数理パズルコミュの９問目

?図のように、
かならず左と下の数字よりも大きくなるように
３×３の升目に１～９を並べる方法は何通りありますか？

?　?と同様に、
かならず左と下の数字よりも大きくなるように
４×４の升目に１～１６を並べる方法は何通りありますか？

?aabcadbbcadcdbcdのように、
何番目までを見てもaの個数＞bの個数＞cの個数＞dの個数
が成り立つように４つずつ１列に並べる方法は何通りありますか？

コメント(12)

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[2] mixiユーザー 08月21日 02:15

D♭さん４２あってます。
ナイスな根気です！

難しいのでヒントとなる絵をドゾー

[3] mixiユーザー 11月10日 05:39

上の図の解説。
右上の図で、
右に進むのをａ、下に進むのをｂとして
赤いルートを書き並べると左の文字列になります。

左下の図で、
下段に置かれればａ、上段に置かれればｂとして
数字の順にａとｂを書き並べると左の文字列になります。

このように作った文字列は、?のような条件を満たすはずです。

[5] mixiユーザー 10月03日 19:24

?ですが
２４０２４でしょうか？

[6] mixiユーザー 10月05日 00:25

とうとう正解者が現れましたねー。
どのようにお解きになられましたか？

[7] mixiユーザー 10月05日 14:22

合ってましたか、よかった。

最初は紙の上に書いて考えていましたが、
途中で大変になってプログラムを書いて調べました。

Ｍ，Ｎ，Ｏ，Ｐ
Ｉ，Ｊ，Ｋ，Ｌ
Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ

このように変数を決めます。ただし条件からＡ=1,Ｐ=16と決まります。
あとはＢからＯまでをそれぞれ変えながら条件にあう数列を求めるのですが、
まともにやると大変なので、それぞれの範囲を求めます。
Ｂは２～５です。６以上だとＰが１７以上である必要があるのでダメです。
同様にＣは３～９、Ｄは４～１３といった具合です。
このように範囲を狭めてから求めました。私のＰＣで一分半ほどかかりました。

もうちょっと理詰めで考えたら良かったのかも。
たとえば２はＢかＥにしか入りません。
３はＢ，Ｃ，Ｅ，Ｉ
４はＢ、Ｃ、Ｄ，Ｆ，Ｅ，Ｉ、Ｍ
といった具合に・・・。

[8] mixiユーザー 10月06日 01:27

このような線の上を、後戻りせずに左下から一番上までに行くとき
途中のどの地点においても
ａ方向に行った回数≧ｂ方向に行った回数≧ｃ方向に行った回数
が成り立ちます。

○○○○
○○○○
○○○○
のような枠に問題の条件を満たすようにして
１から順番に数字を入れていくとき
途中のどの時点でも
下段に入れた個数≧中段に入れた個数≧上段に入れた個数
が成り立ちます。

[9] mixiユーザー 10月07日 00:18

edyさん
プログラミングのスキルいいですなぁー
なんか文字がいっぱいあっておいらが組んだら破綻しそうｗｗ

[10] mixiユーザー 10月07日 21:29

プログラミングのスキルですか（汗）とんでもないです。
BASICで書いたのですがFOR～NEXT文の十四乗ループにIF文の塊りですわ。
もうちょっとエレガントに組めないものかと思ってます。
今の早いPCに助けられてできた様なものです。
昔々のマイコン（当時はパソコンと言わずマイコンと言いました）なら数日から数週間かかったかもしれません。

[11] mixiユーザー 12月29日 11:12

これで、必ずうまくいくとの証明はできていませんが…

まず、それぞれのマスに「（自分の真上にあるマスの数）＋（自分の真右にあるマスの数）＋１」である数を書き込みます

例えば４×４では

????
????
????
????

こんな感じになります

そしたら、マスの総数の階上を各々の数字で割ると答えになっています

16!÷（1×2×3×4×2×…5×6×7）＝24024

これだと長方形の形を成していなくても、例えば

○
○○
○○○

このようなマスの配置でも計算できるっぽいです

厳密な証明はできていませんが…

[12] mixiユーザー 03月26日 17:44

> ちんねんさん
合ってますねぇー。二段の場合はカタラン数と呼ばれていて、組み合わせ記号Ｃを用いて表されますから、その延長なんでしょうなぁー。よく調べてないですが新しい発見かもしれません

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