物理学コミュの振動で

昨年度に物理専門に専攻してないのに，天体物理学を履修して，おー！と思い調子のって，振動と波という講座を大学でとったんですが。。。意味分からんなったんで，質問します。

（元々自然科学全般に高校時代から興味等はありました。）

単振子（質量ｍ，ばね定数ｋ）に抵抗の項（λx'）が有る時の運動を解析するらしいんですが・・・

どー解析していけばよいのかわからないんです。F=kxでの微分方程式を利用したりするんですか？
あと，抵抗って何？って感じなんです。λもどこからでてくるのかっていう話。。。汗

無知な人間ですが，よければ説明等お願いします。

コメント(9)

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[1] mixiユーザー 07月19日 19:27

この場合の抵抗とは、摩擦力みたいなものでしょうか？
λは単に比例定数（数値）って事で考えたらＯＫだと思います。
イメージとしたら、空気のないところでは振り子は永遠に
止まらないけど、身の回りにある振り子は空気などにより
振幅が減衰していくような感じです。

詳しい話までは分からないけど、振り子が抵抗を受けながら
運動するというのがこのモデルだとして、
この運動を解析をするには「運動方程式」でＯＫ。

あとは次の人にお任せしましょう。

[2] mixiユーザー 07月19日 19:43

講座をとったのなら、推薦の教科書とかがあるんじゃないんですか？
また、振動と波動の本なら、探せばわかりやすい解説書が何冊か見つかると思います。
まずは書籍をあたりましょう。mixiで聞くよりよっぽどいい解答が得られると思いますよ。

[3] mixiユーザー 07月19日 20:07

基本は、F=ｍa(加速度つまり、xの時間の二回微分)＝-kxという形です。
このとき、両辺にxが存在することに注目すると、
xはAsin(√(k/m)*t)又はBcos(√(k/m)*t)そして、これらの和とかけるのが分かります。

（ここは純粋な微分ですので試してみてください。また、AとBは勝手な係数です。振幅を表します。）

上の和を三角関数の合成とみなしてx=asin(√(k/m)*t+φ)となります。
（aは振幅、φは初期位相（初期位置に関係します）です。）

続きまして、上の式の左辺に-λv(速度つまりxの一回微分)を加えると…これも大元はおんなじなんですが、少々厄介です。
という訳で、さっきは三角関数を用いましたが、今回はexp(-iωt)を使って書き下します。

これ面倒なのですみません他サイトへ…
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/kougi/mechanics1/gensui.pdf
グラフも載ってて分かりやすいと思います。

以上簡単な解き方でした。

[4] mixiユーザー 07月19日 20:20

抵抗についてですが、長い滑り台をすべる時に在る程度以上速度が速くならずに、お尻が熱くなったなんて経験ありませんでしょうか?
簡単に言えばあれです。

物質と物質は現実には表面に多少のでこぼこがあり、そこに引っかかることによってあるいは、若干の電磁気的相互作用によって運動が阻害されます。
是を抵抗（詳しく言うと摩擦）と呼び、経験的に速度に比例する関数として分かっています。
以上が-λx´の正体です。

ちなみに滑り台で速度をあげるには蝋をぬると表面のでこぼこをワックスのようにけしてくれるので、つるつるになって危険なほど高速になりますｗ
これは先ほどのλが減少したためにおこります。

今回はおそらく動的なものなので摩擦として説明しましたが、抵抗としては摩擦のほかにも飛行機や新幹線なんかに関係してくる空気抵抗なんかが有名です。

調べるキーワードとしては、「摩擦、終端速度、減衰振動」なんかで検索をかけたた方が、私より分かりやすい説明をしていますからそちらを参考にしてみてはいかがでしょうか?

[5] mixiユーザー 07月19日 22:16

ありがとうございます。。。

ＵＲＩのを見ながらなるほどーとか，ココに書かれている分でも幾分かは解消していってる感じです(^^ゞ

ＵＲＩのなかでは，どこの部分がその－λｘ’なのかがイマイチ微妙です。。。

どこなんですか？？

[6] mixiユーザー 07月19日 22:39

書き方に差があって分かりにくいとおもいますが、物理や数学で一回の時間微分を表す場合、

(dx/dt)、xの上にドット、x´等を使います。

つまり、あのPDFファイルの文章の場合はγがλに当たります。

ここら辺はどうしても覚えるしかないところなので、教科書なんかを読んでがんばってください。

[7] mixiユーザー 07月19日 22:49

質問の意図なのですが、“微分方程式を作ること”を理解したいのか？“微分方程式を解くこと”を理解したいのか？どちらなのでしょうか？それと、ナゴさんとかぶるのですが、初期条件はどんなものでしょうか？
自分勝手に解釈してしまいますが、
mx''=-kx-λx'
を解けということでしょうか？
だとすれば、２階線形微分方程式になり、
Dを用いて、(mD^2+λD+k)x=0
となって、カッコの中の２次方程式が異なる２つの実数解をもてば、
x=Ae^(αt)+Be^(βt)
１つの実数解（重解）になれば
x=Ae^(αt)+Bte^(βt)
２つの虚数解なら、
x=e^(pt)*(Acosqt+Bsinqt)
になると思います。
頑張ってください。

[8] mixiユーザー 07月19日 23:01

質問の意図の仕方があやふやですみません。。。
うーん。。。自分でもその意図すらぱっと分かってないのが正直なところです。とりあえず概略？大雑把なイメージももててない感じなんで，細かな言い方が出来ずです↓↓

因みに，教科書は，
振動と波　長岡洋介著　裳華房
のんです。

[9] mixiユーザー 07月19日 23:24

オタッキーさんがおっしゃるように、3つの解がでます。

一番上のは、ばねにつけた錘が振動しないでとまってしまいます（過減衰といいます。）。
一番したのは、振動しながらだんだん振幅が小さくなっていきます。
真ん中のはその丁度境界ですので、ぎりぎり跳ね返りそうになりながらもとまるというイメージでしょうか。

さっき上げたURLにグラフも乗ってますので参照してみてください。

これが、摩擦なしならサイン（コサイン…本質は同じですね）運動をずっとし続けます。

こういった振る舞いの違いを考えるのが、物理を習得するための近道だと思っています。

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