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コメント(60)
「地球が空洞になるわけない」といわれてしまうと、困ってしまいます。じゃあ大学受験で、「摩擦のない斜面でボールを転がしたらどうなるか」とかいう問題に対して、「そんなことはない」と答えればよいということになり、全員東大に合格ですw
真空の問題はなんか解けてきたみたいなので、空気で満たされているという問題の方が面白そうですね。
地球というボールの中に、空気が満たされているという問題を考える。
多分、自転の影響は受けるでしょうね。洗濯機が回転すると、中心部分にある水にも影響がありますから。学校ではあまりやらないけど、考えると流体力学は面白い。
熱力学的な観点から考えると、PV=nRTという式から、地底空間の空気の温度も密度に関係してきて、結果として重力にも関係してくるかも。
真空の問題はなんか解けてきたみたいなので、空気で満たされているという問題の方が面白そうですね。
地球というボールの中に、空気が満たされているという問題を考える。
多分、自転の影響は受けるでしょうね。洗濯機が回転すると、中心部分にある水にも影響がありますから。学校ではあまりやらないけど、考えると流体力学は面白い。
熱力学的な観点から考えると、PV=nRTという式から、地底空間の空気の温度も密度に関係してきて、結果として重力にも関係してくるかも。
＞1÷0さん
いや、その式展開が重力の打ち消しあいを表していないのではないか。
という意味でした。
重力ポテンシャルについて、ガウスの法則的に考えるのであれば、内部の真空を積分しても定数にしかならないので、その微分はゼロというべきです。しかも、その重力ポテンシャルは地球の中心を基準に取って極座標でポテンシャルを表したものだと思うので、内部任意の点においてそのまま極座標の動径方向のように積分してはまずいのでは？
＞未央子さん
惑星表面で気体がいられないというのは、まさに遠心力お重力のつりあいです。
惑星表面に立っている私たちの感じる空気の流れ（風）は自転に比べればかなり遅いので、自転をしない系で考えたとき、気体分子はかなりの遠心力を受けるでしょう。その力を重力で支えられないために気体は宇宙へと行きます。
では、地球内部ではどうでしょう。公転はともかくおいといて・・・
遠心力がもろに効くのは、粘性の効果によって自転が気体に伝わる地殻付近だと考えられます。
たとえば、中心の点では遠心力はまったく効きません。
なので、中心に比較的重い気体分子のコアができ、地殻付近に気体分子の層ができるというような状況が考えられると思います。
仮に地殻との摩擦をまったくなくしても、宇宙が一様ではないように、内部で気体は何らかの構造を作ると考えられます。
＞Your friend さん
地球内部での重力についてなので、inside the earthとでも入れておいたほうが正確だったかもしれませんね。
地殻の密度が一様であるならば、地球の全質量に関係なく地底世界では明らかに重力はつりあって、重さを感じません。
逆に惑星表面では地球の全質量が変わらなければ、先生のおっしゃるとおりでしょう。
いや、その式展開が重力の打ち消しあいを表していないのではないか。
という意味でした。
重力ポテンシャルについて、ガウスの法則的に考えるのであれば、内部の真空を積分しても定数にしかならないので、その微分はゼロというべきです。しかも、その重力ポテンシャルは地球の中心を基準に取って極座標でポテンシャルを表したものだと思うので、内部任意の点においてそのまま極座標の動径方向のように積分してはまずいのでは？
＞未央子さん
惑星表面で気体がいられないというのは、まさに遠心力お重力のつりあいです。
惑星表面に立っている私たちの感じる空気の流れ（風）は自転に比べればかなり遅いので、自転をしない系で考えたとき、気体分子はかなりの遠心力を受けるでしょう。その力を重力で支えられないために気体は宇宙へと行きます。
では、地球内部ではどうでしょう。公転はともかくおいといて・・・
遠心力がもろに効くのは、粘性の効果によって自転が気体に伝わる地殻付近だと考えられます。
たとえば、中心の点では遠心力はまったく効きません。
なので、中心に比較的重い気体分子のコアができ、地殻付近に気体分子の層ができるというような状況が考えられると思います。
仮に地殻との摩擦をまったくなくしても、宇宙が一様ではないように、内部で気体は何らかの構造を作ると考えられます。
＞Your friend さん
地球内部での重力についてなので、inside the earthとでも入れておいたほうが正確だったかもしれませんね。
地殻の密度が一様であるならば、地球の全質量に関係なく地底世界では明らかに重力はつりあって、重さを感じません。
逆に惑星表面では地球の全質量が変わらなければ、先生のおっしゃるとおりでしょう。
＞Your Friend さん
国際的問題に発展させて下さってありがとうございます（笑）
でもtakekujiraさんの指摘の通り、地球内部の力についての問題です。
なかなか難しい問題に発展してきているので、海外の物理学者も頭を悩ますかも？
＞takekujiraさん
そうですね！ 中心部が全部の方向から力を受けるのは当たり前でしたね。そのほかも指摘の通りでした。
考えてみたのですが、空気質量による中心部分への重力は２０万分の１Gしかないのに対し、遠心力は１００分の１Gくらい。空気は外側に飛んでいくこうとするのでしょうか。それも赤道付近へ。
それと、地上の海には潮汐という、月からの重力を受けて生じる現象があります。重力をもろにうける地上の海でさえ、月の重力を受けるのだから、地球の重力がない地底空間の空気はもっと影響を受けるのではないでしょうか。
国際的問題に発展させて下さってありがとうございます（笑）
でもtakekujiraさんの指摘の通り、地球内部の力についての問題です。
なかなか難しい問題に発展してきているので、海外の物理学者も頭を悩ますかも？
＞takekujiraさん
そうですね！ 中心部が全部の方向から力を受けるのは当たり前でしたね。そのほかも指摘の通りでした。
考えてみたのですが、空気質量による中心部分への重力は２０万分の１Gしかないのに対し、遠心力は１００分の１Gくらい。空気は外側に飛んでいくこうとするのでしょうか。それも赤道付近へ。
それと、地上の海には潮汐という、月からの重力を受けて生じる現象があります。重力をもろにうける地上の海でさえ、月の重力を受けるのだから、地球の重力がない地底空間の空気はもっと影響を受けるのではないでしょうか。
Newtonの万有引力の式を信じる限り、重積分やるだけなので簡単な計算ですよね。
ちゃちゃっと計算しちゃえばOKです。
と、言わないでちゃんと説明してくれるあたり、とても良い先生ですね＾＾
今ぱっと思ったんですが、Einstein方程式使ったらどうなるんですかね。
内部はほんとにMinkovski空間になるのでしょうか。
あぁ、Schwarzschild計量の質量0に対応する真空解が解、つまり内部はMinkovski空間ですか。
なにやら、地球表面での時空の曲がり方が気になるところですけども、相対論的にも無重力状態な雰囲気ですね。
暇があったら、これもちゃちゃっと計算してみたいと思います。
ちゃちゃっと計算しちゃえばOKです。
と、言わないでちゃんと説明してくれるあたり、とても良い先生ですね＾＾
今ぱっと思ったんですが、Einstein方程式使ったらどうなるんですかね。
内部はほんとにMinkovski空間になるのでしょうか。
あぁ、Schwarzschild計量の質量0に対応する真空解が解、つまり内部はMinkovski空間ですか。
なにやら、地球表面での時空の曲がり方が気になるところですけども、相対論的にも無重力状態な雰囲気ですね。
暇があったら、これもちゃちゃっと計算してみたいと思います。
>1÷0 さん
エネルギーと時空の曲がり方の間の関係式がEinstein方程式です。雰囲気はNewtonの万有引力と運動方程式のセットに似てなくもないです。二階微分とそのソースという考え方においてのみですけどね＾＾；
それによるとエネルギーによって時空が曲がるわけなんですが、平坦な時空のことをMinkovski時空といいます。つまり、いわゆる無重力状態です。
また、Einstein方程式の球対称な解をSchwarzschild解といいます。これのおかげで、ブラックホールの理論的予測ができました。普通は惑星の内部解と外部解の接続条件によって特異点がでて、ブラックホールだ！となるのですが、エネルギー運動量テンソルとして軌道方向にデルタ関数的な分布を考えれば（要は非常に薄い球殻）、内部解がでてきます。
昨日ちょっと計算しましたら、この内部解はMinkovski時空になりましたので、
一般相対論的にも、内部が空洞な天体の内部ではその惑星からの重力は受けないことが証明できました。
ちょっと不思議なのが、どんなに極端に重い球殻を考えても、内部ではMinkovski時空だということです。それこそ、無限の密度（デルタ関数的分布）でも。
無限の密度なんかに近づいたら、ブラックホールになっていそうなもんですけどねー。
エネルギーと時空の曲がり方の間の関係式がEinstein方程式です。雰囲気はNewtonの万有引力と運動方程式のセットに似てなくもないです。二階微分とそのソースという考え方においてのみですけどね＾＾；
それによるとエネルギーによって時空が曲がるわけなんですが、平坦な時空のことをMinkovski時空といいます。つまり、いわゆる無重力状態です。
また、Einstein方程式の球対称な解をSchwarzschild解といいます。これのおかげで、ブラックホールの理論的予測ができました。普通は惑星の内部解と外部解の接続条件によって特異点がでて、ブラックホールだ！となるのですが、エネルギー運動量テンソルとして軌道方向にデルタ関数的な分布を考えれば（要は非常に薄い球殻）、内部解がでてきます。
昨日ちょっと計算しましたら、この内部解はMinkovski時空になりましたので、
一般相対論的にも、内部が空洞な天体の内部ではその惑星からの重力は受けないことが証明できました。
ちょっと不思議なのが、どんなに極端に重い球殻を考えても、内部ではMinkovski時空だということです。それこそ、無限の密度（デルタ関数的分布）でも。
無限の密度なんかに近づいたら、ブラックホールになっていそうなもんですけどねー。
>顔はマンゲツ☆ さん
マージングという概念がよくわかりません・・・。
なにやら話しがかみ合っていないようなので整理すると、
私が言いたかったのは、
たとえば太陽はBH化はしませんが、太陽が薄い球殻になったとして、外部では太陽の球殻化による影響はでないはずですよね。それが球対称を要請した解で表現されました。ですが、太陽の表面付近では微小殻にたいして、有意なSchwarzschild半径をもつ微小殻は作りえるのではないか。そのとき、外部解は特異点を本当に持たないのか。
ということです。
その球殻を作るメカニズムはとりあえずおいて話していました。
「もし、特異点がないのだとしたら、その大エネルギー密度はなぜ特異点を作らないのか。」
「もし、特異点があるのだとしたら、なぜ一般相対論において単純な球対称球殻モデルは特異点を示さないのか」
（球殻の半径よりSchwarzschild半径が小さい前提で話しています。）
本当に不思議です。
＞顔はマンゲツ☆ さん
＞１÷０ さん
球殻星に関しては、そういう星があったとしたら、Fermionの縮退圧がとってもいいバランスで均衡を保っていると考えるのが一番でしょうか。確実に不安定な均衡点でしょうけど・・・。
もしくは、馬鹿でかい角運動量を持ち、それによって球殻ではありませんが、筒のような形状になるというところかな、と。そうなるとKerr解の領域になりますね。これはちょっとまだ勉強不足でよくわからんです＞＜
できる過程に関して、
ガス説は、マクロな状態で内部がガスで表層が固体というのがちょっと考えづらいです・・・。ただ、今考えられている星の形成システム上、核があって星ができていくので、最初から殻というのも考えづらい。そう考えると内部から「抜き取る」という考え方も捨てがたいですね＾＾；
マージングという概念がよくわかりません・・・。
なにやら話しがかみ合っていないようなので整理すると、
私が言いたかったのは、
たとえば太陽はBH化はしませんが、太陽が薄い球殻になったとして、外部では太陽の球殻化による影響はでないはずですよね。それが球対称を要請した解で表現されました。ですが、太陽の表面付近では微小殻にたいして、有意なSchwarzschild半径をもつ微小殻は作りえるのではないか。そのとき、外部解は特異点を本当に持たないのか。
ということです。
その球殻を作るメカニズムはとりあえずおいて話していました。
「もし、特異点がないのだとしたら、その大エネルギー密度はなぜ特異点を作らないのか。」
「もし、特異点があるのだとしたら、なぜ一般相対論において単純な球対称球殻モデルは特異点を示さないのか」
（球殻の半径よりSchwarzschild半径が小さい前提で話しています。）
本当に不思議です。
＞顔はマンゲツ☆ さん
＞１÷０ さん
球殻星に関しては、そういう星があったとしたら、Fermionの縮退圧がとってもいいバランスで均衡を保っていると考えるのが一番でしょうか。確実に不安定な均衡点でしょうけど・・・。
もしくは、馬鹿でかい角運動量を持ち、それによって球殻ではありませんが、筒のような形状になるというところかな、と。そうなるとKerr解の領域になりますね。これはちょっとまだ勉強不足でよくわからんです＞＜
できる過程に関して、
ガス説は、マクロな状態で内部がガスで表層が固体というのがちょっと考えづらいです・・・。ただ、今考えられている星の形成システム上、核があって星ができていくので、最初から殻というのも考えづらい。そう考えると内部から「抜き取る」という考え方も捨てがたいですね＾＾；
>takekujiraさん
粒子的に計算してみました。
天体を構成している粒子がプランク波長のｎ倍の大きさ
ｒ＝ｎＬpl (中性子ならｎ〜10＾19)
としたら、この天体の動径方向の粒子数をＮ個としたとき
この天体がＢＨになるには
n=N
でないといけないようです。
n>N
の状態だとＢＨではない通常天体なわけです。
ちなみにこの粒子のシュヴァルツシルト半径は〜Ｌpl/n
いま、これを動径方向の粒子を地表面へ圧縮して球殻にする場合をかんがえる。球殻が１粒子の
薄さで構成されるように、動径方向のＮ個の粒子分のエネルギーを表面粒子に集めても
表面粒子のシュヴァルツシルト半径は
（Ｎ/ｎ）Ｌplになるだけです
いま
n>N
なので、表面粒子の大きさより遥かに小さいものになってしまうので、球殻自体は
ＢＨにならないですね。
ただ、それよりさらに圧縮するとなると、もはや球対称解は成立せず、
くらべんさんのかかれたようなややこしいことになってくるんではないでしょうか？
ただ、粒子的でなく理想的に連続的物質で球殻を考えるなら、シュヴァルツシルト
解は完全に意味を持たないので、どうなるのかわかりません。。
粒子的に計算してみました。
天体を構成している粒子がプランク波長のｎ倍の大きさ
ｒ＝ｎＬpl (中性子ならｎ〜10＾19)
としたら、この天体の動径方向の粒子数をＮ個としたとき
この天体がＢＨになるには
n=N
でないといけないようです。
n>N
の状態だとＢＨではない通常天体なわけです。
ちなみにこの粒子のシュヴァルツシルト半径は〜Ｌpl/n
いま、これを動径方向の粒子を地表面へ圧縮して球殻にする場合をかんがえる。球殻が１粒子の
薄さで構成されるように、動径方向のＮ個の粒子分のエネルギーを表面粒子に集めても
表面粒子のシュヴァルツシルト半径は
（Ｎ/ｎ）Ｌplになるだけです
いま
n>N
なので、表面粒子の大きさより遥かに小さいものになってしまうので、球殻自体は
ＢＨにならないですね。
ただ、それよりさらに圧縮するとなると、もはや球対称解は成立せず、
くらべんさんのかかれたようなややこしいことになってくるんではないでしょうか？
ただ、粒子的でなく理想的に連続的物質で球殻を考えるなら、シュヴァルツシルト
解は完全に意味を持たないので、どうなるのかわかりません。。
＞くらべん さん
以前もどこかでお会いしましたね。よろしくお願いします。
座標によって消える特異点があることは知っています。Schwarzschild半径にある球面なんかがそうですよね。対して中心に質量を集めたときの中心は本当の意味での特異点です。
なるほどそう考えると、球対称な中心を天体中心にとった座標でこの天体を見ると、特異点は存在しないということでよろしいのでしょうか。
たしかに、そう考えると自然ですね。
＞顔はマンゲツ☆ さん
聞き分けのない子供の様な返事ごめんなさい。それでもやっぱりよくわかりません。
粒子の大きさというのは、強い力の相互作用が及ぶ範囲ということでよろしいのでしょうか。
それでも、粒子の大きさだけでBHになる条件がでてくるというのがちょっと納得いかないです・・・。基本的には天体の静止エネルギーによってSchwarzschild半径が決まって、その半径内に天体の粒子が収まっていると球対称解では見かけの特異点が生じて、BHになる。ということなのではないでしょうか。
この論理で行くと、粒子の静止エネルギーと大きさが反比例してしまいそうです・・・。
あと、n>Nの仮定を置くのはまずいと思います。粒子数が多くても、密度が薄かったらBHにはならないので、そういう天体で表面にエネルギーを集めれば、途中でBH化する可能性はあると思います。ただ、そのBH化を天体中心からの系で記述できるかどうかが気になっているんです。
しかし、その過程がおこる力学が意味不明という点では同意です。
連続体を考えると、Schwarzschild解は意味を持たないのですか？
以前もどこかでお会いしましたね。よろしくお願いします。
座標によって消える特異点があることは知っています。Schwarzschild半径にある球面なんかがそうですよね。対して中心に質量を集めたときの中心は本当の意味での特異点です。
なるほどそう考えると、球対称な中心を天体中心にとった座標でこの天体を見ると、特異点は存在しないということでよろしいのでしょうか。
たしかに、そう考えると自然ですね。
＞顔はマンゲツ☆ さん
聞き分けのない子供の様な返事ごめんなさい。それでもやっぱりよくわかりません。
粒子の大きさというのは、強い力の相互作用が及ぶ範囲ということでよろしいのでしょうか。
それでも、粒子の大きさだけでBHになる条件がでてくるというのがちょっと納得いかないです・・・。基本的には天体の静止エネルギーによってSchwarzschild半径が決まって、その半径内に天体の粒子が収まっていると球対称解では見かけの特異点が生じて、BHになる。ということなのではないでしょうか。
この論理で行くと、粒子の静止エネルギーと大きさが反比例してしまいそうです・・・。
あと、n>Nの仮定を置くのはまずいと思います。粒子数が多くても、密度が薄かったらBHにはならないので、そういう天体で表面にエネルギーを集めれば、途中でBH化する可能性はあると思います。ただ、そのBH化を天体中心からの系で記述できるかどうかが気になっているんです。
しかし、その過程がおこる力学が意味不明という点では同意です。
連続体を考えると、Schwarzschild解は意味を持たないのですか？
>takekujiraさん
説明不足ですいません
>粒子の大きさというのは、強い力の相互作用が及ぶ範囲ということでよろしいのでしょうか。
そこまで大げさに考えず、単純にコンプトン波長を考えました。
中性子だとプランク波長の10＾19倍の大きさになるのでそれを粒子の大きさと考えました。
>あと、n>Nの仮定を置くのはまずいと思います
すいません。これも説明不足でした。。
もっとも簡単にするため上で考えた粒子をきっちり等密度で敷き詰めた場合という
仮定での話でした。
>粒子の大きさだけでBHになる条件がでてくるというのがちょっと納得いかないです
もし球面上の粒子が自分の大きさ（コンプトン波長）を維持したまま動径方向の
粒子を吸い込んでいったら、
コンプトン波長＜シュヴァルツシルト半径
にならない限り、粒子はＢＨにならないという意味です。
もし、強引に表面上の粒子に動径方向の粒子を押し付け圧縮するとなると、
そのためのエネルギーが加わってしまうので、球殻の外から見ても天体の
重力の状態が変わってしまうので、まずいと思いました。
>連続体を考えると、Schwarzschild解は意味を持たないのですか？
ご存知のようにシュヴァルツシルト解は球対称で空っぽであることが条件になっています。
それゆえ球殻のような平らな曲面には当てはまらないと思われます。
どうしても当てはめたい場合は構成粒子を考えるなど、球対称の要素に分割しないと難しいのではないでしょうか？
説明不足ですいません
>粒子の大きさというのは、強い力の相互作用が及ぶ範囲ということでよろしいのでしょうか。
そこまで大げさに考えず、単純にコンプトン波長を考えました。
中性子だとプランク波長の10＾19倍の大きさになるのでそれを粒子の大きさと考えました。
>あと、n>Nの仮定を置くのはまずいと思います
すいません。これも説明不足でした。。
もっとも簡単にするため上で考えた粒子をきっちり等密度で敷き詰めた場合という
仮定での話でした。
>粒子の大きさだけでBHになる条件がでてくるというのがちょっと納得いかないです
もし球面上の粒子が自分の大きさ（コンプトン波長）を維持したまま動径方向の
粒子を吸い込んでいったら、
コンプトン波長＜シュヴァルツシルト半径
にならない限り、粒子はＢＨにならないという意味です。
もし、強引に表面上の粒子に動径方向の粒子を押し付け圧縮するとなると、
そのためのエネルギーが加わってしまうので、球殻の外から見ても天体の
重力の状態が変わってしまうので、まずいと思いました。
>連続体を考えると、Schwarzschild解は意味を持たないのですか？
ご存知のようにシュヴァルツシルト解は球対称で空っぽであることが条件になっています。
それゆえ球殻のような平らな曲面には当てはまらないと思われます。
どうしても当てはめたい場合は構成粒子を考えるなど、球対称の要素に分割しないと難しいのではないでしょうか？
＞顔はマンゲツ☆ さん
コンプトン波長ですか。それならば納得です。
要は、重力だけじゃこんな圧縮は不可能だし、BH化に関してはそういう状況を考えなくていいということでよろしいでしょうか？
外力が加わったら、エネルギー運動量テンソルが変わるだろうし、そりゃそうですね。
なんとなく噛み砕けてきたような気がします。
ただ、最後の部分で、
たとえ連続体であっても、その静止エネルギーを用いて、外部解はSchwarzschild解になる思います。連続体が球状に分布していれば、中心にたいして球対称性は満たします。
中心だけにソースとなるエネルギーを持たせた解以外でも、有限な大きさの星に球対称にエネルギーを振り分けたような状況での解があります。
つまり、エネルギー運動量テンソルの00成分に軌道方向依存性を持たせるという意味なんですが、この処方箋は間違っているのでしょうか？
コンプトン波長ですか。それならば納得です。
要は、重力だけじゃこんな圧縮は不可能だし、BH化に関してはそういう状況を考えなくていいということでよろしいでしょうか？
外力が加わったら、エネルギー運動量テンソルが変わるだろうし、そりゃそうですね。
なんとなく噛み砕けてきたような気がします。
ただ、最後の部分で、
たとえ連続体であっても、その静止エネルギーを用いて、外部解はSchwarzschild解になる思います。連続体が球状に分布していれば、中心にたいして球対称性は満たします。
中心だけにソースとなるエネルギーを持たせた解以外でも、有限な大きさの星に球対称にエネルギーを振り分けたような状況での解があります。
つまり、エネルギー運動量テンソルの00成分に軌道方向依存性を持たせるという意味なんですが、この処方箋は間違っているのでしょうか？
>takekujiraさん
43の僕のコメントは、見かけ上の特異点が出来るということじゃなくて、実際にBHが形成されるんじゃないかという意味だったんですが（つまり、球殻の内と外にapparent horizonが出来て、外側に本物のhorizonが出来る）、でもこのコメントは間違ってそうです。すみません。
僕も気になって、調べてみたら、使ってた教科書に球対称天体の内部解の方程式なるものがのっていて、それとにらめっこする限り、球殻の密度がいくら大きくてもBHは形成されないんじゃないかと思えてきました（不思議ですね）。
そこで、以下の様に簡単化して考えて自分なりに納得することにしました。
図を見ていただきたいのですが、球殻を一様と考える代わりに、球殻の厚みに等しい大きさの小球を敷き詰めると考えて見ました。
球殻の質量をそのままにして、殻を薄くしていった時に、小球のシュバルツシルド半径がどの様に変化するか考えてみたのですが、図のように考えれば、殻の厚みを小さくするほど、敷き詰めるべき小球の数が増すので、結局、小球一個あたりの質量は小さくなり、シュバルツシルド半径（Rg=2GM/c^2）は殻の厚み以上に小さくなるという結論に達しました。従って殻はBHにはなりません（あくまで簡単化した考察にすぎませんが）。
但し、これはあくまでも、圧縮前の殻の密度が十分に小さいことが前提で、圧縮前から密度が大きかった場合の説明にはなってないかも知れません。しかし、このような場合はそもそも「球殻全体の質量のシュバルツシルド半径は球殻の半径よりも小さい」という前提を破ってしまう場合に該当するのではないかと思います（顔はマンゲツ☆ さんのコメントも、このことをコンプトン波長で説明されたのだと思います）。
ついでに思ったのですけど、球殻じゃなくて、面積無限大の壁の場合はどうなるんでしょうね？（やりすぎると、だんだんトピずれしてきますね。。）
43の僕のコメントは、見かけ上の特異点が出来るということじゃなくて、実際にBHが形成されるんじゃないかという意味だったんですが（つまり、球殻の内と外にapparent horizonが出来て、外側に本物のhorizonが出来る）、でもこのコメントは間違ってそうです。すみません。
僕も気になって、調べてみたら、使ってた教科書に球対称天体の内部解の方程式なるものがのっていて、それとにらめっこする限り、球殻の密度がいくら大きくてもBHは形成されないんじゃないかと思えてきました（不思議ですね）。
そこで、以下の様に簡単化して考えて自分なりに納得することにしました。
図を見ていただきたいのですが、球殻を一様と考える代わりに、球殻の厚みに等しい大きさの小球を敷き詰めると考えて見ました。
球殻の質量をそのままにして、殻を薄くしていった時に、小球のシュバルツシルド半径がどの様に変化するか考えてみたのですが、図のように考えれば、殻の厚みを小さくするほど、敷き詰めるべき小球の数が増すので、結局、小球一個あたりの質量は小さくなり、シュバルツシルド半径（Rg=2GM/c^2）は殻の厚み以上に小さくなるという結論に達しました。従って殻はBHにはなりません（あくまで簡単化した考察にすぎませんが）。
但し、これはあくまでも、圧縮前の殻の密度が十分に小さいことが前提で、圧縮前から密度が大きかった場合の説明にはなってないかも知れません。しかし、このような場合はそもそも「球殻全体の質量のシュバルツシルド半径は球殻の半径よりも小さい」という前提を破ってしまう場合に該当するのではないかと思います（顔はマンゲツ☆ さんのコメントも、このことをコンプトン波長で説明されたのだと思います）。
ついでに思ったのですけど、球殻じゃなくて、面積無限大の壁の場合はどうなるんでしょうね？（やりすぎると、だんだんトピずれしてきますね。。）
>くらべん さｎ
あれれ。僕は、球対称解からの特異性のなさを信じ、この系ではBHは実現されないのだ！という風にとってしまいました。
そうなんです、球対称解からはBHはでてこないんです。それゆえ、この惑星中心の球対称解ではBHはできないというのが、自然でかつ素直な受け取り方なんだと思いました。
粒子敷き詰め仮説おもしろいです。
しかし、球殻の球対称性の保持だけが必要な条件だとすると、球殻を薄くしていくにしたがって粒子数を必ずしも多くする必要はないんじゃないかと思います。そうなるともはや粒子ごとに球対称性はなくなって普通のSchwarzschild半径の話で展開はできなくなりますが、連続体近似といいいますか、球殻の各部分においては粒子的に角度方向に引き伸ばされたエネルギー分布というのが許されると思います。
総じて、私には粒子としての振る舞いを前提とされる仮説がどうも納得いかないです。
仕方のないことですが粒子の大きさという定義もあやふやな段階で、その大きさを段階的に変えて考えるというのはどうも。。。
連続的なエネルギー分布を許す一般相対論の解がそういった粒子の大きさという意味で制限されることはないんじゃないかという思いです。
しかし、BHはできない。
僕もついでに思ったのですが、
同質量のBHが二つならんでいるとき、これらは二つの重心から見ても明らかにBHだと思われます。
しかし、これら同質量BHを複数用意して、球形にたくさんならべたとき、系はBHがなくなるという。
やはり、球対称性という対称性が特異性を消したと考えるが自然な気がします。
そういう意味で、消えた見掛けの特異面という考えが非常にしっくりきています。
面積無限大の命題については、Einstein方程式の並進対称性解というのはあるんだしたっけ？素直に考えれば層状の特異面が現れそうですが、これもまた消えたりしたら面白そうですね。
最後のご指摘についてはもっともです。
あたらしく建てたほうがよろしいでしょうか。
あれれ。僕は、球対称解からの特異性のなさを信じ、この系ではBHは実現されないのだ！という風にとってしまいました。
そうなんです、球対称解からはBHはでてこないんです。それゆえ、この惑星中心の球対称解ではBHはできないというのが、自然でかつ素直な受け取り方なんだと思いました。
粒子敷き詰め仮説おもしろいです。
しかし、球殻の球対称性の保持だけが必要な条件だとすると、球殻を薄くしていくにしたがって粒子数を必ずしも多くする必要はないんじゃないかと思います。そうなるともはや粒子ごとに球対称性はなくなって普通のSchwarzschild半径の話で展開はできなくなりますが、連続体近似といいいますか、球殻の各部分においては粒子的に角度方向に引き伸ばされたエネルギー分布というのが許されると思います。
総じて、私には粒子としての振る舞いを前提とされる仮説がどうも納得いかないです。
仕方のないことですが粒子の大きさという定義もあやふやな段階で、その大きさを段階的に変えて考えるというのはどうも。。。
連続的なエネルギー分布を許す一般相対論の解がそういった粒子の大きさという意味で制限されることはないんじゃないかという思いです。
しかし、BHはできない。
僕もついでに思ったのですが、
同質量のBHが二つならんでいるとき、これらは二つの重心から見ても明らかにBHだと思われます。
しかし、これら同質量BHを複数用意して、球形にたくさんならべたとき、系はBHがなくなるという。
やはり、球対称性という対称性が特異性を消したと考えるが自然な気がします。
そういう意味で、消えた見掛けの特異面という考えが非常にしっくりきています。
面積無限大の命題については、Einstein方程式の並進対称性解というのはあるんだしたっけ？素直に考えれば層状の特異面が現れそうですが、これもまた消えたりしたら面白そうですね。
最後のご指摘についてはもっともです。
あたらしく建てたほうがよろしいでしょうか。
>takekujiraさん
トピ建てはお任せします。まだぎりぎりＯＫかと思います（多分）。
僕のは粒子説ではありません。シュバルツシルト半径による判定法は、厳密には時空が球対称の場合しか使えないと思ったので、少し工夫したのです。
例えば、質量Mの天体がBHになるために必要な密度は、次のように考えられるかもしれません（Rgをシュバルツシルド半径とする）
ρg = M / ((4/3)πRg^3) 〜 M^(-2)
(勿論、分母の体積は平坦な時空の場合の値なので、これは正確な式ではありません。)結局半径の2乗が残ってしまうので、BHが形成されるのに必要な密度の値が、天体として定義した領域の大きさ(M)に依存するということが起こってしまいます。先ほどの球殻の場合も、「小球」の大きさをどの様にとるかによって、ρgの値が変わってきます。そこで、なるべく球殻そのものの大きさに近くなる様に小球の大きさを設定していたのです(なので、かなりいいかげんな議論です)。
>球殻の各部分においては粒子的に角度方向に引き伸ばされたエネルギー分布というのが許されると思います。
これは、どういう意味でしょう？
>同質量のBHが二つならんでいるとき、これらは二つの重心から見ても明らかにBHだと思われます。
>しかし、これら同質量BHを複数用意して、球形にたくさんならべたとき、系はBHがなくなるという。
>やはり、球対称性という対称性が特異性を消したと考えるが自然な気がします
いや、一度形成されたBHは消えないと思いますよ（量子的には蒸発するという話もありますが。。）。有限個のBHを球状に並べたところで、球対称にはならないですし（球状に点が並ぶイメージ）。
非常にプリミティブな説明を思いついたのですが、そもそもBHというのは「光さえもそこから脱出できない」程の強い引力を持った天体のはずで、確かに、通常の星の崩壊であれば、中心に物質が集まるほど逆二乗則で引力が大きくなって、そのような状況に達しますが、問題の「球殻の密度を上げる」方法では、引力そのものは大きくなりません（球殻の外の表面も内の表面も重力そのものは変化せず）。光も全然逃げ出せると思います（すくなくともNewton力学では）。
だから、この場合BHにはならない、と考えるのが、わりと自然なのではと思いました。
面積無限大の壁の場合も、壁の密度を上げても、壁の面密度を変えない限りは、重力は大きくならないですね（これこそガウスの定理ですね。コンデンサの電場を求める要領で。。）
トピ建てはお任せします。まだぎりぎりＯＫかと思います（多分）。
僕のは粒子説ではありません。シュバルツシルト半径による判定法は、厳密には時空が球対称の場合しか使えないと思ったので、少し工夫したのです。
例えば、質量Mの天体がBHになるために必要な密度は、次のように考えられるかもしれません（Rgをシュバルツシルド半径とする）
ρg = M / ((4/3)πRg^3) 〜 M^(-2)
(勿論、分母の体積は平坦な時空の場合の値なので、これは正確な式ではありません。)結局半径の2乗が残ってしまうので、BHが形成されるのに必要な密度の値が、天体として定義した領域の大きさ(M)に依存するということが起こってしまいます。先ほどの球殻の場合も、「小球」の大きさをどの様にとるかによって、ρgの値が変わってきます。そこで、なるべく球殻そのものの大きさに近くなる様に小球の大きさを設定していたのです(なので、かなりいいかげんな議論です)。
>球殻の各部分においては粒子的に角度方向に引き伸ばされたエネルギー分布というのが許されると思います。
これは、どういう意味でしょう？
>同質量のBHが二つならんでいるとき、これらは二つの重心から見ても明らかにBHだと思われます。
>しかし、これら同質量BHを複数用意して、球形にたくさんならべたとき、系はBHがなくなるという。
>やはり、球対称性という対称性が特異性を消したと考えるが自然な気がします
いや、一度形成されたBHは消えないと思いますよ（量子的には蒸発するという話もありますが。。）。有限個のBHを球状に並べたところで、球対称にはならないですし（球状に点が並ぶイメージ）。
非常にプリミティブな説明を思いついたのですが、そもそもBHというのは「光さえもそこから脱出できない」程の強い引力を持った天体のはずで、確かに、通常の星の崩壊であれば、中心に物質が集まるほど逆二乗則で引力が大きくなって、そのような状況に達しますが、問題の「球殻の密度を上げる」方法では、引力そのものは大きくなりません（球殻の外の表面も内の表面も重力そのものは変化せず）。光も全然逃げ出せると思います（すくなくともNewton力学では）。
だから、この場合BHにはならない、と考えるのが、わりと自然なのではと思いました。
面積無限大の壁の場合も、壁の密度を上げても、壁の面密度を変えない限りは、重力は大きくならないですね（これこそガウスの定理ですね。コンデンサの電場を求める要領で。。）
＞くらべん さん
BH生成条件が天体としての静止エネルギーに依存するというのはわかります。
しかし、密度が十分に高くなった球殻付近においても球対称系以外でもBHが生成されないというのは解せません。
横に引き伸ばすのいうのはまさにこのあたりで、連続体に近いと考え、エネルギー密度をどんどん高くしていくことは少なくとも空想上は可能なんじゃないかということです。原点中心の球対称性は残され、球状の各点については微小にみても球対称性はなくなりますが、「密度が高くなる」という点においてBHを見ることができる系もあるというのが僕の見解です。
薄くなった球殻付近では、重力のr→0の付近という意味で高エネルギー密度による時空の歪みによって光を束縛することもできると思います。
面積無限大についても、どうようなことが言えると思います。
私がだした例もあいまいな議論であることはそうですが、有限個のBHを生成する天体で球殻を埋め尽くすことは可能という意味です。それを断熱的に行うことを考えれば、ある系ではBHがあったはずが、中心からみた系ではBHと観測されないのではないかということです。
そう考えると、球殻で囲まれた新たな宇宙の創世という気がしますが、言い過ぎですね。。。＾＾；
中心と外はともにTimelikeな関係ですので、因果律も犯してもいないと考えます。
BH生成条件が天体としての静止エネルギーに依存するというのはわかります。
しかし、密度が十分に高くなった球殻付近においても球対称系以外でもBHが生成されないというのは解せません。
横に引き伸ばすのいうのはまさにこのあたりで、連続体に近いと考え、エネルギー密度をどんどん高くしていくことは少なくとも空想上は可能なんじゃないかということです。原点中心の球対称性は残され、球状の各点については微小にみても球対称性はなくなりますが、「密度が高くなる」という点においてBHを見ることができる系もあるというのが僕の見解です。
薄くなった球殻付近では、重力のr→0の付近という意味で高エネルギー密度による時空の歪みによって光を束縛することもできると思います。
面積無限大についても、どうようなことが言えると思います。
私がだした例もあいまいな議論であることはそうですが、有限個のBHを生成する天体で球殻を埋め尽くすことは可能という意味です。それを断熱的に行うことを考えれば、ある系ではBHがあったはずが、中心からみた系ではBHと観測されないのではないかということです。
そう考えると、球殻で囲まれた新たな宇宙の創世という気がしますが、言い過ぎですね。。。＾＾；
中心と外はともにTimelikeな関係ですので、因果律も犯してもいないと考えます。
>takekujiraさん
まず、「密度が高くなる」=「BHが形成される」
という関係が常に成り立つか。。ということがポイントかと思いますが、僕には良くわかりません。ただ一つの指針として、密度というより、重力そのものが大きくならないことには、BHとしての条件「無限遠方へ脱出できない」をみたさないと思います。
>私がだした例もあいまいな議論であることはそうですが、有限個のBHを生成する天体で球殻を埋め尽くすことは可能という意味です。
有限個のBHを生成する天体で球殻を埋め尽くすことはできないと思います。50の小球で考えましょう。
小球にBHを形成できるだけのぎりぎりの質量を与えておいて、敷き詰めると、結果として殻の質量が大きくなりすぎて、最初の仮定である（殻の半径＞殻のシュバルツシルト半径）をみたさないことが示せます。
小球の質量をm、半径をr、殻の厚みをd(=2r)とします。この場合、小球の半径はシュバルツシルト半径なので、
m=(c^2)r/(2G)
が成り立ち、小球の密度(=殻の密度)は
ρ = m/((4/3)πr^3) = 3c^2/(8πGr^2) = 3c^2/(2πGd^2)
となります。すると、殻全体の質量Mは、殻の半径をRとすると
M = 4π(R^2)×d×ρ = 6(c^2)(R^2)/(Gd)
となります。従って、殻全体のシュバルツシルト半径Rgは
Rg = 2GM/c^2 = (12R/d)×R
となります。殻の厚みは殻の半径よりも小さいと思われるので、R>d。従って
Rg > R
が得られます。
>それを断熱的に行うことを考えれば、ある系ではBHがあったはずが、中心からみた系ではBHと観測されないのではないかということです。
たしかにapparent horizonなどは座標系に依存するかも知れませんが、（event horizonとしての）BHの定義は、座標などには依存しないはずです。要するに「無限遠方の領域に逃げれるか」どうかではないかと（単純に）理解しております。
もし間違ってたらごめんなさい。
あと、ちょっとずれてるかもしれませんが、以前にも似たようなトピがあって、そのとき僕が疑問に思ったことが、まだ解決できてません。
http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=20886864&comm_id=63364
だれか良かったら考えて見て下さい。
まず、「密度が高くなる」=「BHが形成される」
という関係が常に成り立つか。。ということがポイントかと思いますが、僕には良くわかりません。ただ一つの指針として、密度というより、重力そのものが大きくならないことには、BHとしての条件「無限遠方へ脱出できない」をみたさないと思います。
>私がだした例もあいまいな議論であることはそうですが、有限個のBHを生成する天体で球殻を埋め尽くすことは可能という意味です。
有限個のBHを生成する天体で球殻を埋め尽くすことはできないと思います。50の小球で考えましょう。
小球にBHを形成できるだけのぎりぎりの質量を与えておいて、敷き詰めると、結果として殻の質量が大きくなりすぎて、最初の仮定である（殻の半径＞殻のシュバルツシルト半径）をみたさないことが示せます。
小球の質量をm、半径をr、殻の厚みをd(=2r)とします。この場合、小球の半径はシュバルツシルト半径なので、
m=(c^2)r/(2G)
が成り立ち、小球の密度(=殻の密度)は
ρ = m/((4/3)πr^3) = 3c^2/(8πGr^2) = 3c^2/(2πGd^2)
となります。すると、殻全体の質量Mは、殻の半径をRとすると
M = 4π(R^2)×d×ρ = 6(c^2)(R^2)/(Gd)
となります。従って、殻全体のシュバルツシルト半径Rgは
Rg = 2GM/c^2 = (12R/d)×R
となります。殻の厚みは殻の半径よりも小さいと思われるので、R>d。従って
Rg > R
が得られます。
>それを断熱的に行うことを考えれば、ある系ではBHがあったはずが、中心からみた系ではBHと観測されないのではないかということです。
たしかにapparent horizonなどは座標系に依存するかも知れませんが、（event horizonとしての）BHの定義は、座標などには依存しないはずです。要するに「無限遠方の領域に逃げれるか」どうかではないかと（単純に）理解しております。
もし間違ってたらごめんなさい。
あと、ちょっとずれてるかもしれませんが、以前にも似たようなトピがあって、そのとき僕が疑問に思ったことが、まだ解決できてません。
http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=20886864&comm_id=63364
だれか良かったら考えて見て下さい。
>takekujiraさん
>消える特異性については、普通の球対称解のSchwarzschild半径の特異面は、ある座標系で消せるのではなかったでしたっけ？
それとも、天体中心の特異性が消せるんでしたっけ？
念のためですが、特異点とイベントホライズンは別の概念です。
r=2GM/c^2(=Rg)での特異性ならば、クルスカル座標というのを使えば消えます。これは光の経路が４５度になる様にとった座標と思えば良いでしょう。（天体中心の特異性は消せません）
座標変換によって、r=Rgの特異性が消えるのは確かですが、r=Rgがイベントホライズンであることは、座標系にはよらず成立します。「イベントホライズンの内側に入った物質は二度と外（無限遠方）に出ることは出来ない」というのは、座標の取り方には依りません。ただし、「無限遠方」を数学的にきちんと定義する必要はあるのだと思います。（相対論もあまりアドバンストなことになると自信ないのですが、多分そういうことだと思います）
>ご紹介いただいた問題を簡単にですが、考えてみました。
ありがとうございます。
>消える特異性については、普通の球対称解のSchwarzschild半径の特異面は、ある座標系で消せるのではなかったでしたっけ？
それとも、天体中心の特異性が消せるんでしたっけ？
念のためですが、特異点とイベントホライズンは別の概念です。
r=2GM/c^2(=Rg)での特異性ならば、クルスカル座標というのを使えば消えます。これは光の経路が４５度になる様にとった座標と思えば良いでしょう。（天体中心の特異性は消せません）
座標変換によって、r=Rgの特異性が消えるのは確かですが、r=Rgがイベントホライズンであることは、座標系にはよらず成立します。「イベントホライズンの内側に入った物質は二度と外（無限遠方）に出ることは出来ない」というのは、座標の取り方には依りません。ただし、「無限遠方」を数学的にきちんと定義する必要はあるのだと思います。（相対論もあまりアドバンストなことになると自信ないのですが、多分そういうことだと思います）
>ご紹介いただいた問題を簡単にですが、考えてみました。
ありがとうございます。
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