心に広がる算数・数学の世界をコミュの古い記憶の図形問題【出典不明】

出典はよく覚えていませんが、私が高１のときに先生に出された問題です。

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<問題>
条件：
・BD=BC
・ABとDCは平行
・∠BAC=15°
・∠CBD=90°

このとき、xの値を求めよ。
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高校数学なら簡単、中学数学なら難度高目、算数なら激むず。
でも、解けないことはない。
そういう問題です。

・・・図形、ちゃんとupできるかな？

コメント(41)

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[2] mixiユーザー 09月24日 18:10

正弦定理と余弦定理でごしごしやると答えが出たけれど、中学の範囲ではまだできない。
何を示せばいいのかはわかったのに・・・
(図形は苦手なのだ・・・算数はもっと苦手だが･･･)

[3] mixiユーザー 09月24日 22:06

Ｄを原点にとって、Ｂを（０,√３）Ｃを（√３,√３）にすると、Ａの座標が求められて、ＡＤ＝ＣＤが出ますね。
これだと、中学生でも行けますね。

純粋に二等辺三角形から攻めると、どこかに正三角形を作る必要がありそうですね。違うかな？

[4] mixiユーザー 09月24日 22:36

えっ、結局長さに持ち込むの？
中学の範囲だと角度で攻めるのかと悪戦苦闘していた

[6] mixiユーザー 09月24日 22:41

算数でも解けるってことは、二等辺三角形を作る以外に方法はないって事です。これが逆にヒントになってる。^_^;

[7] mixiユーザー 09月24日 22:55

はう！
座標なんて考えもしませんでしたが、確かに座標でもいけそう…。

とりあえず、中学生なら三平方の定理と1本の補助線か、やり方忘れたけど3本の補助線で解く方法もありますよー

[8] mixiユーザー 09月24日 23:21

相似で攻めまくりました。
以外と簡単かも・・・。

[9] mixiユーザー 09月25日 00:02

今回の場合、相似をばしばし使うと、大体の辺の長さが出ますからね～

[10] mixiユーザー 09月25日 00:12

ＢＣをＢの側に延長させて、ＢＣ＝ＢＥとなる点Ｅを取ると、△ＡＤＥが正三角形になる事を使うんじゃないかと思うんだけど、解いてるヒマがない。^_^;
誰か解いて～！

[11] mixiユーザー 09月25日 00:15

を。
算数ならそのセンで☆

[12] mixiユーザー 09月25日 00:40

寧寧（ねいねい）と申します。
＃こちらでははじめまして。一応「本業」の人です・・・

算数で解く方法、やってみました。・・・といっても、３０°６０°９０°の三角定規形の３辺の比が１：２：√３であることを知っていて、図形の一部を切り取っては正三角形や定規形にこじつけていくということを繰り返しただけです（ちなみに補助線ののべ本数は４本でした）。

・・・あまり美しい解き方とは言えないでしょう。

「算数」というのは、√３という数の存在を伏せたまま小学生（ただし優秀な）に説明して納得させるすべがあるか？？ということですよね。三平方（または相似）を知っていた方がスッキリいくことには違いありませんね。

[13] mixiユーザー 09月25日 01:01

12:
はじめまして☆
補助線4本ですか～。自分が解いたときは6本も引いたから、たぶんそれよりはましでしょう(^-^;)

算数で、っていうのは、√2とか√3とかを使わない、っていう意味で、2つの三角定規（30°、60°、90°、辺の比に2:1があるもの&45°、45°、90°、の二等辺三角形）については知っているものとします。

[14] mixiユーザー 09月25日 03:54

解けました～多分合ってるはず。。。
sin15°の値を覚えていたので、ほとんど補助線は引かず、正弦・余弦定理を無理矢理使っちゃったんですが、それぢゃあ絶対小学生にゎムリですよね～。。。算数を使うやり方もやってみます↓↓

[15] mixiユーザー 09月25日 04:04

14:
よくできました！
こんな時間に…ｗ
ちなみに高校数学だと補助線なしでもいけます♪

[17] mixiユーザー 09月25日 04:49

＞にゃーさん

レポート書いてる合間に、気分転換がてらやってみましたｗｗ

＞カワイ

3年のときの担任Ｎ先生に、15°と75°ゎ覚えておくように言われました＾＾；考える時間がなくなってきたときゎこの手で押し通しました（苦笑）

[19] mixiユーザー 09月25日 07:29

黄金比だからなぁ

[21] mixiユーザー 09月25日 08:44

覚えなくてもいーのに勝手に覚えてしまう例ですねー。
15°とか36°とか。
√が複数出てきてなんとなくマニアっぽいから、とかいう理由で覚えたｗ

[22] mixiユーザー 09月25日 19:41

黄金比は最近のトレンドじゃない？

[23] mixiユーザー 09月26日 01:08

ＣＤから見てＢと同じ側に、ＣＤ＝ＤＥ、ＣＤ⊥ＤＥになるような線分ＤＥをとり、ＥとＢを結ぶ。ＡＢとＤＥの交点をＦとすると、ＥＦ＝ＦＤ、ＥＤ⊥ＡＢ。

ここからがクセもの。^_^;

直線ＡＢ上のＦから見てＡと同じ側に、点ＧをＧＤ＝ＧＥ＝ＤＥとなるようにとると、△ＧＤＥは二等辺三角形だから∠ＤＣＧ＝∠ＤＧＣ＝１５°。
ＧとＡは同一直線上にあり、∠ＡＣＤ＝∠ＧＣＤ＝１５°なので、ＡとＧは一致する。
よって、∠ＡＤＥ＝６０°、∠ＥＤＢ＝４５°。
∴∠ＡＤＢ＝１０５°

こんなんしか思いつかなかったんですが、表から△ＡＥＤが正三角形だということを証明できますかねぇ？

[24] mixiユーザー 09月29日 02:03

私の考えたやつは・・・

ＡＣとＢＣの交点をＯとすると、△ＯＢＣは正三角形の半分の形になるから、ＯＢ＝１とすると、ＯＣ＝２、ＢＣ＝√３。

次に、ＡＣ上に∠ＡＢＰ＝１５°となるように点Ｐをとると、△ＡＰＢと△ＰＢＣはそれぞれ二等辺三角形になり、ＡＰ＝ＢＰ＝ＢＣ＝√３。
ここで、ＰＣ＝√３×（√３／２）×２＝３よりＡＯ＝３－２＋√３＝１＋√３。一方、ＯＤ＝√３－１が成り立ちます。

ここまで考えると、△ＡＯＤはＡＯ＝１＋√３、ＯＤ＝√３－１、∠ＡＯＤ＝６０°の三角形となっていますが、ここからがくせもの。

今度は、この三角形の辺ＡＯ上にＯＤ＝ＯＱとなる点Ｑをとります。すると△ＯＤＱは正三角形になるので∠ＡＱＤ＝１２０°、さらにＡＱ＝１＋√３－（√３－１）＝２が成り立ちます。すると、△ＡＱＤと△ＣＯＤは２辺とその間の角が等しいので合同になり、△ＡＤＣも二等辺三角形になります。

よって∠ＤＡＱは∠ＤＣＯ、さらには∠ＢＡＣと等しく１５°とわかるので、∠ＡＤＱ＝４５°、求める角は４５°＋６０°＝１０５°となります。

何とか√を知らない小学生にも通じる解答にしたいのですが、ＰＣの長さを求めるところで、今のようなやり方をするにせよ平行線と線分の比を使うにせよ√の計算をせざるを得なくなります・・・

[25] mixiユーザー 09月29日 02:24

恐縮ながら発言させてもらいます。

イデムリンさんと同じ考えで
＞ＣＤから見てＢと同じ側に、ＣＤ＝ＤＥ、ＣＤ⊥ＤＥになるような線分ＤＥをとり、
＞ＥとＢを結ぶ。ＡＢとＤＥの交点をＦとすると、ＥＦ＝ＦＤ、ＥＤ⊥ＡＢ。
ここまでは同じです。

このあと、ACとDBの交点をGとし、直線EGとABとの交点をHとします。
すると四角形ADGHがAGを軸とする線対称の図形だとわかります。
（三角形DHGが二等辺三角形なのと、AG⊥DHより）
よって∠DAG=１５度。

∠ADB=１０５度と出しました。

＞イデムリンさん
正三角形だと言おうとしたんですけれど無理でした(^^;

[26] mixiユーザー 09月29日 02:59

>25 わくわくさん

>三角形DHGが二等辺三角形なのと、AG⊥DHより

イカン。^_^;
ここが付いていけない。^_^;

でも、

△ＢＧＣ≡△ＢＧＥなので、
　∠ＢＧＣ＝∠ＢＧＥ＝∠ＡＧＤ＝６０°
ゆえに、△ＥＧＤと△ＡＧＢにおいて、
　∠ＧＤＥ＝∠ＧＢＡ（＝４５°）
　∠ＥＧＤ＝∠ＡＧＢ（＝∠ＡＧＥ＋６０°）
だから、
　∠ＤＥＧ＝∠ＢＡＧ＝１５°

という流れならば、分かった。

こっちのコミュの方が、面白いでしょ？^_^;＞わくわくさん

[28] mixiユーザー 09月29日 03:01

↑２７は、間違えて同じのを２回送ってしまっただけです。
ごめんなさい。^_^;

[29] mixiユーザー 09月29日 03:10

ぉぉ…
なにやら話が進んでる♪
しばらく落ち着いて読んでみるとしよう。

[30] mixiユーザー 09月29日 03:19

>三角形DHGが二等辺三角形なのと、AG⊥DHより

↑この前に、HがAB上にあるのDH=EH
　よって∠HED=∠HDE=１５度
　（三角形EGDは三角形CGDをひっくり返したものだから）
　よって∠GDH=４５－１５=３０度。
　Gの周りは全て６０度になっているので
　∠GHD=３０度で、底角が等しくなって三角形DHGが二等辺三角形。
　
　二等辺三角形の頂角からの垂線はEDを二等分するからAG⊥DH。
　
　って感じです。わかりにくくてすいません。

＞イデムリンさん

　こっちは・・・とって食われそうで恐いんですよ(笑）
　楽しいけれど(^^;

[31] mixiユーザー 09月29日 03:41

こうして少年は、大人への階段を一歩踏み出したのでした。

…って、なにげに同い年だし(笑)

[32] mixiユーザー 09月29日 03:44

>30 わくわくさん
>二等辺三角形の頂角からの垂線はEDを二等分するからAG⊥DH。

「二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分するから」ね。

>こっちは・・・とって食われそうで恐いんですよ(笑）

何言ってんだよ～。鮮やかなもんじゃん。
こっちが取って食われそうだよ～。（笑）

まあ何はともあれ、「こっちの仲間」へようこそ。（笑）

[33] mixiユーザー 09月29日 04:09

＞イデムリンさん
あっ･･･そうとも言います（おぃ）
この問題を小・中生徒全員に保護者、友達も含めて
出そうかと思っています。

近い内に実力不足だって踏み潰されそうなので
ひっそりと参戦していきますm(_ _)m
よろしくお願いします。

＞にゃーさん
少年ははばたいたのでした♪
って、ほんと同い年なんやよね（^^;
ちょっと疑ってしまう(笑）

[35] mixiユーザー 09月29日 04:33

>わくわくさん

一見人権派ぶってる大人の方が、一皮むけば子どもの頭を押さえつけるような教育したりしてるんだから、大人はコワイよ。^_^;

とくに「先生」って肩書きが付く人達は…。^_^;

その辺は、妙にガードを固めないで本音でやりあってる人達の方が、安心できると思うんだけどな～。

[36] mixiユーザー 09月29日 04:35

>近い内に実力不足だって踏み潰されそうなので

実力勝負で生きてる人達は、逆に勝ち負けにこだわらない。
明日は我が身だからね。（笑）
そういうもんです。

[37] mixiユーザー 09月29日 04:37

いや、「勝ち負けにこだわらない」は違うな。（笑）
「一瞬こだわるけど、すぐに過去の物となる」が正解だな。
こだわった方が楽しいからっていう、簡単な理由なんだけどさ。（笑）

[38] mixiユーザー 09月29日 04:43

＞イデムリンさん
あ、その感覚わかります☆
勝負事そのものは好きだし、負けず嫌いなんだけど、飽きるのも早い(笑)

[39] mixiユーザー 09月29日 06:41

間違いなく先生と呼ばれてるσ∥^O^∥・・・・
しかも、子どもの頭を押さえつけて教育している・・・
(物理的にも精神的にもだなぁ･･･)

しかも算数が苦手・・・・図形が苦手・・・・はぁ＿|￣|●
イデムリンさんにいじめられるぅ・・・

[40] mixiユーザー 09月29日 10:37

イデムリンさんの解法は、最後に「同一法」という論法を使われていますね。メネラウスの定理の逆を導入する際などに見かけますが、最初習ったときは意味がわからず、何度もノートを読み返した覚えがあります。まさかこんなところで再会するとは・・

皆さん楽しく議論されてますね。これからもよろしくお願いします。