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コメント(2)
「 2 の 3 乗」を 2^3 のように表すとき
たとえば 72 は
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2^3 × 3^2
のように素因数分解できる。
どんな正整数でも素因数分解できて、その分解のしかたはただ１通りである：
【素因数分解の一意性】
どんな正整数 n でも
n = p_1^m_1 × p_2^m_2 × … × p_r^m_r
とただ１通りに素因数分解される。
（ただし、ここで p_1 , p_2 , ... , p_r は
p_1 < p_2 < ... < p_r なる素数で、m_1 , m_2 , ... , m_r は正整数とする。
r = 0 のときは n = 1 と解釈する）
大事な事ですが、証明は、やや面倒なわりに地味なものしか思いつかないので、略します
たとえば 72 は
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2^3 × 3^2
のように素因数分解できる。
どんな正整数でも素因数分解できて、その分解のしかたはただ１通りである：
【素因数分解の一意性】
どんな正整数 n でも
n = p_1^m_1 × p_2^m_2 × … × p_r^m_r
とただ１通りに素因数分解される。
（ただし、ここで p_1 , p_2 , ... , p_r は
p_1 < p_2 < ... < p_r なる素数で、m_1 , m_2 , ... , m_r は正整数とする。
r = 0 のときは n = 1 と解釈する）
大事な事ですが、証明は、やや面倒なわりに地味なものしか思いつかないので、略します
「最大の素数は何か？」
という話題になると、数学の知識がある人なら
「最大の素数というものはない」
と答えるのが普通ではないでしょうか。
ネットで「最大素数」で検索してみると、これを書いている段階では
2^82589933 − 1
がどうやら最大の素数のようです。しかし、あくまで「現時点ではこれが最大」というだけであって、まだ見つかっていないそれより大きな素数が必ず存在することが保証されています：
【素数が無数に存在する】
【証明】素数が有限個しかないと仮定して矛盾を導く背理法。
素数が有限個しかないと仮定すると「最大の素数」P があることになる。
ここで、P に終わるすべての素数を掛け合わせて １足した数を N とする：
N = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × ... × P + 1
明らかに N > P だから、仮定より N は素数ではない。
だから N を素因数分解すると、２つ以上の素数の積になるはずである。
しかし N の作り方から、N はどんな素数で割っても １余ってしまう。
これは矛盾である。ゆえに素数は無数に存在する（おわり）
という話題になると、数学の知識がある人なら
「最大の素数というものはない」
と答えるのが普通ではないでしょうか。
ネットで「最大素数」で検索してみると、これを書いている段階では
2^82589933 − 1
がどうやら最大の素数のようです。しかし、あくまで「現時点ではこれが最大」というだけであって、まだ見つかっていないそれより大きな素数が必ず存在することが保証されています：
【素数が無数に存在する】
【証明】素数が有限個しかないと仮定して矛盾を導く背理法。
素数が有限個しかないと仮定すると「最大の素数」P があることになる。
ここで、P に終わるすべての素数を掛け合わせて １足した数を N とする：
N = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × ... × P + 1
明らかに N > P だから、仮定より N は素数ではない。
だから N を素因数分解すると、２つ以上の素数の積になるはずである。
しかし N の作り方から、N はどんな素数で割っても １余ってしまう。
これは矛盾である。ゆえに素数は無数に存在する（おわり）
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