![[dir] 大学受験](https://logo-imagecluster.img.mixi.jp/photo/comm/72/35/1257235_182s.jpg){kind=logo}
多項式と漸化式の組み合わせは難関大学では非常に多いですが、中でも極めて高い出題率を誇るのがチェビシェフの多項式です。これそのものを扱う問題や、問題背景として題材にすることが多く、東大・京大・東北大・名大・九大を始め多くの大学で出題される頻出問題です。知識として知るだけでなく裏技としても使用できます。
■１．定義
チェビシェフの多項式T[n](x)は
T[1](x)=1 , T[2](x)=2x^2-1
T[n+2](x)=2xT[n+1](x)-T[n](x)
と定義されます。この漸化式を覚えておきましょう。
■２．グラフの概形
下のコメント欄１・２にグラフ画像をアップしてますのでまずはそちらを見て下さい。どのグラフy=T[n](x)も
-1≦x≦1 ⇔ -1≦y≦1
であり、(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)を4頂点正方形の中に綺麗にピッタリおさまります。この特徴を頭に焼き付けておいて下さい。
■３．三角関数との関係
チェビシェフ多項式は余弦関数と深い関係があります。「３倍角の公式」なら語呂で覚えている人も多いですが、4倍角以上は覚えきれません。しかしT[n](x)を使えば雪崩式にn倍角の公式を求められます。実はx = cosθとおくと
cosnθ=T[n](cosθ)
というn倍角の等式が成り立ちます。つまり■１の漸化式を覚えていれば
cos(n+2)θ=2cosθcos(n+1)θ-cosnθ
という等式が作れます。これがよく題材にされますので、「漸化式を作れ」という問題の検算にもなりますし、数３の積分漸化式でも活躍します。
また、■2のグラフを見れば、T[n](x)=0の解はちょうど
「cosnθ=0をみたす全てのθについてのcosθ」
に対応し、-1≦x≦1の区間にn個の実数解を持つことが分かると思います。それらの実数解は
cos(π/n),cos(2π/n),cos(3π/n),…,cos(nπ/n)
になります。
□４．双曲線余弦関数との関係
これは入試ではまず出題されないと思いますので、興味ある人だけ。三角関数では-1≦x≦1しか対応しませんが、それ以外の区間に対応する関数が双曲線余弦関数で、
f(θ) = (e^θ+e^(-θ))/2
とすると、
f(nθ)=T[n](f(θ))
という等式が成り立ちます。なおf(θ)はcoshθとも表記します
■１．定義
チェビシェフの多項式T[n](x)は
T[1](x)=1 , T[2](x)=2x^2-1
T[n+2](x)=2xT[n+1](x)-T[n](x)
と定義されます。この漸化式を覚えておきましょう。
■２．グラフの概形
下のコメント欄１・２にグラフ画像をアップしてますのでまずはそちらを見て下さい。どのグラフy=T[n](x)も
-1≦x≦1 ⇔ -1≦y≦1
であり、(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)を4頂点正方形の中に綺麗にピッタリおさまります。この特徴を頭に焼き付けておいて下さい。
■３．三角関数との関係
チェビシェフ多項式は余弦関数と深い関係があります。「３倍角の公式」なら語呂で覚えている人も多いですが、4倍角以上は覚えきれません。しかしT[n](x)を使えば雪崩式にn倍角の公式を求められます。実はx = cosθとおくと
cosnθ=T[n](cosθ)
というn倍角の等式が成り立ちます。つまり■１の漸化式を覚えていれば
cos(n+2)θ=2cosθcos(n+1)θ-cosnθ
という等式が作れます。これがよく題材にされますので、「漸化式を作れ」という問題の検算にもなりますし、数３の積分漸化式でも活躍します。
また、■2のグラフを見れば、T[n](x)=0の解はちょうど
「cosnθ=0をみたす全てのθについてのcosθ」
に対応し、-1≦x≦1の区間にn個の実数解を持つことが分かると思います。それらの実数解は
cos(π/n),cos(2π/n),cos(3π/n),…,cos(nπ/n)
になります。
□４．双曲線余弦関数との関係
これは入試ではまず出題されないと思いますので、興味ある人だけ。三角関数では-1≦x≦1しか対応しませんが、それ以外の区間に対応する関数が双曲線余弦関数で、
f(θ) = (e^θ+e^(-θ))/2
とすると、
f(nθ)=T[n](f(θ))
という等式が成り立ちます。なおf(θ)はcoshθとも表記します
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コメント(11)
第二種は受験ではあまり見かけないですねぇ
追加で
■チェビシェフ多項式の合成
T[p](T[q](x))=T[pq](x)
■T[n](x)-x=0
T[n](x)-x=0は区間-1≦x≦1にn個の解を持ち、それらの解の和は0。
よってT[p](x)=y,T[q](y)=xを同時に満たす解のベクトル(x,y)=v↑はpq個存在し、それらの総和は(0,0)となる。
■係数
nが偶数のとき、奇数次の係数は全て0。
nが奇数のとき、偶数次の係数は全て0。
てのは簡単ですので覚えておきましょう。
それ以外の係数はややこしいので参考程度で。
T[n](x)のx^(n-2k)の係数a[n,k]は
a[n,k]=(-1)^k*(n/(n-k))*2^(n-2k-1)*C[n-k,k]
と表されます。また、a[n,k]には以下のような性質があります。
●Σa[n,k]=1
●Σ(-1)^(k)a[n,k]=S[n]とすると、S[n+2]=2S[n+1]+S[n]という、亜フィボナッチ族数列となる。
●m=n-kとしてa[n,k]=R[m,k]とおくと
R[m,k]=R[m-1,k-1]+2R[m-1,k]
(1+x)(1+2x)^(m-1)のx^kの係数がR[m,k]となる。
追加で
■チェビシェフ多項式の合成
T[p](T[q](x))=T[pq](x)
■T[n](x)-x=0
T[n](x)-x=0は区間-1≦x≦1にn個の解を持ち、それらの解の和は0。
よってT[p](x)=y,T[q](y)=xを同時に満たす解のベクトル(x,y)=v↑はpq個存在し、それらの総和は(0,0)となる。
■係数
nが偶数のとき、奇数次の係数は全て0。
nが奇数のとき、偶数次の係数は全て0。
てのは簡単ですので覚えておきましょう。
それ以外の係数はややこしいので参考程度で。
T[n](x)のx^(n-2k)の係数a[n,k]は
a[n,k]=(-1)^k*(n/(n-k))*2^(n-2k-1)*C[n-k,k]
と表されます。また、a[n,k]には以下のような性質があります。
●Σa[n,k]=1
●Σ(-1)^(k)a[n,k]=S[n]とすると、S[n+2]=2S[n+1]+S[n]という、亜フィボナッチ族数列となる。
●m=n-kとしてa[n,k]=R[m,k]とおくと
R[m,k]=R[m-1,k-1]+2R[m-1,k]
(1+x)(1+2x)^(m-1)のx^kの係数がR[m,k]となる。
やはり、第二種のほうはあまり、受験向きではないようですね。
一方で、実際に受験問題で見たことがあるわけではありませんが
（出題されたことはあるのでしょうか,,,）、
(7:)で定義したS[n](x)の方は（まだ）受験向きだと思っています。
S[n](2cosθ)=sin(nθ)/sinθ
S[n](q+q^(-1)) = ( q^n - q^(-n) ) / ( q - q^(-1) )
etc,,,
また、S[n](x) と T[n](x) には（正確には 2T[n](x/2)）は
密接な関係がありまして,,,
調べてみると面白いですよ。
ちなみにT[n](x) と 2T[n](x/2) は単純にスケーリングの違いだけですが、
2T[n](x/2) のほうで、x^(n-2k)の係数を書くと
a[n,k]より（幾分か）式がシンプルになります。
ところで、質問なのですが、
亜フィボナッチ族数列というのは何ですか？
定義を教えてくれませんか？
フィボナッチ数列の漸化式の係数を少し変えたもの、
くらいの定義ですか？
また、(8:)で定義されたS[n]は、
何か数学的に由緒正しい数なのでしょうか？
一方で、実際に受験問題で見たことがあるわけではありませんが
（出題されたことはあるのでしょうか,,,）、
(7:)で定義したS[n](x)の方は（まだ）受験向きだと思っています。
S[n](2cosθ)=sin(nθ)/sinθ
S[n](q+q^(-1)) = ( q^n - q^(-n) ) / ( q - q^(-1) )
etc,,,
また、S[n](x) と T[n](x) には（正確には 2T[n](x/2)）は
密接な関係がありまして,,,
調べてみると面白いですよ。
ちなみにT[n](x) と 2T[n](x/2) は単純にスケーリングの違いだけですが、
2T[n](x/2) のほうで、x^(n-2k)の係数を書くと
a[n,k]より（幾分か）式がシンプルになります。
ところで、質問なのですが、
亜フィボナッチ族数列というのは何ですか？
定義を教えてくれませんか？
フィボナッチ数列の漸化式の係数を少し変えたもの、
くらいの定義ですか？
また、(8:)で定義されたS[n]は、
何か数学的に由緒正しい数なのでしょうか？
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