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積分最小値問題
よく
『∫[0,π/3]|tanx-k|dx
を最小にするkを求めよ。』
なんて問題がありますが、これを楽〜に解く方法があります。月刊誌『大学への数学』ではこれをはみ出し削り論法といい、答えは暗算でk=1/√3とでます。
■単調増加関数にて
f(x)が区間[a,b]においてf(x)≧0,f'(x)≧0であるとき、
∫[a,b]|f(x)-k|dx
は、
k = f((a+b)/2)
のときに最小値をとり、その最大値はf(x)の原始関数をF(x)として
F(a) + F(b) - 2F((a+b)/2)
となる。
証明は簡単にできます。この一般化証明を知っていれば(そのまま証明を答案に使えますが)、いきなり答えがわかるので計算ミスも減るでしょう。
■kxの場合
f(x)が0＜x＜aにおいてf(0)=0,f'(x)＞0かつ凹凸が変化しないとき、
∫[0,a]|f(x)-kx|dx
は、
k = f(a/√2)/(a/√2)
のときに最小値をとり、その最大値はf(x)の原始関数をF(x)として
F(0) + F(a) - 2F(a/√2)
となる。
これも上と同様に一般化証明が簡単にできます。
よく
『∫[0,π/3]|tanx-k|dx
を最小にするkを求めよ。』
なんて問題がありますが、これを楽〜に解く方法があります。月刊誌『大学への数学』ではこれをはみ出し削り論法といい、答えは暗算でk=1/√3とでます。
■単調増加関数にて
f(x)が区間[a,b]においてf(x)≧0,f'(x)≧0であるとき、
∫[a,b]|f(x)-k|dx
は、
k = f((a+b)/2)
のときに最小値をとり、その最大値はf(x)の原始関数をF(x)として
F(a) + F(b) - 2F((a+b)/2)
となる。
証明は簡単にできます。この一般化証明を知っていれば(そのまま証明を答案に使えますが)、いきなり答えがわかるので計算ミスも減るでしょう。
■kxの場合
f(x)が0＜x＜aにおいてf(0)=0,f'(x)＞0かつ凹凸が変化しないとき、
∫[0,a]|f(x)-kx|dx
は、
k = f(a/√2)/(a/√2)
のときに最小値をとり、その最大値はf(x)の原始関数をF(x)として
F(0) + F(a) - 2F(a/√2)
となる。
これも上と同様に一般化証明が簡単にできます。
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