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言われてみれば…思いつくかヴォケー！な問題をドゾー

コメント(27)

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[1] mixiユーザー 09月10日 23:53

５で割り切れない奇数は全て、ある整数をかけると「全桁が５であるような整数」に出来ることを示しなさい。

例えば、３には185を、７ならば79365をかければよい。

[2] mixiユーザー 09月11日 16:35

５で割り切れない奇数は全て、ある整数をかけると「全桁が１であるような整数」に出来る

と同じ事になりますかね。

[4] mixiユーザー 09月14日 13:50

11...10...0がｎで割れるから
11...1×10...0に分けると
どちらかがｎで割り切れるはず…ってのは惜しい。

70は14で割り切れるけど
7も10も14では割り切れません

[6] mixiユーザー 09月15日 01:43

？？
初です…が、、

１０は２と５の素因数分解しかできないから
１００００００……はどうやっても
２~Ｌ×５~Ｌにしか分解できないわけで
ｎは奇数で、かつ５でわれ無いということは、
２でも５でも割り切れないんだから、
素因数分解しても２も５も出てこないので
１１１１１１１……の部分しか割れないのでは？

１４は奇数じゃないし。
７０は１１１１…じゃない。まして
７と１０を１４で割る必要もないし
反例になってないのでは。
１１１０００…で割れる奇数かつ５の倍数でない
数があれば別ですが。

３さんの証明でいいんじゃないですか？
説明をはしょってるけど。

[7] mixiユーザー 09月15日 09:12

証明はあってますよー
しぶさんの言う点はこの証明の重要ポイントだから言及して欲しいなぁー、惜しいなぁーなんて思いましてね。

７０の例は、「一般の整数では成り立たないですよー」ってことを言おうとしたんですが…むむむー

[11] mixiユーザー 09月26日 01:10

あってるでしょうか？？

abc...n=87.5(a+b+c+...+n)
2(abc...n)=175(a+b+c+...+n)…?
2(abc...n)=5*5*7(a+b+c+...+n)

ここで右辺5*5*7は2で割りきれないから
a+b+c+...+nは2で割りきれる偶数である。
すると、この時左辺abc...nのどこかに
素数5,5,7が入ってなくてはならない。
（2(abc...n)=5*5*7*2*xyz...と書けるはずだから）

ということは3つは5,5,7として
2(abc...n)=a+b+c+...+n+17
を満たす組み合わせを見つければよい。
a,b,c,..,nはそれぞれ2以上なので
この式を構成する数の個数は多くとも4つである。
2*2*2*2*2=32>2+2+2+2+17=25
最小の２にたいしてこれ以上個数を増やすと
左辺が右辺より大きくなるため。
またこの式を構成する数の最大値は17である。
最小個数の1個の時で17以上だと
左辺が右辺より大きくなるため。
ということはこの４つは
2,3,5,7,11,13,17の４つ以内の組み合わせである。

条件である５個以上の集団であることや
２で割りきれることなどを考えつつ

しらみつぶしにしらべたことにして

５，５，７，２，２，３(和は２４)を得る。

[12] mixiユーザー 09月26日 12:37

これ、「５個以上」って条件がなくても成立するような気がしますね

[13] mixiユーザー 09月26日 12:57

５,５,７,１７っていうのが
あるにはあるんです。

[14] mixiユーザー 09月26日 18:28

ああそうか。あさはかやわーおいら

[16] mixiユーザー 07月20日 18:16

はじめまして。このコミュニティの趣旨に沿うか分かりませんが、自作の問題です。

「互いに素な二桁の自然数が二つあり、それぞれを二乗した数の平均が平方数になるという。このとき二桁の自然数の組み合わせを全て求めよ」

僕自身の解き方がベストかは分かりませんが、中学までの数学で解けるはずです。皆さんよろしくお願いします。

[21] mixiユーザー 11月05日 08:49

えっと
17,31
23,47
31,49
でしょうか？

まず題意は

２つの互いに菜な自然数をa,bとした時、

(a~2+b~2)/2=c~2

を満たす自然数a,b,cを見つけよ、ということになります。

すると条件から
a~2+b~2
は２で割れます。
ということはa~2+b~2は偶数です。
するとはa~2+b~2は偶数+偶数か奇数+奇数しかありません。
このうち偶数+偶数はa~2,b~2ともに偶数ということなので
２乗する前のa,bも偶数となってしまい、互いに素ではないので不適。
そこでa~2,b~2がそれぞれ奇数、従ってa,bはそれぞれ奇数だとわかります。
ここで(a~2+b~2)/2（式?）を考えて見ます。
仮に(a~2+b~2)/2がc~2の形で表せるとしたとき
a,b奇数より
a=2m+1,b=2n+1とおき
式?（つまり仮定どおりならC~2)に代入すると
2m~2+2m+2n~2+2n+1となりこれも奇数だとわかります。従って
C~2なるものはあったとしたら奇数であり
cも奇数だというこになります。

またa,bは２桁の互いに素な自然数のため
(a~2+b~2)/2=c~2とすれば
このようなc~2は50(正確には15*15＝225/2（C~2=11*11=121は（a~2+b~2）/2を満たす２桁のa,bより明らかに不適。同様にC~2=13*13)より大きく5000（正確には69*69＝4761）
より小さいはず。

これで該当するcは15から69の奇数29個に絞れたました。
これらを２剰した数?と,さらに２をかけた数?を根気よく計算する。
aもbも奇数なので、仮定より

(a~2+b~2)/2=c~2

変形して

a~2+b~2=2*c~2になるように
?のなかで?の２つ数の足し算でできるものを調べると
（またもや、しらみつぶしにしらべます）

(a,b,c)
(17,31,25)
(21,51,39)
(21,69,51)
(23,47,37)
(31,49,41)
を得ます。あとは確かめ算をして
a,bは互いに素なものを外して答えです。

[22] mixiユーザー 11月06日 03:12

＞エネさん
(p,q)=1,2|pq,　の意味がよく分からないのですが、互いに素、二桁という条件を無くしたらそうなりそうですね。

＞しぶさん
＞c~2は50より大きく5000より小さいはず。
という部分はどのように導いたのでしょうか？
cはaとbの間の数であることを考えれば、cも二桁の数ということになりますが、それ以上範囲を絞ることはできないと思いますよー。
答えはもっとあります。

訂正・自分の解き方で中学の範囲外の数学も若干使っていました。すみません。

地道にやれば必ず答えの出る問題なので、いかに手数を省けるかがポイントとなります。（それにしても面倒な問題には違いないですが…）

[23] mixiユーザー 11月06日 09:43

そうですね

ａ，ｂが２桁だから…と思って範囲を求めたんですが
c~2は１００～１００００程度はあるわけですね。
ああ…○TL

[24] mixiユーザー 11月06日 15:58

すると

(a,b,c)
(13,91,65)
(17,31,25)
(17,73,53)
(23,47,37)
(23,89,65)
(31,49,41)
(47,79,65)
(49,71,61)
(71,97,85)

であってますか？

[25] mixiユーザー 11月06日 16:41

＞しぶさん
一番上のは13で割り切れるので外しますが、あとは正解ですよー。
とても面倒な問題を解いていただいてありがとうございました笑。

一応自分で解いた解答を貼っておきますね。解答内では a の b 乗を a^b 、ルート a を √(a) 、 a 分の b を b / a と表しています。
http://space-town.net/~clx/answer1.doc
http://space-town.net/~clx/answer2.doc

一人でも楽しんでいただけたら幸いです。

[27] mixiユーザー 11月10日 15:00

＞エネさん
なるほど、そういう意味の記号でしたか。大正解です！
素晴らしいです…。

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