と言いつつ、まだ本を借りれていないのですが…（無事、我が大学にありました、笑）

ちょっと、時間がかかるかもしれませんが、当たってみたいと思っています。しばし、お待ちを……

[80] mixiユーザー 06月09日 19:52

大変、遅くなっていまい、すいません。
一応、WaldのGeneral Relativityの12.5節に目を通してみたのですが……結論から言うと、良く分かりませんでした……

まず、例の式

δM = (κ/8π)δA + ΩδJ

については references が書いてありませんでしたので、出典が分かりませんでした。

…ただ、その本には、くらべんさんのおっしゃっている通りの事が書いていました。。。

しかし、１つ分かった、というか、読んで思い出したのですが、PdV の項は仕事の項だ、という事です。つまり、上記の式の ΩδJ も仕事の項だという事をこの本は言っているようでした。。。

それで、少し考えてみたのですが、物体（気体）が回転する事によって、それを取り囲む断熱壁が仕事を受ける、というような事を考えているのかな～？と思いました。。。
（古典的な考えですが……）

それをＢＨの熱力学にアナロジーとして、適用したのかな？と……

とは言え、それほど深く考えていませんので、自分の考えは非常に怪しいです。。

遅い上に、とんでもなく不完全な回答ですいませんが、取り急ぎ、と思いまして……

失礼しました。。ｍ（＿＿）ｍ

[81] mixiユーザー 06月10日 00:05

>80 タナさん

文献みて頂いてありがとうございます。

(12.5.43)式の上あたりに "a significantly longer computation" にたいする参考文献が紹介されてますが、

http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.cmp/1103858973

ΩdJに対する解釈は、特にのってませんでした。基本的にこの式は、相対論的な質量の定義式がのっている11章あたりから読めば理解できるのかも知れないけれども、読もうと思えば、僕の場合、頭のリハビリと時間が必要です。

でも、何か簡単に直観的に理解する方法もあるとはおもうのですが...

>それで、少し考えてみたのですが、物体（気体）が回転する事によって、それを取り囲む断熱壁が仕事を受ける、というような事を考えているのかな～？と思いました。。。
（古典的な考えですが……）

しかし、断熱壁が仕事を受けるためには、断熱壁が気体に対して摩擦を受けなければならないと思うのですが、その場合、式の中に摩擦係数というか、気体の粘性というようなパラメータが入ってくるような気がします。

>遅い上に、とんでもなく不完全な回答ですいませんが、取り急ぎ、と思いまして……

いえいえ、ご返答頂いただけでも、ありがとうございます。
タナさんのお仕事に有益な話ならばいいのですけれども、どの様に関係してくるのか良くわからないですし、とりあえず、気楽に考えて下さい。

[82] mixiユーザー 06月10日 02:38

>81 くらべんさん

こちらこそ、ご丁寧なお返事、ありがとうございます。

すいません、その参考文献、スルーしていました（汗）
…しかし、解釈は載っていませんでしたか……
自分も、熱力学の本などを読む時に、気にしながら読んでみようと思います。

>しかし、断熱壁が仕事を受けるためには、断熱壁が気体に対して摩擦を受けなければならないと思うのですが、その場合、式の中に摩擦係数というか、気体の粘性というようなパラメータが入ってくるような気がします。

この部分ですが、正直なところ失念していました。すいません。
しかし、仮に考えてる気体が理想気体だとしたら、摩擦係数とか粘性などを考えるかな～…？とも思いました。。。

しかし、摩擦等がなければ、断熱壁を動かす事もできないような気もしますし…あと、断熱壁自体が理想的なものような気もしますし…う～～ん……

逆に断熱壁が回転している事によって、気体に角運動量が輸送されるのかな～～…？？

…とは言え、本当にどのような系を考えているのかすら、分からない状況なので、これ以上の事は何も言えないのですが……

確かに、今やってる研究とは、現在のところ関わるか分かりませんが（笑）、個人的には非常に興味がありますし、ひょっとしたら、将来的に関わってくる事もあるかもしれませんので、少し気にしながら、勉強してみようと思っています（笑）

こちらこそ、貴重なご意見、本当にありがとうございました。

[83] mixiユーザー 06月10日 12:52

>タナさん

ついでに自分で考えてみたことも書いて見ます。非相対論的極限（ニュートン力学）で、しかも極端にシンプルに考えてみます。

真空中で、半径R、角速度Ωで回転している球体（とりあえず剛体）の上に、質量m、速さ v = RΩ、の微小粒子が、球体の表面に対して水平方向から、衝突するとします。

球体の表面には、粘着テープが貼られてて、衝突後は微小粒子と球体は合体するとします。

この場合の、球体の全エネルギーの増加は
δE = mc^2 + (1/2)m(RΩ)^2
= mc^2 + (1/2)ΩδJ

です。δJ = mRvは、球体の角運動量の増加です。
第一項は静止質量の増加、第二項は運動エネルギーの増加、なお、粒子は球体と同じ角速度で入射するので、熱は発生しません。

ΩδJという項は出るけれども、余分な係数 1/2 がついてきます。mc^2はどう処理すればいいのかいまいちわかりません。

もっときちんとした、但し非相対論のモデルで、似たような式が出れば面白いのですけども。1/2が気になりますが、ひまなときに考えてみようと思います。

[84] mixiユーザー 06月10日 14:07

いや、その考え方でいいと思いますよ！！
ΩとＪの関係は
Ω＝（4π/ｍＡ）Ｊ
で表わされるので、ｖは
ｖ＝ＲΩ＝Ｊ/ｍＲ・・・・・・・・?
となりますね。これから
Ω＝Ｊ/ｍＲ＾2・・・・・・・・?
となります。
一方、?を運動エネルギーに代入すると
１/２ｍｖ＾2＝1/2Ｊ＾2/ｍＲ＾2＝Ｊ/ｍＲ＾2ｄＪ・・・?
となり、1/2が消えた！！
?の結果を用いてやると?は
Ｊ/ｍＲ＾2ｄＪ＝ΩｄＪ
となって終了(´ω`)

[85] mixiユーザー 06月10日 19:16

なるほど……くらべんさんのお考えは分かりました。
また 1/2 もマンゲツさんのやり方で消えるみたいですし…

となると、後は、mc^2 の部分と、その式と熱力学との関連性、みたいな話しになるのでしょうか……

ありがとうございます、自分も考えてみますし、ちょっと、その部分を気にしながら勉強していきたいと思います。

本当にありがとうございました。

[86] mixiユーザー 06月10日 22:13

>84 顔はマンゲツ☆さん

計算フォローありがとうございます。
でも、良くわからないのですが、
?式のdJが出てくるところなんですけれども、
1/2mv^2をJで微分しているのでしょうか？

僕とマンゲツさんではJの定義が少し違うかも知れません。

ちなみに、僕の計算では、
δJ = (球体の角運動量の増加)
= (微小粒子の全角運動量)
= mRv
なので、J = mRv ではありません（つまり、僕のやり方では、?式は成り立たない）

[87] mixiユーザー 06月11日 15:17

>くらべんさん
表記間違いでした。。?は
1/2Ｊ＾2/ｍＲ＾2＝∫Ｊ/ｍＲ＾2ｄＪ・・・?
つまり
Ｊ＾2＝∫ＪｄＪ
と積分表示に変換しました。
増加分のみを議論する再にはインテグラルを取っ払います。

くらべんさんのおっしゃるｖは新たに加わる速度ということですよねえ。
僕の書いたｖはトータルの回転速度としました。そのほうが微分系
にしたとき分かりやすいと思って、かってに書き換えてしまってまし
たＯｒｚ。。

僕の場合ではまさにおっしゃるように
Ｊ＝ｍＲｖ
となっております。

[91] mixiユーザー 06月13日 02:31

>顔はマンゲツ☆さん

計算を整理したかったので、88、89、90を削除して書き直します。

おそらく、顔はマンゲツ☆さんは、系に微小粒子が加わる場合ではなくて、系に対して外部から仕事のみがなされ、粒子のやり取りがない場合について計算しているのだと思います。たぶんそこが僕の計算結果と違ってくるところです（WALDは「ΩdJは仕事の項PdVに対応する項だ」といっているので、マンゲツさんのやりかたの方が適切だと思います）

ここで、ブラックホールではなくて、非相対論的な剛体を考えます。
剛体球の角速度と角運動量をそれぞれΩ、Jと書きます。
剛体の場合、回転エネルギーの公式があるのでそれを使います

E = ?(1/2)mv^2 = (1/2)IΩ^2

ここで、Iは剛体の慣性モーメントです。
剛体の角運動量はJ=IΩとなります。
E = J^2/2I

この式を微分すると
dE = (JdJ)/I = ΩdJ
となります。

...力学の公式を覚えてれば簡単なんですね。

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