内積の履修時期

以下　の　質疑　応答　に　遭遇しました。

内積は　未履修なので　しょうか....

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名前：高校２年生です 日付：2014/12/20(土) 12:5

x(x-4)+y(y-3)=0
この方程式は
原点、（4.0）、（0.3）の３点を通る円を表します。

と問題集にあるのですが、そう言えるのは何故でしょう？
x^2とy^2が含まれるので円であることはわかるのですが…。

宜しくお願い申し上げます。




Re: (untitled)
名前：V 日付：2014/12/20(土) 12:16
> 原点、（4.0）、（0.3）の３点を通る
>
> と問題集にあるのですが、そう言えるのは何故でしょう？
代入してみれば確認できると思います。



Re: (untitled)
名前：けんけんぱ 日付：2014/12/20(土) 12:18
疑問点をはっきりさせましょう

x(x-4)+y(y-3)=0
この方程式は
原点、（4.0）、（0.3）の３点を通る円を表します。

と問題集にあるのですが、そう言えるのは何故でしょう？
x^2とY^2が含まれるので円であることはわかるのですが
原点、（4.0）、（0.3）の３点を通ることがわかりません。

ですか？



Re: (untitled)
名前：イプシロン 日付：2014/12/20(土) 12:24
（補足）
x(x-4)+y(y-3)=0・・・(*)
⇔x^2-4x+y^2-3y=0
⇔(x-2)^2-4+(y-3/2)^2-9/4=0
⇔(x-2)^2=+(y-3/2)^2=25/4
⇔(x-2)^2=+(y-3/2)^2=(5/2)^2
よって、(*)は、中心(2,3/2)、半径5/2の円を表す。

また(*)の左辺に、(x,y)=(0,0)を代入すると、(左辺)=0となるから、
確かに、点(0,0)は(*)上にある。

点(4.0)、点(0.3)についても、(*)の左辺に代入して、(左辺)=0となることをチェックすればOKです。



Re: (untitled)
名前：イプシロン 日付：2014/12/20(土) 12:27
↑式変形にミスあり、訂正します。スレを汚してしまい、申し訳ないです。

（補足）
x(x-4)+y(y-3)=0・・・(*)
⇔x^2-4x+y^2-3y=0
⇔(x-2)^2-4+(y-3/2)^2-9/4=0
⇔(x-2)^2+(y-3/2)^2=25/4
⇔(x-2)^2+(y-3/2)^2=(5/2)^2
よって、(*)は、中心(2,3/2)、半径5/2の円を表す。

また(*)の左辺に、(x,y)=(0,0)を代入すると、(左辺)=0となるから、確かに、点(0,0)は(*)上にある。

点(4.0)、点(0.3)についても、(*)の左辺に代入して、(左辺)=0となることをチェックすればOKです。



Re: (untitled)
名前：高校２年生です 日付：2014/12/20(土) 12:45
みなさまご回答ありがとうございました。
総合すると、やはり代入して確認できるところまでは理解出来ます。

これは円を表しているな、
原点を代入して成立しそうだな、までは分かるのですが、代入して確認する前に

パッと見た瞬間に、（4.0）（0.3）を通るのが分かるのは <----パッと見た瞬間に　●「◎　

４または３絡みの座標と推測し、その後代入してその推測が正しいことを確認する以外に気づく方法はございませんか？



Re: (untitled)
名前：Ｉ 日付：2014/12/20(土) 12:52
x(x-4)+y(y-3)=0

<--->(x-0,y-0)^t と　(x-4,y-3)^t の内積が　0

　　(vector が　直交　で　円）



Re: (untitled)
名前：Ｉ 日付：2014/12/20(土) 12:59

　　　　　　酷似例

(vector が　直交　で　球面)

(x-2014)*(x-7)+(y-2)*(y-5)+(z-1)*(z-3)=0

は　ぱっとみて

(2014,2,1),(7,5,3)を　通る　球面。




Re: (untitled)
名前：V 日付：2014/12/20(土) 13:7
覚える必要はないと思いますが

任意の実数a,b,c,d(a=bかつc=dのときをのぞく)について
方程式(x-a)(x-b)+(y-c)(y-d)=0 は円を表し
点(a,c)(a,d)(b,c)(b,d)を通ると思います。

確認してみてください。



Re: (untitled)
名前：イプシロン 日付：2014/12/20(土) 13:32
x+y=0が、点(0,0)を通るのは、すぐに分かると思います。
では、x(x-4)+y=0が、点(0,0)や点(4,0)を通ることは、すぐに分かりますか？
これが分かれば、x(x-4)+y(y-3)=0が、点(0,0)や点(4,0)、点(0,3)を通ることも、すぐに分かると思います。



Re: (untitled)
名前：Ｉ 日付：2014/12/20(土) 15:20

https://mathway.com/examples/Precalculus/Conic-Sections/Finding-a-Circle-by-the-Diameter-End-Points?id=660

(問題の　2 点　は　アクセス　する　度　変化するようです)

Finding a Circle by the Diameter End Points <---が　着眼点　です。

　　　 　(3,-2) (5,-5) なら

　　　↑　　　は　↓　と　すべき　でもあります

内積が零! ; (x - 3)*(x - 5) + (y - (-2))*(y - (-5))=0

　　　　　　　　(の　儘が　よいが　展開せよ　と云う人がいたら)

　　　　　　　　から

　 25 - 8 x + x^2 + 7 y + y^2=0



(x - 3)*(x - 5) + (y - (-2))*(y - (-5))=0 を　↓　に　挿入を;

http://www.wolframalpha.com/


Re: (untitled)
名前：Ｉ 日付：2014/12/20(土) 16:0

内積が零 に　ついて　↓の　18頁　

2 点A(x1, y1), B(x2, y2) を直径の両端とする円の方程式

(13頁も) を　ご覧願います;

http://www.geocities.jp/hympj409/suugaku/figure.pdf


http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product
　　　　　　　を是非



Re: (untitled)
名前：V 日付：2014/12/20(土) 16:45
>代入して確認する前にパッと見た瞬間に、（4.0）（0.3）を通るのが分>かるのは、４または３絡みの座標と推測し、その後代入してその推測が>正しいことを確認する以外に気づく方法はございませんか？

次回、類題を見られると、すばやく気付くと思います。



Re: (untitled)
名前：Ｉ 日付：2014/12/20(土) 20:5
Example 2: Find the equation of a circle that has points P (1, 8) and Q (5, -6)
as the endpoints of a diameter.

は　vector (x,y)-(1,8)⊥ vector (x,y)-(5,-6)

<--->(x,y)-(1,8)　　と　(x,y)-(5,-6)　の　内積　が0

<---->(x-1)*(x-5)+(y-8)*(y-(-6))=0

で　瞬時に　本質を突いた　解答が　得られるのです。

===== 是非　http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

を　学んで　↑　を　ご理解下さい =====

無論　↓　の　方法も　在ります　が....

http://www.epcc.edu/OfficeofStudentSuccess/tutorialservices/tutorialsupportservicesvv/Documents/Equation_of_Circles.pdf

　　　　　　\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

　　　　やりとりを　眺め　　なかなか　議論が　噛みあわず

内積は　是非　　円 , 球面　履修前に　学ばねば　と　考える次第です...

http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019812

<---- 外積も!^(2014) 　の　飯高先生の　生声在り...