高校数学の裏技コミュの斜回転体の体積

■斜回転体の体積
曲線C：y=f(x)と直線L：y=g(x)が囲む部分をLのまわりに回転してできる体積をVとすると，直線Lとx軸のなす角の大きさをθとして，

　V=πcosθ∫{f(x)-g(x)}^2dx

となります．

※カヴァリエリの原理で
　ΔV=πcosθ{f(x)-g(x)}^2Δx
として証明できます．回転体の体積も射影のように扱えるという結果が得られます．

■例題
射回転体の体積を求めさせる入試問題は，下の問題が圧倒的に多い(答えを覚えててもいいくらいこれしかでない)．

xy平面において，放物線y=x^2と直線y=xによって囲まれた図形を，y=xのまわりに回転させてできる回転体の体積を求めよ．

【解答】
囲まれた領域のうち，区間[x,x+Δx]の部分を直線y=xのまわりに回転した回転体の体積ΔVは，AB=Δx√2，BC=(x-x^2)/√2の長方形ABCDをABのまわりに回転した回転体の体積とみなせる(図を書いて説明しましょう)．
∴ΔV=π{(x-x^2)/√2}^2*Δx√2
=(π/√2){(x-x^2)/√2}^2*Δx
したがって，求める体積は
(π/√2)∫[0,1]{(x-x^2)/√2}^2dx=π√2/60

コメント(4)

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[2] mixiユーザー 08月04日 02:11

?Vは薄い扇形の表面積に?Ｘという幅をかけたもであるから
それをΣで合計したところ、
?x→0なのでＶ=∫･･･に近似しているということだとおもいます。

積分の定義だと思います

[3] mixiユーザー 08月05日 05:59

> トライヌさん
?V=(π/√2)*{(x-x^2)/√2}*?x
⇔
?V/?x=(π/√2)*{(x-x^2)/√2}

?x→0のとき?V→0

∴dV/dx=(π/√2)*{(x-x^2)/√2}
両辺xで積分して、
∫(dV/dx)dx=∫(π/√2)*{(x-x^2)/√2}dx
∴V=∫(π/√2)*{(x-x^2)/√2}dx

ってことではないでしょうか…...〆(．． )

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