|
|
|
|
コメント(6)
塾・予備校で、初めて集団授業するのに、困るのは例えば「どんな題材で話すかは先生の自由です」と言われること。教室にいる生徒たちの実力や、何が分からなくて困っているか、といったことを皆目分からない状況で「体験授業」するのはやはり無理がある。
そこそこできる高校生が集まっているようだったから、教科書ではあまり説明されることのない因数分解
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz
= ( x + y + z )( x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx )
の考え方を説明したが、あとで聞くと「分かりにくかった人」が過半数で、以後仕事をもらえなかった。標準的な高校1年生からすると、確かに難しい内容だったかも知れないが。
そこそこできる高校生が集まっているようだったから、教科書ではあまり説明されることのない因数分解
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz
= ( x + y + z )( x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx )
の考え方を説明したが、あとで聞くと「分かりにくかった人」が過半数で、以後仕事をもらえなかった。標準的な高校1年生からすると、確かに難しい内容だったかも知れないが。
先日、高１の問題集を持ってきて、質問しに来た女子生徒に、些細な事ながら、回りくどい説明をしてしまったと反省している。
( x^2 + x + 1 )( x^2 - x + 1 )( x^4 - x^2 + 1 ) （★）
を展開せよ、という問題で、展開だからカッコを順に外していって、あとで式を整頓すればいいようなものの、その方法だと時間がかかりすぎるので、工夫して手間を省かなくてはならない。
その質問を受けてから3日たって、ようやく簡明な方法を思いついた。
( a + b )( a - b ) = a^2 - b^2
という中学でおなじみの公式を思い出すと、（★）は
{ ( x^2 + 1 ) + x }{ ( x^2 + 1 ) - x } ( x^4 - x^2 + 1 )
= { ( x^2 + 1 )^2 - x^2 } ( x^4 - x^2 + 1 )
= { ( x^4 + 2x^2 + 1 ) - x^2 } ( x^4 - x^2 + 1 )
= ( x^4 + x^2 + 1 )( x^4 - x^2 + 1 )
= { ( x^4 + 1 ) + x^2 }{ ( x^4 + 1 ) - x^2 }
= ( x^4 + 1 )^2 - ( x^2 )^2
= ( x^4 + 1 )^2 - x^4
= ( x^8 + 2x^4 + 1 ) - x^4
= x^8 + x^4 + 1 □
これでも長いけれど、この問題に頭を悩ませている人には、すっきり伝わるだろうと思う。
( x^2 + x + 1 )( x^2 - x + 1 )( x^4 - x^2 + 1 ) （★）
を展開せよ、という問題で、展開だからカッコを順に外していって、あとで式を整頓すればいいようなものの、その方法だと時間がかかりすぎるので、工夫して手間を省かなくてはならない。
その質問を受けてから3日たって、ようやく簡明な方法を思いついた。
( a + b )( a - b ) = a^2 - b^2
という中学でおなじみの公式を思い出すと、（★）は
{ ( x^2 + 1 ) + x }{ ( x^2 + 1 ) - x } ( x^4 - x^2 + 1 )
= { ( x^2 + 1 )^2 - x^2 } ( x^4 - x^2 + 1 )
= { ( x^4 + 2x^2 + 1 ) - x^2 } ( x^4 - x^2 + 1 )
= ( x^4 + x^2 + 1 )( x^4 - x^2 + 1 )
= { ( x^4 + 1 ) + x^2 }{ ( x^4 + 1 ) - x^2 }
= ( x^4 + 1 )^2 - ( x^2 )^2
= ( x^4 + 1 )^2 - x^4
= ( x^8 + 2x^4 + 1 ) - x^4
= x^8 + x^4 + 1 □
これでも長いけれど、この問題に頭を悩ませている人には、すっきり伝わるだろうと思う。
[3] で、その生徒が持ってきた問題集の（★）の問題の近くに、3乗の因数分解の公式
x^3 - y^3 = ( x - y )( x^2 + xy + y^2 ) ,
x^3 + y^3 = ( x + y )( x^2 - xy + y^2 )
が載っていたものだから、当初は、この公式を使って（★）がうまく解けないか、と私は思ったのだった。
この両式で y = 1 とおくと
x^3 - 1 = ( x - 1 )( x^2 + x + 1 ) ・・��
x^3 + 1 = ( x + 1 )( x^2 - x + 1 ) ・・��
となり、�△任気蕕� x を x^2 でおきかえると
【 ( x^2 )^3 = x^6 , ( x^2 )^2 = x^4 なので・・】
x^6 + 1 = ( x^2 + 1 )( x^4 - x^2 + 1 ) ・・��
という式が出来上がる。この 3式 � ↓◆↓� をセットで、もともと問題だった
( x^2 + x + 1 )( x^2 - x + 1 )( x^4 - x^2 + 1 ) （★）
とにらめっこしよう、という魂胆なのだ。
ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー
すこし脇道にそれるけれど、高校で「虚数」というものを習うと
【 そして 2乗して -1 になる数を i で表す、と習ったなら 】
あるいは「 3乗して 1 になる数」には、1 のほかに
( - 1 ±√3 i ) / 2
という２つの虚数もある、と聞いて、奇異な印象を持たれた人もいるかもしれない。
それは、理屈の上では、「 3乗して 1 になる数」を x とした場合
x^3 = 1
なのだから
x^3 - 1 = 0
なる x を求めればよいが、上のほうに書いた式 �� を思い出すと、これは
( x - 1 )( x^2 + x + 1 ) = 0
と同じことである。この式が成り立つということは
x - 1 = 0 または x^2 + x + 1 = 0
が成り立つということで、x - 1 = 0 から x = 1 が出てくるが、他方
x^2 + x + 1 = 0
を「 2次方程式の解の公式」で解くと x = ( - 1 ±√3 i ) / 2 と、虚数が ２つ出てくる。
そういうわけで「 3乗して 1 になる数」は、虚数も含めると
1 , ( - 1 ＋√3 i ) / 2 , ( - 1 -√3 i ) / 2
の 3つある、ということになる
x^3 - y^3 = ( x - y )( x^2 + xy + y^2 ) ,
x^3 + y^3 = ( x + y )( x^2 - xy + y^2 )
が載っていたものだから、当初は、この公式を使って（★）がうまく解けないか、と私は思ったのだった。
この両式で y = 1 とおくと
x^3 - 1 = ( x - 1 )( x^2 + x + 1 ) ・・��
x^3 + 1 = ( x + 1 )( x^2 - x + 1 ) ・・��
となり、�△任気蕕� x を x^2 でおきかえると
【 ( x^2 )^3 = x^6 , ( x^2 )^2 = x^4 なので・・】
x^6 + 1 = ( x^2 + 1 )( x^4 - x^2 + 1 ) ・・��
という式が出来上がる。この 3式 � ↓◆↓� をセットで、もともと問題だった
( x^2 + x + 1 )( x^2 - x + 1 )( x^4 - x^2 + 1 ) （★）
とにらめっこしよう、という魂胆なのだ。
ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー＊ー
すこし脇道にそれるけれど、高校で「虚数」というものを習うと
【 そして 2乗して -1 になる数を i で表す、と習ったなら 】
あるいは「 3乗して 1 になる数」には、1 のほかに
( - 1 ±√3 i ) / 2
という２つの虚数もある、と聞いて、奇異な印象を持たれた人もいるかもしれない。
それは、理屈の上では、「 3乗して 1 になる数」を x とした場合
x^3 = 1
なのだから
x^3 - 1 = 0
なる x を求めればよいが、上のほうに書いた式 �� を思い出すと、これは
( x - 1 )( x^2 + x + 1 ) = 0
と同じことである。この式が成り立つということは
x - 1 = 0 または x^2 + x + 1 = 0
が成り立つということで、x - 1 = 0 から x = 1 が出てくるが、他方
x^2 + x + 1 = 0
を「 2次方程式の解の公式」で解くと x = ( - 1 ±√3 i ) / 2 と、虚数が ２つ出てくる。
そういうわけで「 3乗して 1 になる数」は、虚数も含めると
1 , ( - 1 ＋√3 i ) / 2 , ( - 1 -√3 i ) / 2
の 3つある、ということになる
脇道にそれたが・・
( x^2 + x + 1 )( x^2 - x + 1 )( x^4 - x^2 + 1 ) （★）
をうまく展開するために、[3] で
x^3 - 1 = ( x - 1 )( x^2 + x + 1 ) ・・��
x^3 + 1 = ( x + 1 )( x^2 - x + 1 ) ・・��
x^6 + 1 = ( x^2 + 1 )( x^4 - x^2 + 1 ) ・・��
という 3 式を用意したのだった
� ↓◆↓� それぞれの右辺が、式（★）と「部分的に似ている」ことに注意しよう。
それをもっとはっきりさせるために
�� の両辺を x - 1 で割って
( x^3 - 1 ) / ( x - 1 ) = x^2 + x + 1 ・・��
�� の両辺を x + 1 で割って
( x^3 + 1 ) / ( x + 1 ) = x^2 - x + 1 ・・��
�� の両辺を x^2 + 1 で割って
( x^6 + 1 ) / ( x^2 + 1 ) = x^4 - x^2 + 1 ・・��
この �ぁ↓ァ↓� の 3つの式を掛け合わせれば、右辺は（★）そのものになる。
�ぁ澂ァ澂� を考えると
[ ( x^3 - 1 ) / ( x - 1 ) ] × [ ( x^3 + 1 ) / ( x + 1 ) ] × [ ( x^6 + 1 ) / ( x^2 + 1 ) ]
= ( x^2 + x + 1 )( x^2 - x + 1 )( x^4 - x^2 + 1 ) 【 ← 右辺は（★）に等しい
われわれの目的のためには、上式の左辺を展開してもよいはずで
上式の左辺
= [ ( x^3 - 1 ) / ( x - 1 ) ] × [ ( x^3 + 1 ) / ( x + 1 ) ] × [ ( x^6 + 1 ) / ( x^2 + 1 ) ]
= [ ( x^3 - 1 ) ( x^3 ＋ 1 ) ( x^6 + 1 ) ] / [ ( x - 1 )( x + 1 )( x^2 + 1 ) ] （
）
公式 ( a - b )( a + b ) = a^2 - b^2 を使って
( x^3 )^2 = x^6 , ( x^6 )^2 = x^12 などに注意すると
（）の分子 ＝ ( x^3 - 1 ) ( x^3 ＋ 1 ) ( x^6 + 1 )
= ( x^6 - 1 )( x^6 + 1 )
= x^12 - 1 ,
（）の分母 = ( x - 1 )( x + 1 )( x^2 + 1 )
= ( x^2 - 1 )( x^2 + 1 )
= x^4 - 1 .
結局、（★）すなわち（）は
（）= [ x^12 - 1 ] / [ x^4 - 1 ]
ところで x^12 = ( x^4 )^3 に注意して、�� で x を x^4 でおきかえることで
x^12 - 1 = ( x^4 )^3 - 1
= ( x^4 - 1 )( x^8 ＋ x^4 + 1 )
したがって
（）= [ ( x^4 - 1 )( x^8 ＋ x^4 + 1 )] / [ x^4 - 1 ]
＝ x^8 + x^4 + 1
だから、求める式は x^8 ＋ x^4 + 1 であることが分かった ■
＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝
[3] で解決したものを、なぜここまで持って回った、別の解法を書いたかというと
( x^2 + x + 1 )( x^2 - x + 1 )( x^4 - x^2 + 1 ) （★）
という式を
（）= [ x^12 - 1 ] / [ x^4 - 1 ]
の形に書き直すと、式（★）の隠れた意味が目に見えやすくなる、と思われるからで
というのも、3乗して 1 になる（虚数も含めた）数が、x^3 - 1 = 0 の解だったように
12乗して 1 になる（虚数も含めた）数は、x^12 - 1 = 0 の解である。
4乗して 1 になる（虚数も含めた）数は、x^4 - 1 = 0 の解で、それは
具体的には 1, - 1, i, - i の４つである。
すなわち
（★） ( x^2 + x + 1 )( x^2 - x + 1 )( x^4 - x^2 + 1 ) ＝0
( x^2 + x + 1 )( x^2 - x + 1 )( x^4 - x^2 + 1 ) （★）
をうまく展開するために、[3] で
x^3 - 1 = ( x - 1 )( x^2 + x + 1 ) ・・��
x^3 + 1 = ( x + 1 )( x^2 - x + 1 ) ・・��
x^6 + 1 = ( x^2 + 1 )( x^4 - x^2 + 1 ) ・・��
という 3 式を用意したのだった
� ↓◆↓� それぞれの右辺が、式（★）と「部分的に似ている」ことに注意しよう。
それをもっとはっきりさせるために
�� の両辺を x - 1 で割って
( x^3 - 1 ) / ( x - 1 ) = x^2 + x + 1 ・・��
�� の両辺を x + 1 で割って
( x^3 + 1 ) / ( x + 1 ) = x^2 - x + 1 ・・��
�� の両辺を x^2 + 1 で割って
( x^6 + 1 ) / ( x^2 + 1 ) = x^4 - x^2 + 1 ・・��
この �ぁ↓ァ↓� の 3つの式を掛け合わせれば、右辺は（★）そのものになる。
�ぁ澂ァ澂� を考えると
[ ( x^3 - 1 ) / ( x - 1 ) ] × [ ( x^3 + 1 ) / ( x + 1 ) ] × [ ( x^6 + 1 ) / ( x^2 + 1 ) ]
= ( x^2 + x + 1 )( x^2 - x + 1 )( x^4 - x^2 + 1 ) 【 ← 右辺は（★）に等しい
われわれの目的のためには、上式の左辺を展開してもよいはずで
上式の左辺
= [ ( x^3 - 1 ) / ( x - 1 ) ] × [ ( x^3 + 1 ) / ( x + 1 ) ] × [ ( x^6 + 1 ) / ( x^2 + 1 ) ]
= [ ( x^3 - 1 ) ( x^3 ＋ 1 ) ( x^6 + 1 ) ] / [ ( x - 1 )( x + 1 )( x^2 + 1 ) ] （
）
公式 ( a - b )( a + b ) = a^2 - b^2 を使って
( x^3 )^2 = x^6 , ( x^6 )^2 = x^12 などに注意すると
（
）の分子 ＝ ( x^3 - 1 ) ( x^3 ＋ 1 ) ( x^6 + 1 )
= ( x^6 - 1 )( x^6 + 1 )
= x^12 - 1 ,
（
）の分母 = ( x - 1 )( x + 1 )( x^2 + 1 )
= ( x^2 - 1 )( x^2 + 1 )
= x^4 - 1 .
結局、（★）すなわち（
）は
（
）= [ x^12 - 1 ] / [ x^4 - 1 ]
ところで x^12 = ( x^4 )^3 に注意して、�� で x を x^4 でおきかえることで
x^12 - 1 = ( x^4 )^3 - 1
= ( x^4 - 1 )( x^8 ＋ x^4 + 1 )
したがって
（
）= [ ( x^4 - 1 )( x^8 ＋ x^4 + 1 )] / [ x^4 - 1 ]
＝ x^8 + x^4 + 1
だから、求める式は x^8 ＋ x^4 + 1 であることが分かった ■
＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝☆＝
[3] で解決したものを、なぜここまで持って回った、別の解法を書いたかというと
( x^2 + x + 1 )( x^2 - x + 1 )( x^4 - x^2 + 1 ) （★）
という式を
（
）= [ x^12 - 1 ] / [ x^4 - 1 ]
の形に書き直すと、式（★）の隠れた意味が目に見えやすくなる、と思われるからで
というのも、3乗して 1 になる（虚数も含めた）数が、x^3 - 1 = 0 の解だったように
12乗して 1 になる（虚数も含めた）数は、x^12 - 1 = 0 の解である。
4乗して 1 になる（虚数も含めた）数は、x^4 - 1 = 0 の解で、それは
具体的には 1, - 1, i, - i の４つである。
すなわち
（★） ( x^2 + x + 1 )( x^2 - x + 1 )( x^4 - x^2 + 1 ) ＝0
の解は、つまり
（）= [ x^12 - 1 ] / [ x^4 - 1 ] ＝０
の解で、それは 12乗して 1になる数（これは 12個ある）から 1, - 1, i, - i を取り除いたもの、になっている
複素平面をご存知のかたは「12乗して 1になる数」は、複素平面で原点中心、半径１の円周を、実軸の 1 から 12等分した位置にある 12個の複素数、とイメージされるだろう。
複素平面に、原典を中心にした半径 1の針時計を持ってくると
特に
（★） ( x^2 + x + 1 )( x^2 - x + 1 )( x^4 - x^2 + 1 ) ＝0
⇔ （）= [ x^12 - 1 ] / [ x^4 - 1 ] ＝０
の解は、時計盤上、1時、2時、3時、・・のうち 3時、6時、9時、12時を取り除いた 8個の複素数である：
（ここで時計盤上の 3時が 1, 9時が - 1, 12時が i , 6時が - i を表している）
（
）= [ x^12 - 1 ] / [ x^4 - 1 ] ＝０
の解で、それは 12乗して 1になる数（これは 12個ある）から 1, - 1, i, - i を取り除いたもの、になっている
複素平面をご存知のかたは「12乗して 1になる数」は、複素平面で原点中心、半径１の円周を、実軸の 1 から 12等分した位置にある 12個の複素数、とイメージされるだろう。
複素平面に、原典を中心にした半径 1の針時計を持ってくると
特に
（★） ( x^2 + x + 1 )( x^2 - x + 1 )( x^4 - x^2 + 1 ) ＝0
⇔ （
）= [ x^12 - 1 ] / [ x^4 - 1 ] ＝０
の解は、時計盤上、1時、2時、3時、・・のうち 3時、6時、9時、12時を取り除いた 8個の複素数である：
（ここで時計盤上の 3時が 1, 9時が - 1, 12時が i , 6時が - i を表している）
- mixiユーザー
- ログインしてコメントしよう！
|
|
|
|
めがね または数学 更新情報
-
最新のイベント
-
まだ何もありません
-
-
最新のアンケート
-
まだ何もありません
-
めがね または数学のメンバーはこんなコミュニティにも参加しています
人気コミュニティランキング
- 1位
- 暮らしを楽しむ
- 75505人
- 2位
- 写真を撮るのが好き
- 208299人
- 3位
- 音楽が無いと生きていけない
- 196031人