メスクリンの地図を考える（3）　まだ地図は描けない

　今回は楕円上に緯度を与える式を作ってみる。

　前回から三日間、何とか簡単に計算できる方法はないかとさんざん考えてみたが、結局うまい方法を思いつかなかった。最初に考えたとおり極座標の方程式から導くしかないようだ。

　しかしその前に、前回舌足らずだった点を補足しておこう。
楕円のパラメーター表示とはそもそも何をやっているものなのかということである。
そこでこんな図を描いてみた。



　円に対する角度とｘ、ｙ座標をそれぞれθｃ、ｘｃ、ｙｃとし、楕円に対してそれぞれθe、ｘe、ｙeとする。
　角度θｃをパラメーターとして、円周上の座標は楕円上の座標へと、ｘｃ→ｘe、ｙｃ→ｙeと変換され、円の中心角θｃは楕円上の座標によって与えられる角度θeに変換される。
（パラメーターの式ではｙ＝bsinθだが、メスクリンではｂ＝1なので、ｙ成分は円のｙ成分と同じになる）
　図では分かりやすいようにθｃ＝45度にしてある。円の中心角が45度なら、当然ｘcとｙcの値は同じになるが、この角度に対して与えられるｘeとｙeは同じにならないので、θeも全然違う角度になる。θｃ＝45度なら、ｘeとｙeから与えられる角度は約22.62度である。前回はθeで楕円上に緯度を与えようとしたので失敗したわけだった。

　緯度は円の中心角θｃによって与えられるのだから、楕円上の点をθeではなくθｃに対して与えれば、メスクリン上の緯度が決められることになる。

　という訳で本題に戻る。
　極座標の方程式には離心率が必要なので、まず離心率の値を求めるところから始めよう。



離心率＝長径/焦点間の距離
なので、焦点間の距離/2＝楕円の中心から焦点までの距離をｃとすると、

となる。また楕円は2焦点からの距離の和が等しいことから、x軸上でこの距離を測れば、
(a+ae)+(a-ae)=2a　となるので、2焦点からの距離の和は2aであることがわかる。
　さらにy軸上の点について同様に考えると b^2+c^2=a^2となる。これとc＝aeから
b^2+(ae)^2=a^2となり、整理すると、

となる。これでaとbから離心率eが求められた。
メスクリンの場合a＝2.4、b＝1なので、

となる。離心率が1なら放物線になるわけだから、メスクリンの形は離心率から見ても、ずいぶん極端な楕円といえる。

　楕円の極方程式は

だから、メスクリンの楕円の極方程式は、

となる。


（正確な位置だと書きずらいので焦点の位置をずらした）

　この式の焦点からの角度を楕円の中心角に引き直す。焦点からの角度をｆ、中心からの角度をθとする。図から、

となるので、

によって中心角が求められる。
　この中心角θによって緯度が与えられるが、ここから任意のθを求めるには反復計算するしかないようだ。少なくとも自分の頭では他の方法を思いつけない。
　さらに中心からの距離ｒは、

または、

という感じで与えることができる。これもやっぱり、もっと簡単に表す方法を思いつけないので、ここまでである。

　これらの式で楕円上に緯度を与えたら、あとは前回の平射図法の変換式で地図に経緯度が引けるわけだが、ここまででもかなり草臥れたので、今回はこれまで。