高校数学の裏技コミュの3次関数の解

3次関数の解について

■1．整数解
a,b,cを整数として，方程式
　　x^3 + ax^2 + bx + c = 0
が整数解をもつならば，その整数解はcの約数かその-1倍である．

■2．補題(三次関数の変形)
一般的にいかなる三次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dも，
　　f(x)=a(x+b/3a)^3 + p(x+b/3a) + q
と変形できる(立方完成)．さらにt=x+b/3aとおけば
　　g(t)=at^3+pt+q
∴g(t)=0⇔t^3+(p/a)t+(q/a)=0
以上から，三次方程式の解を求めるには
　　x^3 + px + q = 0
の形にすればよい．以下，この形で考えます．

■3．三次方程式の解の求め方
(実数係数の)三次方程式
　　x^3 + px + q = 0
の解α,β,γは，実数u,vを用いて，一般的に
　　α= u+v
　　β= uω+vω^2
　　γ= uω^2+vω
と書ける．ωは1の3乗根ω=(-1+i√3)/2
解と係数の関係から
αβ+βγ+γα=u^3+v^3=p
αβγ=uv=-q
∴u^3+v^3=p,u^3*v^3=-q^3より2次方程式
　　t^2 - pt - q = 0
はu^3,v^3を解にもつ．
∴u = {(p+√(p^2+4q))/2}^(1/3)
　v = {(p-√(p^2+4q))/2}^(1/3)
よってこれをα,β,γの式に代入すれば解が求まる．

※実際にはこの裏技は数値がきたなくなるためいささか不便である．むしろ下の三角関数の方法をオススメします(出題されることも多いので)．

■4．三角関数での解
　　x^3 + px + q = 0
にx=(4^(1/3))zを代入し，
　　4z^3 - 3z + q = 0
となる．z=cosθとおけば
　　4(cosθ)^3 - 3cosθ+ q = 0
　⇔cos3θ=-q
これをθについて解けば解が三角関数を用いて表すことができます

コメント(11)

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[1] mixiユーザー 08月26日 08:28

４番目の解法（３倍角の定理を使う）というのは面白いですね。
考えてみれば当然ですが、恥ずかしながら、
言われてはじめて気がつきました。
参考になりました。
カルダノの方法を焼き直しているのですね。

[2] mixiユーザー 08月26日 23:33

３倍角の公式がこんなところに出てくるとは驚き。

これは偶然なのかどうなのか？

つまり、より高次の方程式に応用できないか？ってことです。

[3] mixiユーザー 08月27日 00:31

3倍角が出てきた理由は、別トピックで説明したチェビシェフ多項式が背景にあるからです。

3次のチェビシェフ多項式T[3](x)は
　T[3](x) = 4x^3 - 3x
であり、どんな3次関数も立方完成等を使って
　4x^3 - 3x + k (kは定数)
という形に変換できるためです。

　ところが、4次以上ではこううまくはいきません。4次チェビシェフ多項式T[4](x)は
　T[4](x) = 8x^4 - 8x^2 + 1
これに対し、4次関数は頑張っても
　8x^4 - 8x^2 + kx + m (k,mは定数)
となってしまい、1次係数が残ってしまうので、この方法は使えないのです。

[4] mixiユーザー 08月27日 00:40

よろしければ解き方４のx^3+px+q=0から4z^3-3z+q=0の変形を教えていただけませんか

4z^3になる理由は分かるのですが-3zになる理由がわかりませんので、よろしくご指導願います

[5] mixiユーザー 08月27日 11:57

具体的数値でやった方がわかりやすいと思うので、
　x^3-x+1=0
をチェビシェフ型に変換することを考えます。
　x = ky
を代入すると
　k^3･y^3-ky+1=0
ここで、
　k^3：(-k)=4：(-3)
となればよく、このとき
　3k^3-4k=0
　⇔(k^2-4/3)k=0
　⇔k=0,±2/√3
k=2/√3を選べば
　(8/3√3)y^3-(2/√3)y+1=0
両辺に(3√3)/2をかけて
　4y^3-3y+1=0
となります。

ちなみに、この三角関数の方法は当然ながら解が全て実数解でなければ適応できません。

この三角関数の解の求め方を前面に押し出した以下のような問題を私は予備校の京大模試で出題しました。いささか難問ぽくしたので出来はあまりよくなかったですが、三角関数との関係のイメージがつきやすいとは思います。

【問題】
　平面上に，原点O(0,0)を重心とする一辺の長さが2√3の正三角形ABCがあり，各頂点のx座標をa,b,cとする．また，xについての方程式x^3-3x-t=0の解が全て実数解のとき，その実数解をp(t),q(t),r(t)とする．
(1) (p(t),q(t),r(t))を適当に並べかえると(a,b,c)に一致するようなtが必ず存在することを示せ．
(2) p(t)≧q(t)≧r(t)であるとき，p(t)=2cosθ(0≦θ≦π/3)とおけば，
　θ=-(1/3)∫[0,t/2]1/√(1-x^2) dx
が成り立つことを示せ．

[6] mixiユーザー 08月27日 13:08

> 4

確かにx=(4^(1/3))zでは変換できませんね。

この場合

x^3 + px + q = 0　・・・(1)

を

4z^3 - 3z + k = 0　・・・(2)

の形になら変換できます。

x=az (aは０でない定数)で変換できたとすると、(1)へ代入して

a^3z^3 + paz + q = 0

ここでz^3の係数を４に合わせるため両辺を4/a^3倍すると

4z^3 + (4p/a^2)z + 4q/a^3 = 0

この式と(2)の係数を比較して

4p/a^2=-3 , 4q/a^3=k

となるようなa, k、すなわち

a=±(-4p/3)^(1/2)
k=±4q*(-3/4p)^(3/2)

ととれば(1)は(2)に変形できます。

[7] mixiユーザー 08月27日 21:01

ご丁寧にありがとうごさいます。
これは凄いっす…モニックと併用したら面白い問題できそう

[8] mixiユーザー 08月12日 18:14