![[dir] 大学受験](https://logo-imagecluster.img.mixi.jp/photo/comm/72/35/1257235_182s.jpg){kind=logo}
以下では関数f(x)やg(x)は全て連続関数とします．
■1．シュワルツの積分不等式
{∫[a,b]f(x)^2dx}{∫[a,b]g(x)^2dx}≧{∫[a,b]f(x)g(x)dx}^2
■2．定積分不等式(1)
区間a≦x≦bでf(x)≦g(x)のとき
∫[a,b]f(x)dx≦∫[a,b]g(x)dx
■3．定積分不等式(2)
a≦bのとき
|∫[a,b]f(x)dx|≦∫[a,b]|f(x)|dx
■4．定積分不等式(3)
2つの微分可能な関数f(x),g(x)がf'(x)≧0，g'(x)≧0，g(0)=0をみたす．このとき，x≧0に対して
∫[0,x]f(t)g'(t)dt≦f(x)g(x)
■5．定積分不等式(4)
f(x)が∫[a,b]f(x)dx=0をみたし，区間a≦x≦bにおいて増加する関数をg(x)とすると
∫[a,b]f(x)g(x)dx＞0
■6．ヤングの不等式
f(x)はf(0)=0をみたす増加関数，g(x)はf(x)の逆関数とするとき，a＞0,b＞0として
∫[0,a]f(x)dx+∫[0,b]g(x)dx≧ab
※ヤングの不等式が入試に出題されるときは
1/p+1/q=1,p＞0,q＞0のとき任意の正数a,bに対して
a^p/p+b^q/q≧ab
を証明させるものがほとんど(f(x)=x^(p-1)と考えればよい)
■1．シュワルツの積分不等式
{∫[a,b]f(x)^2dx}{∫[a,b]g(x)^2dx}≧{∫[a,b]f(x)g(x)dx}^2
■2．定積分不等式(1)
区間a≦x≦bでf(x)≦g(x)のとき
∫[a,b]f(x)dx≦∫[a,b]g(x)dx
■3．定積分不等式(2)
a≦bのとき
|∫[a,b]f(x)dx|≦∫[a,b]|f(x)|dx
■4．定積分不等式(3)
2つの微分可能な関数f(x),g(x)がf'(x)≧0，g'(x)≧0，g(0)=0をみたす．このとき，x≧0に対して
∫[0,x]f(t)g'(t)dt≦f(x)g(x)
■5．定積分不等式(4)
f(x)が∫[a,b]f(x)dx=0をみたし，区間a≦x≦bにおいて増加する関数をg(x)とすると
∫[a,b]f(x)g(x)dx＞0
■6．ヤングの不等式
f(x)はf(0)=0をみたす増加関数，g(x)はf(x)の逆関数とするとき，a＞0,b＞0として
∫[0,a]f(x)dx+∫[0,b]g(x)dx≧ab
※ヤングの不等式が入試に出題されるときは
1/p+1/q=1,p＞0,q＞0のとき任意の正数a,bに対して
a^p/p+b^q/q≧ab
を証明させるものがほとんど(f(x)=x^(p-1)と考えればよい)
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