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アマチュア数学会コミュの完全数の神秘

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完全数の神秘

mixiユーザー 2011年02月09日 02:55


もし 2^k-1が素数でＮ＝2^（k-1）(2^k -1)のとき、Ｎは完全数である
証明
p=2^k-1を題意にあるような素数としよう
Ｎの真の約数の和
=1+2+4+....+2^k-1 +p+ 2p+ 4p+....+2^k-2p
=(2^k-1) + p(2^k-1 -1) = p +p 2^k-1 -p
=p2^k-1=N

ここで(2^k-1)のカタチの素数（メルセンヌ素数）が無限に存在すれば
完全数Ｎは無限に存在することになるが、メルセンヌ素数が無限に存在
するかどうかは未だにわかっていない
kが大きくなると(2^k-1)が素数であるか否か判定するのは難しい
１９９８年に　2^3021377 -1 がメルセンヌ素数であることが発表された
したがって　2^3021376（2^3021377 -1）は完全数であることがわかる
これにより完全数として知られているものはこれで37個（たったこれだけ！！）になった

またＮの式を見る限りＮは偶数だが奇数の完全数の存在するかということは
とても難しい　−オイラー　1747 (200年以上前！！)
奇数の完全数の存在は未解決である

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