IQテストでプラスコミュのオリジナル問題(NEXT)

【-----97 2011年05月21日 19:22 腰白海燕-----】
>>73 の問題
【問題ニ】【問題ホ】はわかったのですが、【問題イ】【問題ロ】【問題ハ
】はわかりませんでした。

【問題ホ】の八進法の問題は、コンピューターをしている人ならすぐに分か
ると思います。今は八進法は余り使いませんが。
【問題イ】は、加算減算乗算の順が分かりませんでした。

>>65 の問題
【問題１】の平面上の７点ですが正六角形の各頂点とその中心ではいけない
のですか。
３点選ぶとき始めの２点を対角線上の２点を選んだ時、もう一つの１点は始
めに選んだどちらかの点から距離が１[cm]になります。
問題文では選んだ３点の内、２点は１[cm]以上離れていてもいいのですから。

>>47 の問題
ドーナツの３回メビウス切りは、最大８個分割として、切り方によっては
３回切りでも最小１個につなげることは可能なのか、それとも最小は３分
割されてしまうのか？

http://web1.kcn.jp/hp28ah77/jp27f_mobi.htm



【-----98 2011年05月22日 00:55 めすらー＠りびどー-----】
＞腰白海燕さん

問題に挑戦していただきありがとうございます♪
まぁ、【問題ホ】は8進法を知っていれば、きっと解きやすかったでしょう。


65の【問題1】についてですが、
「正六角形の各頂点とその中心」というのは、非常にありがちな誤答です。
この問題の一番のポイントは問題文冒頭の「どの3点を選んでも」です。
つまり、自分の都合のよいように取ってきた3点に、距離が1cmであるような2点が含まれていても、
それは必要条件に過ぎません。

「正六角形の各頂点とその中心」の配置だと、距離が√3cmの正三角形をなす
3点を取り出せてしまい、この3点が条件を満たしません。

ついでに言っておくと、実はこの解答は、
きよし＠レモンさんが答えてくださった69の回答のような図形が唯一条件を満たします。
つまり、それ以外の答えが存在しません。
(この証明は場合分けが複雑で、かつ少々数学的になるので、
このスレには適さないと判断し、敢えて掲載しません。興味があればDMで質問してください♪)


47の問題に関しては、ドーナツが1つのまま分割されないことはあり得ません。
少し考えてみれば背理法で示せます。
というのも、仮に3回切断した後にまだドーナッツが1つだったとします。
ドーナッツが1つであるためには、
「3つの切断面のどの2つの切断面も交線を持ってはいけない」ことが条件になります。
すると、これを実現するためには、3つの切断面が(曲がっていますがおおざっぱに言って)
上段・中段・下段という風に平行である必要があります。
しかし切断面がメビウスの帯ですので、中段の切断面は閉じた曲面を形成できますが、
上段と下段が閉じた曲面を形成してくれません(メビウスの帯にならない)。
これは、3つともがメビウスの帯であることに矛盾します。
この矛盾は、そもそもドーナッツが切断後も1つであるという仮定に誤りがあることで発生したものです。
なので、ドーナッツは少なくとも何分割かはされます。

で、最低何分割になるのかは、僕も厳密な証明ができないのですが、多分3分割だと思われます。



【-----99 2011年05月22日 12:01 腰白海燕 -----】
>>98 >>めすらー＠りびどーさん
>>距離が√3cmの正三角形をなす
なるほど。上図の様に３点を選ぶと距離は√3[cm]になってしまいます。



【-----100 2011年05月23日 03:01 めすらー＠りびどー -----】
記念すべき(？)100コメ目に久しぶりの出題です♪



【問題P】 〜作図・工作などをせず、頭の中のみで考えて下さい〜

真上から見ると正五角形、
真横から見ると45度傾いた正方形、
真正面から見ると星型の図形があります。
この図形はいくつの面を持っているでしょうか？
(上図(問題P)を参照して下さい)



【問題Q】

3を2つ、8を2つの計4つの数字を全て使い、24を作ってください。

(注)
演算は、＋−×÷( )のみ使って良いとします。
38、833などのように数字を結合して使ってはいけません。



【問題R】

上の図(問題R)は、ある質問です。
質問に答えてください。

101 2011年05月23日 13:10 腰白海燕 >>98 >>めすらー＠りびどーさん
トーラスのメビウスの帯状切りについては、↓この動画が最も分かりやすい
です。
http://www.youtube.com/watch?v=hYXnZ8-ux80

102 2011年05月23日 19:55 めすらー＠りびどー >> 腰白海燕さん
この動画、2ねじりのメビウスの帯ですね。1周で360度回転しています。
この場合は確かにトーラスが2分割されます。

103 2011年05月24日 00:49 ざわわ > めすらー＠りびどーさん
問題Ｑ
8÷(3−8÷3)

ですね!!

104 2011年05月24日 02:22 めすらー＠りびどー > ざわわさん
はい、その通りでーす(^o^)/
では、残りの問題も頑張って下さい♪

105 2011年05月24日 03:12 腰白海燕 >>めすらー＠りびどーさん
トーラスを１周する間に鋸切りが180°回転つまり１捻りだと、一本のつな
がった輪になるのだろうか。

106 2011年05月24日 04:12 めすらー＠りびどー ＞腰白海燕さん
はい、1つの輪になりますよ。
どうしてもイメージできない場合は、実際に粘土などで作られてはいかがですか？

107 2011年05月24日 08:59 福太郎 > ざわわさん
問題Ｑ
美しい
すね

108 2011年05月24日 12:11 きよし＠レモン 問題P
立体の最小面数を考えればいいのですよね？

立体に弱いこのお脳が導きだした答えでは22面となったのですが、いかがでしょう

☆から五角形の頂点までで10面、底辺までで12面
正方形は五角形の高さでどうにでもなりそうな気がしますｗ


ただ、横から見たら見えない、本当の｢平面｣を使って３面

さらに、曲面なら頑張れば１面で作れるんじゃないかという引っかけ対策も言っておきますｗ

(指定されていなかったので一応。揚げ足でしたら本当にごめんなさい)

109 2011年05月24日 18:49 ざわわ > 福太郎さん

あざっす!!


110 2011年05月24日 18:54 ざわわ > めすらー＠りびどーさん

問題Pですが、正式な名前はわかりませんが、星型錐を2つくっつけた立体をイメージしました。星型と45度傾いた正方形の条件は満たす。正五角形は巧いことやって…ｗ


なので20面と解答してみます。

【-----111 2011年05月24日 22:42 めすらー＠りびどー-----】
＞きよし＠れもんさん

んん？ちょっと・・・違いますね。
あと、今回の場合は立体は一意的に定まってしまいますよ。
「正方形は五角形の高さでどうにでもなりそうな気がしますｗ」との発言がありますが、
もしかすると、そこで少しおかしなことになっているかもしれません。

(ヒント)
この図形は「立方体から」2回の切断で切り出すことはできません。
45度傾いた正方形の1辺の長さを1cmとすると、
正確には高さが（１＋√５）/２　≒1.6180cmの直方体でないと、
この立体を作ることが出来ません。
(ですが、この計算が出来なくても問題自体は解けます。)



【-----112 2011年05月24日 22:45 めすらー＠りびどー-----】
＞ざわわさん
20面ですか。うーん、惜しいです。
形状も片面は辛うじて星型錐(という表現で良いのかはわかりませんが)に似ていますが、
反対側からみると、頂点がなく、そう見えないと思います。



【-----113 2011年05月26日 01:52 福太郎-----】
たまにはレベルの低い問題もあってもいいかと作ってみました

【問題】
┏━┯━┯━┯━┓
┃３│　│　│　┃
┠─┼─┼─┼─┨
┃　│　│２│　┃
┠─┼─┼─┼─┨
┃★│　│　│１┃
┠─┼─┼─┼─┨
┃　│０│　│　┃
┗━┷━┷━┷━┛


★に数字をいれてください




【-----114 2011年05月26日 02:11 ざわわ-----】
> 福太郎さん

感覚的には２ですかね?

縦横斜を0123にする


３ ２ １ ０

０ １ ２ ３

２ ３ ０ １

１ ０ ３ ２



【-----115 2011年05月26日 04:06 福太郎-----】
> ざわわさん
それもありですねぇ
おお私が未熟でした
問題修正いたします
ああでも綺麗くない



【問題】
┏━┯━┯━┯━┓
┃３│　│　│　┃
┠─┼─┼─┼─┨
┃　│　│２│　┃
┠─┼─┼─┼─┨
┃★│　│　│１┃
┠─┼─┼─┼─┨
┃０│０│　│　┃
┗━┷━┷━┷━┛


★に数字をいれてください




【-----116 2011年05月26日 04:59 めすらー＠りびどー-----】
＞福太郎さん

では、★は下の法則に従って1ですか？
(多分違うんだろうけど、さらに揚げ足をｗ)

３ ３ ３ ３

２ ２ ２ ２

１ １ １ １

０ ０ ０ ０


自分で不備の無い問題を作るのって案外難しいものですよね。



【-----117 2011年05月26日 05:10 めすらー＠りびどー-----】
【問題S】

6☆＝11
4☆＝７
7☆＝13

5★＝6
4★＝7
12★＝28

という法則があるとき、以下の計算式が成り立つ。
(？★)÷(3☆☆)＝1

？に入る数字はいくつでしょうか。



【-----118 2011年05月26日 05:23 めすらー＠りびどー-----】
【問題T】
右下に入る4つの数字はそれぞれいくつでしょうか？

┏━┳━┓┏━┳━┓┏━┳━┓
┃25┃32┃┃40┃15┃┃40┃-8┃
┣━╋━┫┣━╋━┫┣━╋━┫
┃16┃22┃┃11┃40┃┃56┃11┃
┗━┻━┛┗━┻━┛┗━┻━┛
┏━┳━┓┏━┳━┓┏━┳━┓
┃19┃20┃┃13┃12┃┃31┃９ ┃
┣━╋━┫┣━╋━┫┣━╋━┫
┃28┃34┃┃10┃11┃┃41┃24┃
┗━┻━┛┗━┻━┛┗━┻━┛
┏━┳━┓┏━┳━┓
┃36┃48┃┃11┃13┃
┣━╋━┫┣━╋━┫
┃16┃60┃┃20┃16┃
┗━┻━┛┗━┻━┛



【-----119 2011年05月26日 05:56 きよし＠レモン-----】
> めすらー＠りびどーさん
問題S
☆は×2−1
★は約数の総和

で成立するので、?★＝9となるから…
1,3,4,7,6,12,8,15,13,18…
…あれ、なくね？

もしかして、｢いくつでもない｣ですか？



【-----120 2011年05月26日 06:00 メアリー-----】
問題Sの方ですが、規則性は白い方が２倍して１を引く、黒い方が約数を足しあわせた数な事はわかるんですが・・



何かシンプルに考えると解答がない気がする・・３×２−１＝５、５×２−１＝９ですが、約数を足しあわせた合計が９になる数って存在しますかね。☆２つを並べた時の解釈に捻りを入れて考えなきゃいけないのかな、と思いつつも、実は解答なしが一番最適な答えなのかな、と・・笑。

【-----121 2011年05月26日 06:09 小春一番-----】
問題Ｓ

法則は全然わからなかったのですが、
上のお二人の解釈に便乗させていただくと、

３×２−１×２−１って解釈なら、＝３になるので、

答えは２、ってことなんじゃないですかね？



【-----123 2011年05月26日 06:22 メアリー -----】


Ｔは４９、３２、２７、４０かな。



【-----124 2011年05月26日 08:08 福太郎-----】
> めすらー＠りびどーさん
ありますね
こ〜ゆ〜のって
やっぱり
簡単にはできないですね


ヤケクソの最終版です
ほぼネタバレしてます


【問題】
┏━┯━┯━┯━┓
┃３│　│２│０┃
┠─┼─┼─┼─┨
┃　│　│２│０┃
┠─┼─┼─┼─┨
┃★│２│２│１┃
┠─┼─┼─┼─┨
┃０│０│１│　┃
┗━┷━┷━┷━┛


★に数字をいれてください



【-----125 2011年05月26日 15:49 帽子屋-----】
> めすらー＠りびどーさん

問題Pの回答ですが19面でしょうか

10面＋4面＋5面てことで´ω｀

脳内で切ったらそんな感じになりました



【-----126 2011年05月26日 18:03 めすらー＠りびどー-----】
＞きよし＠レモンさん
＞メアリーさん
＞小春一番さん

せっかく回答していただいたのに大変申し訳ないです(^_^;)
こちらの不備です。☆に関するヒントの出し方が甘かったようです。
修正版をこちらに再掲します。

【問題S】

1☆＝3
4☆＝7
6☆＝11
7☆＝13
8☆＝13
9☆＝13

5★＝6
4★＝7
12★＝28

という法則があるとき、以下の計算式が成り立つ。
(？★)÷｛(3☆)☆｝＝1

？に入る数字はいくつでしょうか。



【-----127 2011年05月26日 18:08 めすらー＠りびどー-----】
＞メアリーさん

【問題T】はお見事正解です！！
おめでとうございますm(__)m


＞帽子屋さん
ううぅ・・・非常に惜しい！！
答えを言ってしまうと、正面が4面＋背面が4面＋側面の星型が10面＝計18面です。



【-----128 2011年05月26日 18:11 がみ -----】
問題Pをやってみたんですけど、絵のような形になりました。16面ですか？



【-----129 2011年05月26日 18:25 めすらー＠りびどー-----】
＞がみさん
すごく綺麗な図・・・ですね(^O^)／　(僕には到底描けそうもありませんｗ)
正面は正解で、側面もほぼ正解です。
ほぼ完璧なんですが・・・背面が変な感じに切断されていますよ。
もしそう切断されるなら、上から見たときに正五角形の上半分が星型になってしまいます。



【-----130 2011年05月26日 18:36 がみ -----】
あ、初めまして。
図は分かりにくい感じになってますので追加します。横に生えている翼は四面で出来ています。左右の翼、計八面。上から見るとこうなります。これで行けてると思うんですけどねえ。
全方向から考慮した結果、これで不都合がなかったんですけど。

【-----131 2011年05月26日 21:08 がみ-----】
暇だったので立体化してみた。正確な形は出てないけど、微調整すればやっぱり16面で作れそうです。



【-----132 2011年05月26日 21:40 がみ-----】
後ろから。



【-----133 2011年05月27日 07:57 めすらー＠りびどー-----】
> がみさん
事情が十分に掴めましたよ！！

星型のくり抜きの断面をくり抜き方向に対して平行に取らずに工夫した訳ですね(平行に取ると18面になるのでおかしいなぁ･･･と思っていました(^-^;)

これは完全に想定外の別解です！素晴らしいです。

という事で、(暫定で)最小面数が16ですね。



【-----134 2011年05月27日 13:12 がみ-----】
考え直してみたんですけど、正五角形、正方形、星形、それぞれの形を完璧に出すのは不可能かも？
どうやってもどこかに歪みが出来てしまいます。
18面での正解パターンってどんなんでしょう？



【-----135 2011年05月27日 13:30 めすらー＠りびどー-----】
> がみさん
あは。実は可能です。
立方体から切り出そうとしていませんか？それだと確かに不可能ですが、直方体から切り出すと十分可能です。

当初模範解答としていた18面は、ただ単に直方体の各面に対して垂直に正方形・五角形・星型を切り出すものです。時間があれば粘土を買ってきて切り出した物をお見せします(が、手が器用ではないのでちゃんとした物を作れる保証は全く無いですｗ)。



【-----136 2011年05月28日 00:15 福太郎-----】
問題Ｓ
素人ながら考えました

☆について

式にできるとは思うんですが
判らないので説明します

先ず
１から６の間を１づつ増減する周期を考えます
[1234565432]

これを２つ後ろにずらします
[3212345654]

説明しやすくするため
番号を付けます

番号0123456789
　 [3212345654]

蛇足ながら
10以上に関しても
周期10なので
？☆の場合
？÷10のあまりで
番号のところの数を得ます

さらにこれに？を足す

とゆうことで
☆に関しては
条件を満たしているかと思います

番号0123456789
　 [3212345654]

すると
３☆＝3+2＝５
となり
５☆＝5+4＝９

またもや
？★＝９
となり

★＝約数の総和
と考えることができなくなります

だから
間違いなのでしょうが…

数学的に説明できなくて
すいません



【-----139 2011年05月28日 03:26 がみ-----】
くり貫くやり方だと確かに正確な形がでますね。でも20面になってしまうような気がします。



【-----140 2011年05月28日 06:42 めすらー＠りびどー-----】
> 福太郎さん
わお。ホントだ（笑）
また当て嵌まっちゃいましたね(^-^;

これは僕の非でもあり、どうしようもできない事でもあります

実は、僕の意図している☆の法則は数学的に関数などを使って表す事ができません(つまりおおざっぱに言えば不規則的で周期性のない法則です)。

こういう『数に関する不規則的で周期性のない法則を有限個だけ例示』する場合、どのような例示の仕方をしても、『規則的で周期性のある法則』に帰着させてしまう事ができます(逆を言えば、数に関する不規則的で周期性のない法則を有限個の例示で一意的に定めるのは不可能という事です)。

なので、今回は例示の仕方には注意を払いましたが、(特に素数などの周期性のない問題を扱う場合は←)異なる複数の解釈が出てしまうのは防ぎようがありません。

今回、福太郎さんが見つけたのは『規則的で周期性のある法則』の方です。ただ、その法則はかなり突拍子に構成されたものだと思います(法則を見つけられた事自体はとても凄いことですが)。

実はこの問題にはもっとシンプルな考え方があります。中〜高難度のＩＱテストで解が無いと思った場合は、大概は解釈が複数あって(いずれの解釈でも定時された法則を満たすが)正しい解が得られるのは自分の着想していない方の解釈という事が多いので、是非もうひと頑張りして『解の得られる方の解釈(＝ＩＱテストでいうところの最も自然でシンプルな答え)』を見つけ出してみてください♪

【-----141 2011年05月28日 15:31 がみ-----】
後ろから。
やっぱり18面かな？ああ、訳分からんようになってきた。



【-----142 2011年05月28日 16:37 がみ-----】
直方体の粘土を型でくり貫くと考えた場合。
星型１０面（直方体からくり貫くと１２面できるけど、２面は後に消える）、正方形４面、正五角形４面（５面ではない。一面は正方形をくり貫いたときにできる線と重なる。）で計１８面ですね・・・。

問題では「図を描いたりせず」って指定されてましたけど、実際は図にするのが一番難しいと思った・・・。
皆さんお試しあれ。頭が混乱しますｗ
でも面白い問題でした。



【-----143 2011年05月29日 00:35 めすらー＠りびどー-----】
> がみさん
そうなんです！！
実は立体を２次元の紙に描く事が事態を混乱させる原因だと思います(だから３次元のものをそのまま頭の中でイメージしていただきたく、問題に作図や工作をしないよう注意を出していました)。

139レス目の図形には僕が発見しただけでも少なくとも２ヶ所の間違いがあります。

・正面(139の図の左正面)が上下２面になっていますが、左右も微妙に削られて４面になります。

・あと、側面に細長い切断面がありますが、それがあると正面から見たときに☆型になりません。

これらは約半日前に気付いていましたが、がみさんの度重なる指摘によりすっかり自信がなくなって公表できずにいました。おまけに自らの手で２次元の図を描けないので大変もどかしい思いをしておりました(なので、長時間の返信無しは決して無視等ではありません。お許し願いたい)。

そういうこともあり、今回、御自身で18面であることに気付かれて大変よかったと思います。長時間の熟考、大変お疲れ様でした。



【-----144 2011年05月29日 01:30 がみ １３９レス目の図は間違ってますね。
で、描き直したのが１４１で、そっちは割りと自信あるんですけどねえ・・・。大体は合ってると思います。面数数えたら１８面になってますし。
側面の細長い切断面は五角形をくり貫いた時にできるもので、それがあっても正面から見て星型にはなると思います。というか、その切断面がないと１８面にならないと思いますよ。


もし暇があればめすらー＠りびどーさんも挑戦してみてください。
まず正方形から描いて、次にそれを星型に切って、最後に五角形を切るという順番に作図するのがやりやすいと思います。

いやあしかしこの３日間、この作図にはまってしまって楽しかった〜。昨日は朝の３時までやってましたからねｗ
また面白いクイズ出してください。



【-----145 2011年05月30日 20:23 福太郎-----】
問題Ｓを考えて居て
また余興の問題が…
(懲りないねぇ)

【問題】
１→１
２→４
３→９
４→７
５→７
６→９
７→４
８→１
でわ
９→？



これは
すぐに応えられると思います

実は
そのあとに
ちょっと質問があるのです

よろしく

【-----146 2011年05月30日 20:53 KANSAI-JIN-----】
> 福太郎さん
はじめまして・・・
>>１４５　の問題ですが、９→９　ですよね？

その後の問題も気になりますが、私なんかじゃきっとわからないんでしょうね



【-----147 2011年05月30日 23:47 福太郎-----】
> KANSAI-JINさん
お付き合い
ありがとうございます

そのとおり
９→９です

おわかりのように
これは
■ある数を二乗し
■答えの各位の数どうしを足す
■一桁にならなかったらまた同様に各位の数どうしを足し、これを一桁になるまで続ける

の結果が先の【問題】です


で
気づくのは
これの答えって
１.４.７.９
しかないやん！
ってことで

【質問】は
■ほんとに３とか５とかにはならないの？
■そうなら、なんか、簡単に説明(証明?)できることなの？
と云うことです

こんなことは
すでに皆さん知ってることかわからないですが…

【-----148 2011年05月31日 00:52 めすらー＠りびどー-----】
＞福太郎さん
面白いことに気付きましたね。
ちょっと考えてみましたが、証明できそうです。
ただ、完全に数学の証明問題になってしまうのと、結構長い証明なので、
ここに書こうか少し躊躇ってしまいます。

どうしましょう？



【-----149 2011年05月31日 02:24 福太郎-----】
> めすらー＠りびどーさん

わあ
できることなら
知りたいですねぇ

専門の知識がなければ
解らないのかなあ

メッセージででも
いただけると
嬉しいのですが
(勿論このトピでも)



【-----150 2011年05月31日 02:35 めすらー＠りびどー-----】
＞福太郎さん

了解しました♪
専門的な知識は必要ではありません。
加減乗除が出来さえすれば(あと、証明を読み抜く根気があれば)、
分かるように、具体例を添えつつ、極力丁寧に証明を書いてみますので、
少々お待ち下さい(ここに掲載します)。

【-----151 2011年05月31日 03:35 めすらー＠りびどー-----】
147レス目の質問に対し、なるべく分かりやすく証明を書いてみたので、読んでみてください。
数学に慣れている人だとひどく冗長に見えますが、そこはお許しを(^_^;)




まず、本題を示す前に
【任意の自然数に対し、ある数の各桁の和は、ある数を9で割ったときの「広義の余り」に等しい】…★
という補題を証明します。

<<注意1>>
ただし、上の「広義の余り」というのは以下に示すような余りを指すとします。
9で割った余りは0から8までの整数である必要があるんですが、
例えば、37÷9＝4余り1を、37÷9＝3余り10、37÷9＝2余り19というふうに、
余りを9以上の整数として表現しても良いこととします。
(つまり、余りa(aは0から8までの整数)に対して、
a+9n(nは任意の整数)だけの不定性を与えるということです。)


では、一般的な数に対して証明をする前に
57914という具体的な数に対し、上のように定義した「広義の余り」を求めてみましょう。

57914 = 50000 + 7000 + 900 + 10 + 4
= 5×10000 + 7×1000 + 9×100 + 1×10 + 4
= 5×(9999+1) + 7×(999+1) + 9×(99+1) + 1×(9+1) + 4
= 5×(9×1111+1) + 7×(9×111+1) + 9×(9×11+1) + 1×(9+1) + 4
= 9(5×1111+7×111+9×11+1) + (5+7+9+1+4)
= 9(5×1111+7×111+9×11+1) + 26

上の式変形から、57914を9で割った広義の余りは26と分かります。
一方、57914の各桁の和も26です。
なので、ひとまず57914という数字に対しては★の命題が正しいことが分かりました。


任意の自然数に対しても同様のことが言えます。
上の57914での計算を一般的に書くと、

a_i a_(i-1) … a_2 a_1
= a_i×10^(i-1) + a_(i-1)×10^(i-2) + … + a_2×10^1 + a_1
= a_i×(9_{i-1}+1) + a_(i-1)×(9_{i-2}+1) + … + a_2×(9+1) + a_1
= a_i×(9×1_{i-1}+1) + a_(i-1)×(9×1_{i-2}+1) + … + a_2×(9×1+1) + a_1
= 9×(a_i×1_{i-1}+a_(i-1)×1_{i-2}+ … + a_2×1) + (a_i + a_(i-1) + … + a_2 + a_1)

上の式変形から、a_i a_(i-1) … a_2 a_1を9で割った広義の余りは、
a_i a_(i-1) … a_2 a_1と分かります。
一方、a_i a_(i-1) … a_2 a_1の各桁の和もa_i a_(i-1) … a_2 a_1です。
両者が一致するので、★の命題が正しいことが証明されました。

<<注意2>>
a_iのiは下付き添え字です。「a_i」で1つの文字を表しています。
全ての自然数iに対し、a_iは0から9の整数を表しています。
9がi個連続する数字や、1がi個連続する数字を、それぞれ9_{i}、1_{i}と表しています。
また、10^iで「10のi乗」を表しています。


つづく・・・

【-----152 2011年05月31日 03:36 めすらー＠りびどー-----】
つづき



さて、こうして出てきた広義の余り(＝各桁の和)が10以上の数になった時には、
福太郎さんルールにより、広義の余り(＝各桁の和)に対して、
各桁の和が1ケタになるまで計算を繰り返すという事でした。

各桁の和に対して、各桁の和が1〜9までの自然数になるまで計算を繰り返すことは、
★により、広義の余りが1〜9までの自然数になるまで、広義の余りを9で割り続けることと同義です。
ここで、広義の余りが1〜9までの自然数になるまで、広義の余りを9で割り続けて、
最終的に得た自然数を「最終余り」と定義します。
すると、示すべき命題が以下のように書き表わされることが分かります。


【任意の自然数を2乗した数を9で割ったときの最終余りは1、4、7、9の4つに限る】…★★


では、自然数nを2乗した数を9で割ったときの最終余りを求めてみましょう。

<<注意3>>
本来の余りと最終余りが異なるのは本来の余りが0のときのみ。
このときは、最終余りが9となる。

1^2 = 1 = 9×0余り1
2^2 = 4 = 9×0余り4
3^2 = 9 = 9×1余り0 (= 9×0最終余り9)
4^2 = 16 = 9×1余り7
5^2 = 25 = 9×2余り7
6^2 = 36 = 9×4余り0 (= 9×3最終余り9)
・
・
・

この後も計算していただくと、
最終余りには1、4、9、7、7、9、4、1、9という周期性がありそうだと分かります。
(つまり、いくら計算しても1、4、9、7以外の最終余りが出てこない)





(1)自然数nが3で割りきれる場合、n = 3a (aは自然数)と書けるので、

n^2
= (3a)^2
= 9×a^2
= 9×(a^2 - 1) + 9

よって、nの2乗を9で割ったときの最終余りは9。



(2)自然数nが9で割って1余る場合、n = 9a + 1 (aは0以上の整数)と書けるので、

n^2
= (9a + 1)^2
= 36×a^2 + 18×a + 1
= 9×(4×a^2 + 2×a) + 1

よって、nの2乗を9で割ったときの最終余りは1。



(3)自然数nが9で割って2余る場合、n = 9a + 2 (aは0以上の整数)と書けるので、

n^2
= (9a + 2)^2
= 36×a^2 + 36×a + 4
= 9×(4×a^2 + 4×a) + 4

よって、nの2乗を9で割ったときの最終余りは4。



(4)自然数nが9で割って4余る場合、n = 9a + 4 (aは0以上の整数)と書けるので、

n^2
= (9a + 4)^2
= 36×a^2 + 72×a + 16
= 9×(4×a^2 + 8×a + 1) + 7

よって、nの2乗を9で割ったときの最終余りは7。



(5)自然数nが9で割って5余る場合、n = 9a + 5 (aは0以上の整数)と書けるので、

n^2
= (9a + 5)^2
= 36×a^2 + 90×a + 25
= 9×(4×a^2 + 10×a + 2) + 7

よって、nの2乗を9で割ったときの最終余りは7。



(6)自然数nが9で割って7余る場合、n = 9a + 7 (aは0以上の整数)と書けるので、

n^2
= (9a + 7)^2
= 36×a^2 + 126×a + 49
= 9×(4×a^2 + 14×a + 5) + 4

よって、nの2乗を9で割ったときの最終余りは4。



(7)自然数nが9で割って8余る場合、n = 9a + 8 (aは0以上の整数)と書けるので、

n^2
= (9a + 8)^2
= 36×a^2 + 144×a + 64
= 9×(4×a^2 + 16×a + 7) + 1

よって、nの2乗を9で割ったときの最終余りは1。



全ての自然数は(1)〜(7)に分類されるので、
任意の自然数を2乗した数を9で割ったときの最終余りも
(1)〜(7)の計算結果のいずれかに分類される。
よって、★★の命題が正しいことが証明されました。



おわり

アキュートエンターより

トピック削除まことにすいません。
mixiさんの規定に反するため改めてご用意いたしました。
ユーザー様にご迷惑をおかけし反省しております。
過去の投稿に関しては精一杯のことをしましたが、これが限界でした。
画像の投稿のあった方には大変恐縮です。改めて投稿ください。
またみなさまでお楽しみいただければと思います。

なんじゃこれ？どうなっとんねん？

おやおや？また何か愉快な事が起こっていますね（笑）

mixiの規定に違反とは、なんだったんでしょうね？

何が違反だったのか？ちゃんと説明してもらえないとまた同じことの繰り返しになったりするんじゃないですか？

説明がないので、また同じことになるに私も１票　
皆さんが苦労して作った画像も一切復活させずですか。。。
これが限界とはチト情けないｗｗ

> がみさん
それに、コミュニティトップをよく見たら管理人しかトピックを立てられなくなってますね。

＞めすらー＠りびどーさん
それが関係あるのかもしれませんね。
トピックの管理はアキュートがしないといけないとか。

> がみさん

削除・復活させたのは、ここと今日の１問?のみ。そーいえば今日の１問?の方もアキュートエンターさん以外の方が建てたんでしたね。
残ってるトピ全部見てもアキュートエンターさんが建ててるので、きっとトピ建ては本人しかダメっていうオチですね。

笑えるコミュニティだ

トピックが少し残念なことになってしまいましたが、
気を取り直して、やっていきましょう♪(^O^)／
まずは、過去の未解決問題から。


【問題0-1】
？に入る数字を答えてください。
46,171,455,77,279,71,92,32,？


【問題0-2】
Ｘ と？に入る数字を答えてください。
┏━┳━┳━┳━┓
┃16┃24┃20┃30┃
┣━╋━╋━╋━┫
┃12┃38┃25┃４ ┃
┣━╋━╋━╋━┫
┃16┃42┃29┃12┃
┣━╋━╋━╋━┫
┃21┃53┃Ｘ ┃？┃
┗━┻━┻━┻━┛


【問題0-3】
次の?〜?に当てはまる記号は何でしょうか？
(携帯では多分ちゃんと表示されません)

┏━┳━┳━┓　　┏━┳━┳━┓　　┏━┳━┳━┓
┃○┃△┃×┃　　┃△┃□┃☆┃　　┃○┃☆┃☆┃
┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫
┃×┃☆┃×┃　　┃△┃△┃○┃　　┃□┃☆┃☆┃
┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫
┃□┃○┃☆┃　　┃×┃☆┃□┃　　┃☆┃△┃×┃
┗━┻━┻━┛　　┗━┻━┻━┛　　┗━┻━┻━┛

┏━┳━┳━┓　　┏━┳━┳━┓　　┏━┳━┳━┓
┃△┃○┃□┃　　┃☆┃☆┃□┃　　┃☆┃×┃○┃
┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫
┃○┃○┃○┃　　┃□┃□┃□┃　　┃☆┃☆┃☆┃
┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫
┃☆┃□┃△┃　　┃☆┃○┃☆┃　　┃×┃○┃□┃
┗━┻━┻━┛　　┗━┻━┻━┛　　┗━┻━┻━┛

┏━┳━┳━┓　　┏━┳━┳━┓　　┏━┳━┳━┓
┃☆┃△┃○┃　　┃□┃×┃☆┃　　┃?┃?┃?┃
┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫
┃□┃△┃☆┃　　┃○┃☆┃☆┃　　┃?┃?┃?┃
┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫
┃☆┃×┃□┃　　┃☆┃×┃△┃　　┃?┃?┃?┃
┗━┻━┻━┛　　┗━┻━┻━┛　　┗━┻━┻━┛


【問題0-4】
下の記号はある質問(数式)になっています。
質問の答え(数式の計算結果)を教えてください。

┏━┳━┳━┳━┳━┓
┃ 　┃ 　┃ 　┃ 　┃ 　┃
┣━╋━╋━╋━╋━┫
┃ 　┃ 　┃　 ┃ 　┃ 　┃
┣━╋━╋━╋━╋━┫
┃ 　┃ １┃ 　┃ 　┃ ２┃
┣━╋━╋━╋━╋━┫
┃ １┃ 　┃ 　┃ １┃ ２┃
┣━╋━╋━╋━╋━┫
┃ １┃　 ┃ ２┃ 　┃ 　┃
┣━╋━┻━┻━┻━┛
┃ 　┃
┗━┛


【問題0-5】
1☆＝3
4☆＝7
6☆＝11
7☆＝13
8☆＝13
9☆＝13

5★＝6
4★＝7
12★＝28

という法則があるとき、以下の計算式が成り立つ。
(？★)÷｛(3☆)☆｝＝1
？に入る数字はいくつでしょうか。

ここから新しい問題です！！
これからは「簡単な問題(X-1)」「標準問題(X-2)」「難しい問題(X-3)」
というふうに、レベル別で3問ずつ出していこうかなと思います。
本家に倣って、大体のレベルも1〜10で横に付しておきます。
(レベルは僕の主観です)


【問題1-1】レベル1
?に入る数字を入れてください。

1、2、-2、-11、5、-20、-56、?、-71・・・


【問題1-2】レベル3
6面体を2つくっつけると、最小でいくつの面を持つ立体になるでしょうか？


【問題1-3】レベル6
次の?〜?に当てはまる記号は何でしょうか？
空欄の場合は、「?＝なし」のように答えてください。
(携帯では多分ちゃんと表示されません)

┏━┳━┳━┓　　┏━┳━┳━┓　　┏━┳━┳━┓
┃☆┃ 　┃●┃　　┃☆┃☆┃ 　┃　　┃ 　┃●┃☆┃
┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫
┃ 　┃●┃○┃　　┃●┃　 ┃☆┃　　┃ 　┃☆┃○┃
┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫
┃　 ┃○┃☆┃　　┃○┃　 ┃ 　┃　　┃☆┃ 　┃ 　┃
┗━┻━┻━┛　　┗━┻━┻━┛　　┗━┻━┻━┛

┏━┳━┳━┓　　┏━┳━┳━┓　　┏━┳━┳━┓
┃●┃ 　┃☆┃　　┃●┃☆┃　 ┃　　┃○┃●┃☆┃
┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫
┃○┃●┃○┃　　┃☆┃ 　┃●┃　　┃ 　┃☆┃　 ┃
┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫
┃ 　┃○┃●┃　　┃○┃ 　┃○┃　　┃●┃　 ┃○┃
┗━┻━┻━┛　　┗━┻━┻━┛　　┗━┻━┻━┛

┏━┳━┳━┓　　┏━┳━┳━┓　　┏━┳━┳━┓
┃☆┃ 　┃●┃　　┃●┃☆┃○┃　　┃?┃?┃?┃
┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫
┃　 ┃●┃○┃　　┃●┃ 　┃☆┃　　┃?┃?┃?┃
┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫　　┣━╋━╋━┫
┃○┃○┃●┃　　┃○┃　 ┃ 　┃　　┃?┃?┃?┃
┗━┻━┻━┛　　┗━┻━┻━┛　　┗━┻━┻━┛

問題１−１は「−７」ですか？
問題１−２は四面体だと思う。
問題１−３は考え中。

＞がみさん
お見事！！　1−1、1−2ともに正解です♪
問題1−2は今日の1問トピで一部から「不評を買っている」本日の問題の3次元ver.です(笑)

引き続き、1−3をお楽しみください♪
(未解決問題にも是非チャレンジしてみてください)

【問題2-1】レベル2
真夜中にＡ・Ｂ・Ｃ・Ｄの４人が崩落寸前の橋を渡ります。
１度に橋を渡れるのは２人までであり、懐中電灯は１つしかありません。
もし、誰も懐中電灯を持たずに橋を渡ると、誤って下へ落ちてしまいます。
また、４人の歩くスピードはそれぞれ異なり、１人で橋を渡る場合、
Ａ・Ｂ・Ｃ・Ｄはぞれぞれ１分・２分・５分・１０分で橋を渡り切ることができます。
しかし、２人で橋を渡るときはどちらか遅い方のペースに合わせなければなりません。
(例えば、ＡとＣの２人が橋を渡るときは５分かかります。)

崩落まであと１７分と分かっているとき、
４人全員を安全に対岸へ移動させることは可能ですか？
可能な場合はその方法を考えてください。



【問題2-2】レベル3
次の?〜?に当てはまる記号は何でしょうか？

┏━┳━┓　┏━┳━┓　┏━┳━┓
┃○┃　 ┃　┃ 　┃☆┃　┃△┃ 　┃
┣━╋━┫　┣━╋━┫　┣━╋━┫
┃ 　┃△┃　┃☆┃　 ┃　┃ 　┃○┃
┗━┻━┛　┗━┻━┛　┗━┻━┛

┏━┳━┓　┏━┳━┓　┏━┳━┓
┃ 　┃ 　┃　┃☆┃ 　┃　┃ 　┃△┃
┣━╋━┫　┣━╋━┫　┣━╋━┫
┃○┃△┃　┃☆┃ 　┃　┃○┃　 ┃
┗━┻━┛　┗━┻━┛　┗━┻━┛

┏━┳━┓　┏━┳━┓　┏━┳━┓
┃ 　┃○┃　┃ 　┃ 　┃　┃?┃?┃
┣━╋━┫　┣━╋━┫　┣━╋━┫
┃ 　┃△┃　┃☆┃☆┃　┃?┃?┃
┗━┻━┛　┗━┻━┛　┗━┻━┛


【問題2-3】レベル5
すごく暇な3人がじゃんけんを100回しました。
99回目までの結果は、あいこが44回、1人勝ちが33回、2人勝ちが22回でした。
また、100回終わった時点で、ぐー・ちょき・ぱーがそれぞれ100回ずつ出ていました。
100回目の結果はあいこ・1人勝ち・2人勝ちのうちのどれでしょうか？

＞めすらー＠りびどーさん
【問題2-1】
可能です・・・。

(a)　????（スタート）
(b)　??　　　→??　　（２分経過）
(c)　???　←?　　　　（３分経過）
(d)　?　　　　→???　（１３分経過）
(e)　??　　　←??　　（１５分経過）
(f)　　　　　　　→????（１７分経過（終了））

↑表記の仕方がわかりにくいかも…ですが


【問題2-2】
現在考え中です・・・


【問題2-3】
すごく暇な私が、足りない頭で考えてみました。
１００回目は「1人勝ち」ですかね・・・

理由は、上手く文章で書けないのですが・・・

＞KANSAI-JINさん

回答ありがとうございます♪
【問題2-1】は大正解です！！おめでとうございます。
ちなみに、(c)と(e)の?と?の役割を交換しても１７分となり、これが別解となります。

【問題2-3】も正解です。実はこんな条件だけで１人勝ちと分かってしまうんです。
どうして１人勝ちになるかの説明はもう少し考えてみてください♪

【問題3-1】レベル3
？に入る数字を入れてください。

1、8、9、10、8、9、10、8、18、1、8、18、19、17、？、・・・



【問題3-2】レベル4
合計で40gの4個のおもりを使って、
1g、2g、3g、…、39g、40gの塩を両皿天秤で正確に測り取りたい。
このとき、4個のおもりの重さはそれぞれ何gにすれば良いでしょうか？
(ただし天秤が釣り合ったときのみ、正確に測り取れたとします。)



【問題3-3】レベル7
1辺の長さが全て異なる正方形を24個、図のように上手く敷き詰めると、大きな正方形ができます。
ただし、24個の正方形の1辺の長さはすべて自然数で、
24個の正方形の辺の長さの最大公約数は1とします。
このとき、24個の正方形の1辺の長さはそれぞれ何cmでしょうか？
また、上図の？の正方形の1辺の長さは何cmでしょうか？

たまには簡単な問題も♪

【問題4-1】レベル1
？に入る数字を入れてください。

１、2、5、14、41、？、・・・



【問題4-2】レベル2
正三角形の紙が2枚あります。
これらを自由に重ねたり、回転させて貼り合わせると、
最大でいくつの辺を持った図形ができますか？



【問題4-3】レベル3
同じ大きさの8つのサイコロがくっついて、大きな1つの立方体ができています。
このときサイコロ同士がくっついている計24面の数字の和は最大でいくつになるでしょうか？

はじめまして
自分で作った訳では無いのですが・・・
解けなくてモヤモヤしてます。
どなたか助けてください（涙）

問題
こ＋１＝「よ」
く＋１＝「た」
の＋１＝「め」
ふ＋１＝「を」と「□」

□に入るのはどれでしょうか？
１：ら ２：な ３：お



という問題です。

宜しくお願いします。

>>41 すべてカタカナで考える。一画たすと…?

> めすらー＠OPPさん
亀レスな上にぱっとみてわかったのだけ

3-2
1、3、9、27
1=1
2=3-1
3=3
4=3+1
5=9-(3+1)
6=9-3
7=(9+1)-3
8=9-1
9=9
10=9+1
11=(9+3)-1
12=9+3
13=9+3+1
あとは27-(13〜1)で14〜26、27+(1〜13)で28〜40が表せる


4-1
Nn = 3N(n-1) - 1
∴ 3×41-1 = 122

4-2
12？
これが最大であることが証明できないので自信なし

4-3
それぞれ456面がくっついていれば良いので
(4+5+6)×8 = 120

＞カズ@徳川奈々代目さん

お、久しぶりに見てみると、回答して下さった方が…
ありがたやありがたや(^_^;)

答えてくださった問題に関しては、全問正解です♪

【問題4-2】に関しては証明を想定していなかったのですが、ちょっと考えてみると…
?平面図形なので、1頂点につき辺は必ず2本出ている。
?元の2つの図形はそれぞれ3頂点持っているので、
　重ね合わせた図形は高々6個(＝3頂点×2個)の頂点しか持たない。
ということから、重ね合わせた図形が持つ辺の数は高々12個です。
ひとまず、これで上限値(＝最大値になり得る可能性のある数)の存在を示せます。

あとは、実際にダビデの星のような図形を作ってもらって、
この図形が12個の辺を持っていることを確認してもらえば、
辺の数が、上でみた上限値(12個)である図形が存在することを示せたことになるので、
実際に最大値が12個だった、という事が分かります。

＞血の管さん

ありがとうございます♪
すっきりしました♪

> myrnさん
10÷30×10＋2＝4
ですか？

> はじめさん
「ぬ」もアリ？