|
|
|
|
コメント(70)
化学の話ですが、ちょっと近しい渦巻きの話があります。
まずグラフ理論でバーネッテ予想というのがあったそうです。
頂点の次数が６以下の球面の三角形分割からなるグラフはどれも頂点についてハミルトン路をもつ
（または頂点の次数がすべて３の多面体グラフで面が６角形以下の場合、面についてハミルトンロをもつ）
ながらく証明できていなかったのですが、
化学屋さんが幾何学的な話は抜きにグラフ理論的なフラレーンの数え上げをしている歳に
反例がでたそうです（多面体グラフの場合の数え方で380頂点で始めてでてくる）
http://conferences2.imfm.si/conferenceDisplay.py/getPic?amp;confId=12&picId=18
まずグラフ理論でバーネッテ予想というのがあったそうです。
頂点の次数が６以下の球面の三角形分割からなるグラフはどれも頂点についてハミルトン路をもつ
（または頂点の次数がすべて３の多面体グラフで面が６角形以下の場合、面についてハミルトンロをもつ）
ながらく証明できていなかったのですが、
化学屋さんが幾何学的な話は抜きにグラフ理論的なフラレーンの数え上げをしている歳に
反例がでたそうです（多面体グラフの場合の数え方で380頂点で始めてでてくる）
http://conferences2.imfm.si/conferenceDisplay.py/getPic?amp;confId=12&picId=18
27の5角形の敷き詰めにはいくつかバリエーションがある。
まずは
六角形を斜めしたものを平行移動して得られるジグザグな棒状のものをユニット(A)として
棒を平行移動して平面へと積み上げるものと、
棒を反転した上で平面へと積み上げるもの、
およびその複合パターンであり、これらはグラフ的に六角形格子になる。
次は、六角形の鋭角部分を５つかさねて五回対称で放射状に伸びる場合
そして放射状のタイリングを先のジグザグな棒と同じ輪郭で半平面分きりとってものをユニット(B)として、二つのBをジグザグが合うようにずらして重ね合わせたもの
最後にまた二つのユニットBの間にユニットAを複数挟み込んだもの（反転してもいい）。
これらのバリエーションは鋭角が2π/(2n+1) の辺が等長の向かい合う辺が平行の六角形 n>=2で同じように現れるし、ほぼ似たようなバリエーションは鋭角がπ/(n+2)の菱形 n>=2のEdge to Edge タイリングにも現れる （この場合はジグザグではなくま直ぐな棒）
さて、
下のようにこのユニットBをずらしたものでも、５角形を通った渦巻きは描ける
まずは
六角形を斜めしたものを平行移動して得られるジグザグな棒状のものをユニット(A)として
棒を平行移動して平面へと積み上げるものと、
棒を反転した上で平面へと積み上げるもの、
およびその複合パターンであり、これらはグラフ的に六角形格子になる。
次は、六角形の鋭角部分を５つかさねて五回対称で放射状に伸びる場合
そして放射状のタイリングを先のジグザグな棒と同じ輪郭で半平面分きりとってものをユニット(B)として、二つのBをジグザグが合うようにずらして重ね合わせたもの
最後にまた二つのユニットBの間にユニットAを複数挟み込んだもの（反転してもいい）。
これらのバリエーションは鋭角が2π/(2n+1) の辺が等長の向かい合う辺が平行の六角形 n>=2で同じように現れるし、ほぼ似たようなバリエーションは鋭角がπ/(n+2)の菱形 n>=2のEdge to Edge タイリングにも現れる （この場合はジグザグではなくま直ぐな棒）
さて、
下のようにこのユニットBをずらしたものでも、５角形を通った渦巻きは描ける
33のフラーレンの渦巻きと関係して
多面体のHamiltonian pathに関しては
計算折り紙的な人達の研究もある（上原先生たち）
計算折り紙てきには、多面体の展開図がNet(平面グラフ)になっていることが大切で
そのようなHamiltonian unfoldingがありうるかを検討している。
どうやってもHamiltonian unfoldingができないいくつかの条件をしめいしている。
http://erikdemaine.org/papers/ZipperDomes_CCCG2013/paper.pdf
絵的にはこちらの論文のほうが渦な展開図掲載されている
http://dspace.mit.edu/openaccess-disseminate/1721.1/62237
ここで紹介されているいろんな「渦」をみると、
面と頂点を双対でひっくり返してもHamiltonian Pathになっている
いることに限定したほうがきれいなんではないかとおもう
多面体のHamiltonian pathに関しては
計算折り紙的な人達の研究もある（上原先生たち）
計算折り紙てきには、多面体の展開図がNet(平面グラフ)になっていることが大切で
そのようなHamiltonian unfoldingがありうるかを検討している。
どうやってもHamiltonian unfoldingができないいくつかの条件をしめいしている。
http://erikdemaine.org/papers/ZipperDomes_CCCG2013/paper.pdf
絵的にはこちらの論文のほうが渦な展開図掲載されている
http://dspace.mit.edu/openaccess-disseminate/1721.1/62237
ここで紹介されているいろんな「渦」をみると、
面と頂点を双対でひっくり返してもHamiltonian Pathになっている
いることに限定したほうがきれいなんではないかとおもう
>>[22]
>>直観的には「渦巻き状」の定義は明らかですが、厳密にはどう定義
>>[23] sakさん
>>渦巻きと言うと、ある程度の連続性を持ったものを言うような印象
定義をちょっと考えてみました。
sakさんの初めの例示だけを含みます
「１つの多角形Pをそのいずれかの頂点で回転し、元の多角形Pと辺を共有するように複製操作する。この操作を複製した多角形P'に対して再帰的に操作した結果、隙間なく重複なく平面を埋め尽くせたとして、 頂点と辺全体から複製時に元の多角形と共有する辺全体を引いてできる無限グラフが半無限路になる場合、この埋め尽くしのことをSpiral Tilingという。」
>>直観的には「渦巻き状」の定義は明らかですが、厳密にはどう定義
>>[23] sakさん
>>渦巻きと言うと、ある程度の連続性を持ったものを言うような印象
定義をちょっと考えてみました。
sakさんの初めの例示だけを含みます
「１つの多角形Pをそのいずれかの頂点で回転し、元の多角形Pと辺を共有するように複製操作する。この操作を複製した多角形P'に対して再帰的に操作した結果、隙間なく重複なく平面を埋め尽くせたとして、 頂点と辺全体から複製時に元の多角形と共有する辺全体を引いてできる無限グラフが半無限路になる場合、この埋め尽くしのことをSpiral Tilingという。」
sakさんの初めの例示だけを考えたので、他の類似するものも切り捨てている気がするので
拡張を考えます
■拡張1多角形の複製操作のバリーエションを増やす（１）
「１つの多角形Pをそのいずれかの頂点で回転し、元の多角形Pと辺を共有するように複製操作する。
→
「１つの多角形Pを回転、移動、鏡映またはそれらの重ね合わせをして、元の多角形Pと辺を共有するように複製操作する。」
sakさんの２番目の例示や、28,34では辺の中点で回転が含まれます。
形によっては鏡映などをまぜると渦っぽくないようにみえるかもしれませんが、形によるのでいれてしまいます
またこの拡張をいれるたことが原因かどうかわかりませんが、
みため渦っぽくみえないものが混じってきます。
普通にみれば、28は単なる周期的なタイリングですし
34はゆがんだ同心円状のタイリングです。
拡張を考えます
■拡張1多角形の複製操作のバリーエションを増やす（１）
「１つの多角形Pをそのいずれかの頂点で回転し、元の多角形Pと辺を共有するように複製操作する。
→
「１つの多角形Pを回転、移動、鏡映またはそれらの重ね合わせをして、元の多角形Pと辺を共有するように複製操作する。」
sakさんの２番目の例示や、28,34では辺の中点で回転が含まれます。
形によっては鏡映などをまぜると渦っぽくないようにみえるかもしれませんが、形によるのでいれてしまいます
またこの拡張をいれるたことが原因かどうかわかりませんが、
みため渦っぽくみえないものが混じってきます。
普通にみれば、28は単なる周期的なタイリングですし
34はゆがんだ同心円状のタイリングです。
渦の定義になにをいれるか、なにを入れないかは難しいところですが
上の定義ではN重渦は含まれません（sakさんの２番目の例示は2重渦)
また28の周期的な並進対称性)や34の同心円状の回転対称性を持つものを含まれます。
>>[22] おととさん
>>回転と拡大の合成写像fに対して、fを整数回合成した写像によるPの像
一方、おととさんの定義では、N重渦は含み、同心円状の回転対称性を持つものも含みます
周期的な並進対称性や同心円状の回転対称性を含むものはSpirable tiling(変な英語)とし、
Spiral Tilingとは分けてもいいかもしれません。
さて、今回の定義にN重渦を含めるにはこれでいいだろうか
■拡張2: N重渦を含める
「この操作を複製した多角形P'に対して再帰的に操作した結果、」
→「この操作を初めの多角形だけN個実施し、それ以降は多角形P'に対しては再帰的に一個実施した結果」
「 半無限路になる場合」
→「 N個の半無限路になる場合」
上の定義ではN重渦は含まれません（sakさんの２番目の例示は2重渦)
また28の周期的な並進対称性)や34の同心円状の回転対称性を持つものを含まれます。
>>[22] おととさん
>>回転と拡大の合成写像fに対して、fを整数回合成した写像によるPの像
一方、おととさんの定義では、N重渦は含み、同心円状の回転対称性を持つものも含みます
周期的な並進対称性や同心円状の回転対称性を含むものはSpirable tiling(変な英語)とし、
Spiral Tilingとは分けてもいいかもしれません。
さて、今回の定義にN重渦を含めるにはこれでいいだろうか
■拡張2: N重渦を含める
「この操作を複製した多角形P'に対して再帰的に操作した結果、」
→「この操作を初めの多角形だけN個実施し、それ以降は多角形P'に対しては再帰的に一個実施した結果」
「 半無限路になる場合」
→「 N個の半無限路になる場合」
>>[24]の別の立体渦巻き
立体渦巻きタイリングの分類をしている
あとで読みたい
タイルが凹になる場合
* type A 五角形 ac=bc
* type A 六角形 af=dc
* type B 五角形 ac=bc
* type B 六角形 af=dc
http://www.rinusroelofs.nl/projects/nf-tilings/pr-nf-tilings-a04.html
タイルが凸になる場合
* type C 六角形
* type D 三角形
* type E 四角形
* type D 四角形
convex triangular and quadrangular tiles.
http://www.rinusroelofs.nl/projects/nf-tilings/pr-nf-tilings-a05.html
立体渦巻きタイリングの分類をしている
あとで読みたい
タイルが凹になる場合
* type A 五角形 ac=bc
* type A 六角形 af=dc
* type B 五角形 ac=bc
* type B 六角形 af=dc
http://www.rinusroelofs.nl/projects/nf-tilings/pr-nf-tilings-a04.html
タイルが凸になる場合
* type C 六角形
* type D 三角形
* type E 四角形
* type D 四角形
convex triangular and quadrangular tiles.
http://www.rinusroelofs.nl/projects/nf-tilings/pr-nf-tilings-a05.html
BERNHARD KLAASSEN, How to Define a Spiral Tiling?
https://www.researchgate.net/publication/313731270_How_to_Define_a_Spiral_Tiling_Copyright_2017_MAA_Mathematics_Magazine
Definition L (spiral-like)
Definition S (for multi-armed spirals).
Definition O (for one-armed spirals).
Definition P (for tilings with one singular point).
https://www.researchgate.net/publication/313731270_How_to_Define_a_Spiral_Tiling_Copyright_2017_MAA_Mathematics_Magazine
Definition L (spiral-like)
Definition S (for multi-armed spirals).
Definition O (for one-armed spirals).
Definition P (for tilings with one singular point).
- mixiユーザー
- ログインしてコメントしよう！
|
|
|
|
渦巻き 更新情報
-
最新のアンケート
-
まだ何もありません
-
