「自由クラス理論」非標準集合論コミュの定理

　「完全性」にたいするある定理　：　
　クラスが「完全」であるとは、ＺＦではこのように定義される。
　　　　Ｃｏｍ　ｘ　　Ｄｆ．　∀ａ　ａ∈ｘ　⇒　ａ⊆ｘ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　すなわち、要素がすべて、そのクラスの部分クラスになっているようなクラスのことである。
　次のような定理が容易に示される。
　　　　Ｔ．１　　　　Ｃｏｍ　ｘ　∧　Ｃｏｍ　ｙ　⇒　Ｃｏｍ　ｘ∩ｙ　

　　　　［証明］
　　　　ａ∈ｘ∩ｙ　ならば、　　　　　　　　　　　　　
　　　　ａ∈ｘ　∧　ａ∈ｙ　
　　　　定理の前提より、Ｃｏｍ　ｘ　∧　Ｃｏｍ　ｙ　であるから、
　　　　　ａ⊆ｘ　∧　ａ⊆ｙ　
　　　　故に、
　　　　　ａ⊆ｘ∩ｙ
　　　　すなわち、
　　　　　ａ∈ｘ∩ｙ　⇒　ａ⊆ｘ∩ｙ　
　　　　が示された。
　　　　これは　Ｃｏｍ　ｘ∩ｙ　の定義である。

　ＦＣでＴ．１と同じ定理が示せるであろうか？
　実はある条件を付けなければ、ＦＣではこのような定理は成り立たない。
　次のような条件付ならば、同じような定理が証明可能である。

　　　　Ｔ．２　　　　∃Ｚ　｛Ｃｏｍ　Ｚ　∧　Ｒｅｇ　Ｚ　∧　Ｘ⊆Ｚ　∧　Ｙ⊆Ｚ｝　∧　｛Ｃｏｍ　Ｘ　∧　Ｃｏｍ　Ｙ｝　⇒　Ｃｏｍ　Ｘ∩Ｙ　

　すなわち、「完全」で「正則」な集まりＺの部分集まりＸ，Ｙに対しては同じ定理が成り立つのである。　
　集まりが「完全」であることの定義をＦＣで記述すると、次のようになる。　

　　　　Ｃｏｍ　Ｘ　　Ｄｆ．　∀ａ　ａ∈Ｘ　⇒　∃！Ｂ　Ｂ⊂Ｘ　∧　Ｂ　ma ａ　

　これは、要素がすべて、その集まりの真部分集まりＢによって作られれ、またそのようなＢは唯１つである、という性質である。　　

　Ｔ．２を証明するために必要な概念の定義を行っておく。
　　　　ｘ＜ｙ｜Ａ　　　Ｄｆ．　　∃Ｂ　Ｂ⊂Ａ　∧　ｘ∈Ｂ　∧　Ｂ　ma ｙ　∧　ｙ∈Ａ　
　集まりＡの要素ｘ、ｙの間の順序関係「＜」を定義している。
　　　
　　　　Ｒｅｇ　Ｘ　　Ｄｆ．　　∀Ｂ　（Ｂ⊆Ｘ　∧　￢Ｂ＝φ）　⇒　（　∃ｂ　ｂ∈Ｂ　∧　（∀ａ　ａ∈Ｂ　⇒　￢ａ＜ｂ｜Ｘ）　）　
　Ｘのすべての部分集まりＢに対して、もしＢが空集まりφでなければ、Ｘ内の順序関係に関して「最初」の要素がある、という述語である。　
　　　　　　　　　
　　なお、次の公理を仮定する場合は、Ｔ．２にある条件の１つ「Ｒｅｇ　Ｚ」はなくてもよい。
　　　　Ａ．Ｒｅｇ　　　　∀Ｘ　Ｃｏｍ　Ｘ　⇒　Ｒｅｇ　Ｘ　

　　　　［Ｔ．２の証明］　
　　　　ａ∈Ｘ∩Ｙ　ならば、
　　　　ａ∈Ｘ　∧　ａ∈Ｙ　
　　　　ゆえに、
　　　　（∃！Ｂ　Ｂ⊂Ｘ　∧　Ｂ　ma ａ）　∧（∃！Ｃ　Ｃ⊂Ｙ　∧　Ｃ　ma ａ）　　－１－
　　　　仮定より、
　　　　Ｃｏｍ　Ｚ　∧　　Ｘ⊆Ｚ　∧　Ｙ⊆Ｚ　　であるから、１式のＢ、Ｃは同じ集まりでなければならない。
　　　　ゆえに、
　　　　　∃！Ｂ　Ｂ⊂Ｘ　∧　Ｂ⊂Ｙ　∧　Ｂ　ma ａ
　　　　　∃！Ｂ　Ｂ⊆Ｘ∩Ｙ　∧　Ｂ　ma ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－２－　　　
　　　　もし、Ｂ＝Ｘ∩Ｙならば、
　　　　ａ∈Ｂ　∧　Ｂ　ma ａ　∧　Ｂ⊂Ｚ　
　　　　ｘ＜ｙ｜Ｚ　の定義より、
　　　　ａ＜ａ｜Ｚ　　
　　　　ここで、｛ａ｝というＺの部分集まりを考えると、Ｒｅｇ　Ｚ　に反する。
　　　　従って、￢（Ｂ＝Ｘ∩Ｙ）　、２式と合わせて、
　　　　　　∃！Ｂ　Ｂ⊂Ｘ∩Ｙ　∧　Ｂ　ma ａ
　　　　これは、Ｃｏｍ　Ｘ∩Ｙ　の定義である。

コメント(1)

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[1] mixiユーザー 02月15日 15:22

　「完全性」に関係した定理その２　：　　
　
　Ｔ．３　　　　Ｃｏｍ　ｘ　⇔　∪ｘ⊆ｘ
　∪ｘ　　　　Ｄｆ．　　　∀ａ　ａ∈∪ｘ　⇔　∃ｂ　ａ∈ｂ　∧　ｂ∈ｘ　

　　　　［証明］　
　　　　Ｃｏｍ　ｘ　を仮定する、
　　　　∀ａ　ａ∈∪ｘ　ならば、定義より、
　　　　∃ｂ　ａ∈ｂ　∧　ｂ∈ｘ　仮定から、ｂ⊆ｘ　、
　　　　　　　ゆえに、
　　　　　　　ａ∈ｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　ゆえに
　　　　Ｃｏｍ　ｘ　⇒　∪ｘ⊆ｘ　

　　　　また、∪ｘ⊆ｘ　を仮定すると、
　　　　∀ａ　ａ∈ｂ　∧　ｂ∈ｘ　⇒　∃ｂ　ａ∈ｂ　∧　ｂ∈ｘ　ゆえに
　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒　ａ∈∪ｘ　　　　　　　　　　仮定より
　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒　ａ∈ｘ
　　　　ゆえに
　　　　∀ｂ　ｂ∈ｘ　⇒　ｂ⊆ｘ　
　　　　これはＣｏｍ　ｘ　の定義である。

　ＺＦのこの定理に対応するＦＣの定理には、Ｔ．２と同じく次のような条件が要る。

　Ｔ．４　　　　（Ｒｅｇ　Ｙ　∧　Ｃｏｍ　Ｙ　∧　∪Ｘ⊆Ｙ　∧　Ｘ⊆Ｙ）　⇒　（Ｃｏｍ　Ｘ　⇔　∪Ｘ⊆Ｘ）　
　
　　　　「和集まり」∪Ｘの定義は、このようになる。
　　　　∪Ｘ　　　　Ｄｆ．　　　∀ａ　ａ∈∪Ｘ　＝　∃ｂ∃Ｂ　ａ∈Ｂ　∧　Ｂ　ma ｂ　∧　ｂ∈Ｘ　　　
　　　　∪Ｘの要素は、Ｘのある要素を作るある集まりの要素全てである。

　　［証明］
　　　　Ｃｏｍ　Ｘ　を仮定する。
　　　　ａ∈∪Ｘ　ならば　　　　、
　　　　∃ｂ∃Ｂ　ａ∈Ｂ　∧　Ｂ　ma ｂ　∧　ｂ∈Ｘ　仮定より　∃！Ｂ⊂Ｘ　
　　　　もし、ｂを作るＸの真部分集まりではない集まりＢ’が存在すると、∪Ｘ⊂ＹよりＢ’⊂Ｙ
　　　　Ｃｏｍ　Ｙ　と　Ｂ⊂Ｙより、Ｂ＝Ｂ’
　　　　ゆえに、
　　　　ａ∈Ｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　ゆえに
　　　　∪Ｘ⊆Ｘ

　　　　一方、　　　　　　　　　　
　　　　∪Ｘ⊆Ｘ　を仮定すると
　　　　ａ∈∪Ｘ　ならば　　　　、
　　　　∃ｂ∃Ｂ　ａ∈Ｂ　∧　Ｂ　ma ｂ　∧　ｂ∈Ｘ　仮定より　
　　　　ａ∈Ｘ　　　　　　
　　　　ゆえに
　　　　Ｂ⊆Ｘ
　　　　もし
　　　　Ｂ＝Ｘとすると、
　　　　ｂ∈Ｂ　∧　Ｂ　ma ｂ　∧　Ｂ⊂Ｙ
　　　　ゆえに
　　　　ｂ＜ｂ｜Ｙ　これは　　Ｒｅｇ　Ｙ　に反する。
　　　　ゆえに
　　　　Ｂ⊂Ｘ
　　　　従って
　　　　∀ｂ　ｂ∈Ｘ　⇒　∃Ｂ　Ｂ　ma ｂ　∧　Ｂ⊂Ｘ　　　　－１－　
　　　　Ｃｏｍ　Ｙ　∧　Ｘ⊂Ｙ　　であるから　　
　　　　∃！Ｂ　Ｂ　ma ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－２－
　　　　１,２式を合わせてＣｏｍ　Ｘの定義となっている。
　　　　

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