関数集合論 ：
プログラミング言語の構造が、コウ博士の考えた「自由クラス理論」のよい例になっていることに気がつきました いろいろなことについて気がつくのが、コウ博士の場合、おそすぎ
プログラミング言語の構造を抽象化することによって、「自由クラス理論」の公理が得られるという解説です ※ この名称についてですが、群論における自由群が、任意の群を表現可能ということを表しているのと同じ理由で名付けました 任意の集合論を表現可能です クラスは、集合を一般化した概念 最も一般化した、矛盾のない集合論です
［友愛数を計算するプログラムの例］
プログラミング言語の文の例として、友愛数を計算するものを次に書きます
prog(k) = { my(m = 90, u = 2, v = 1); until(k<m, my(n = (sigma(m) - u*m)/v) ; if(0<n, if(1/u*(sigma(n) - v*n) == m, print(factor(m), ",", factor(n)))); m++)};
プログラムのこと知らなくてもぜんぜん大丈夫 文を書く規則＝文法を理解するのは容易です ＢＡＳＩＣ、ＦOＲＴＲＡＮ、など、手続き型言語の場合は、コンピューターに計算させたいことを、ほぼ自然言語と同じ言葉で、命令＝手続きを並べていくのに対して、ＰAＲＩ、Ｃ言語、など、関数型言語の場合は、プログラムを関数ととらえているので、‥‥確かに、このプログラムの場合も、「ｎ桁まで計算せよ」の「ｎ」を入力して、得られた友愛数＝数値をプリントするのだから、関数‥‥、コンピューターに計算させたい関数の性質を、定義文に詳しく記述していく訳です その構造は容易です 一般に、こういう風
ｆ（ｎ）＝｛ｇ（ｍ）；ｈ（ｋ）；・・・・｝
ｆ（ｎ）は、このプログラム＝関数、の名前 「＝」の右辺が、関数の定義文です 定義文などとスーガクっぽい言い方をしていますが、よーするに、計算させたい関数の「作り方」が書いてある訳です その書き方は、既に 存在する関数を、「；」で区切ってならべる、ということ
「＝」は、普通の数式の等号ではありません 定義の中に現れる等号は、「＝＝」と書かれます
この記述においては、ｆ（ｎ）という関数は｛ｇ（ｍ）；・・・・｝という文で作られる 、ということを表現しています
右辺の、｛ ｝の 中に関数を「；」で区切って書く、という方法は、集合の書き方、｛ ｝のなかに要素を「，」で区切って書く、 というのにとても似ています なので、この記述が集合論についてのものと仮定して読んでみます
ｆという集合は、｛ｇ；ｈ；・・・・｝という文によって作られる 具体例で書くと
野菜 ＝ ｛なす；トマト；ほうれんそう；キャベツ；・・・・｝
右辺の文は、野菜という集合の作り方が書いてある なんとなくうまくいっている ただし、微妙に異なる点があります
プログラミング言語においては、異なる文が同じ関数を作る場合があります 同じ計算をさせるにしても、文の中に並べる関数の組み合わせはいろいろありうるわけですから、当然のことです これに対して、集合を作る文の要素はただ一通りです‥‥集合が「同じ」とは、要素が同じということ‥‥ 集合論の場合は、 ｆ＝｛ｇ；ｈ；・・・・｝ は集合ｆは文｛ｇ；ｈ；・・・・｝によって作られるとも読めますが、「＝」は実際に等号であって、ｆは｛ｇ；ｈ；・・・｝に等しいとも読もことが可能です また、集合論では、文の中に文を書くことも可能です 例えば、ｋ＝｛ｌ；ｍ；ｆ；・・・・｝なら、ｋ＝｛ｌ；ｍ；｛ｇ；ｈ；・・・・｝；・・・・｝と書いてもかまいません
例 ： 自然数を、０＝｛ ｝、ｎ＋１＝ｎ∪｛ｎ｝と定義すると、１＝０∪｛０｝＝｛ ｝∪｛｛ ｝｝＝｛｛ ｝｝、２＝１∪｛１｝＝｛｛ ｝｝∪｛｛｛ ｝｝｝＝｛｛ ｝，｛｛ ｝｝｝、などなど、括弧のなかに括弧＝文の中に文は、普通の記述
しかし、プログラミング言語いおいては、文の中に書いてよいのは、必ず関数名ｆでなければなりません もし、定義の文｛ｇ；ｈ；・・・・｝をそのまま書くと文法違反になります
このような違いについては、もう一度後で考察することにして、とりま、プログラミング言語の構造を公理化してみます
「関数言語の公理」 ：
この理論の公理は次の二つです。
A. ma ∀A∀B∀x∀y A ma x ∧ B ma y ∧ A=B ⇒ x=y
A. el ∀A∀B (∀a a ∈ A ⇔ a ∈ B) ⇒ A=B
A, B, C, ...は「文 」のための変数です。ギリシャ文字を使うこともあります。
a, b, c, .... は「関数 」のための変数です。
Ａ．ｍａ は、文は、ただ一つの関数を作る、という公理です
Ａ．ｅｌ は、文は、その要素によって決定される、という公理です
この公理は、もっと一般の言語の公理と言ってもよいものです なので、「関数」という言葉ではなく、「概念」ということばを用いることにします 「概念」以上に普遍性のある言葉はないのですから、‥‥人間の考えるすべてのことは「概念」‥‥、もっとも一般化された言語理論の公理に使う言葉として、ふさわしい すなわち、
Ａ．ｍａ は、文は、ただ一つの概念を作る、という公理になります
人間の造ったすべての理論は、言語で記述されているのですから、この公理 は全ての理論に応用可能なはずです もう一度、この公理を集合論の公理として読んでみます
文の一例として「集まり」をとり、概念の一例として「クラス」をとる、という風に応用します
ｆ＝｛ｇ，ｈ，・・・・｝ という定義式は、次のことを表現しています
右辺の文には、ｆというクラスの「作り方」が書いてあって、それは、ｇ，ｈ，などというクラスを集めた「集まり」がｆというクラスを作っている、ということ
さて、Ａ.ma は、「集まり」は 唯一つのクラスを作る、という公理ですが、異なる集まりが同じクラスを作ることはありうるのでしょうか 例で言うと、次のような場合
例 ： Ｘというひとにとっては、野菜というクラスを作る集まりは、｛なす、きゃべつ、ほうれんそう、いちご、とまと、・・・・｝と、いちごを含むが、Ｙというひとは、野菜を作る集まりに、｛なす、きゃべつ、ほうれんそう、やまいも、とまと、・・・・・｝と、いちごを含ませない、ということがありそうです
一方、Ａ．ｅｌ は、「集まり」は要素によって決定する、という公理ですが、集まりの要素にないうるのはクラスだけで、ふつうの集合論のように、集まり｛ｇ，ｈ，・・・・｝などがそのまま集まりの要素になることはありません
「関数言語」の公理を、あらためて集合論の公理として記述すると、次のようになります
ＦＣの公理は次の三つです。
A. ma ∀A∀B∀x∀y A ma x ∧ B ma y ∧ A=B ⇒ x=y
A. el ∀A∀B (∀a a ∈ A ⇔ a ∈ B) ⇒ A=B
A.F ∃x∃B (∀a a ∈ B ⇔ F(a)) ∧ B ma x
ＦＣはFree Classの頭文字です。
自由群が全ての群を表現できるように、「自由クラス」上に全ての集合論が表現可能なことをあらわす名前です。
A, B, C, ...は「集まり」のための変数です。ギリシャ文字を使うこともあります。
a, b, c, .... は「クラス」のための変数です。
三つめの公理、Ａ．Ｆ は、Ｆという性質のクラスを集めると、ある集まりＢになり、Ｂはあるクラスｘを作る、という公理です 例 ： Ｆ（ａ）＝ａは野菜
ここで、普通の集合論の ｘ∈ｙ という式が、関数集合論＝ＦＣの、どのような式に対応しているかを考えます いちご∈野菜 の場合は、いちごを含むある集まり｛なす，きゃべつ，ほうれんそう，いちご，・・・・｝が野菜というクラスを作っているのでした 式で書くと、 ∃Ｂ いちご∈Ｂ ∧ Ｂ ｍａ 野菜 、となります
一般には、 ｘ∈ｙ → ∃Ｂ ｘ∈Ｂ ∧ Ｂ ｍａ ｙ −ＴＲ− 、と翻訳されます
ＦＣを使って、集合論の矛盾を解決します
ラッセルのクラス ：
ラッセルの矛盾をＮＳで表現するとこのようになります。
＊ＮＳはnaive set theoryの頭文字。
∀a a ∈ Ｒ ⇔ ¬ a ∈ a
この論理式を自然言語で表現すると「クラスＲの要素であることは、自分を要素としないことである」となります。
クラスＲは自分を要素としないクラスを全部集めたクラスである、と言うことも出来ます。
ここで、変数aにＲを代入してみます。
a＝Ｒ とすると、
Ｒ ∈ Ｒ ⇔ ¬ Ｒ ∈ Ｒ
これはある命題とその否定が等価ということですから矛盾です。
ラッセルは論理式三つで数学の基礎を崩壊させたわけです。
クラスｒ_0 ：
クラスＲについてＦＣで考察してみることにします。
∀a a ∈ Ｒ_0 ⇔ ¬（∃B a∈ B∧ B ma a ） −０−
右辺の括弧の中の式は、ＴＲよりＺＦではa∈ aを表しますから、右辺はその否定で¬ a ∈ a です。
確かに集まりＲ_0は、自分を要素としないクラスを全部集めた集まりで、ＺＦの論理式に対応しています。
＊Ｒ_0と添え字が付いている文字は、ある集まりを表す定数です。
この集まりＲ_0がクラスｒ_0を作ります。
＊ｒ_0と添え字が付いている文字は、あるクラスを表す定数です。
式で書くと、
Ｒ_0 ma ｒ_0 −１−
ここでＮＳと同じように、変数aにｒ_0を代入してみます。
a＝ｒ_0とすると、０式は
ｒ_0 ∈ Ｒ_0 ⇔ ¬（∃B ｒ_0∈ B∧ B ma ｒ_0 ） −２−
もし、
ｒ_0 ∈ Ｒ_0 が真 −３−と仮定すると、１式と合わせて、
ｒ_0 ∈ Ｒ_0 ∧ Ｒ_0 ma ｒ_0 が真
ゆえに、
∃Ｂ ｒ_0 ∈ Ｂ ∧ Ｂ ma ｒ_0 が真 −４−
一方、２式の「⇔」の両辺の真偽値は同じでなければなりません。
仮定から、
ｒ_0 ∈ Ｒ_0 が真
なら、
¬（∃Ｂ ｒ_0∈ Ｂ ∧ Ｂ ma ｒ_0 ） も真 −５−
となり、４式と５式を比べると、論理式とその否定が真ですから矛盾です。
３式を仮定して矛盾になったのですから、３式の否定が得られます。
ゆえに、
¬ｒ_0 ∈ Ｒ_0 −６−
さらに、２式の「⇔」の両辺の真偽値は、同じでなければなりませんから、
右辺の¬（∃B ｒ_0∈ B∧ B ma ｒ_0 ）も否定されて、
∃B ｒ_0∈ B∧ B ma ｒ_0 −７−
結果として６式と７式が得られることになります。このようにＮＳでは矛盾を導くクラスＲも、ＦＣで考察すると矛盾はなく、二式が得られるだけです。
＞まとめ
得られた結果を自然言語で表現します。
「自分を要素としないクラス全部を集めたクラスＲは、自分を要素とするのか？」という問いに対する答えは、こうなります。
ＮＳでは、「矛盾を起こし、答えられない」。
ＦＣでは、「自分を要素とする」。 ＞７式
ちなみに、ＺＦでは「自分を要素としない」です。＞Ｒが集合でなくなる
プログラミング言語の構造が、コウ博士の考えた「自由クラス理論」のよい例になっていることに気がつきました いろいろなことについて気がつくのが、コウ博士の場合、おそすぎ
プログラミング言語の構造を抽象化することによって、「自由クラス理論」の公理が得られるという解説です ※ この名称についてですが、群論における自由群が、任意の群を表現可能ということを表しているのと同じ理由で名付けました 任意の集合論を表現可能です クラスは、集合を一般化した概念 最も一般化した、矛盾のない集合論です
［友愛数を計算するプログラムの例］
プログラミング言語の文の例として、友愛数を計算するものを次に書きます
prog(k) = { my(m = 90, u = 2, v = 1); until(k<m, my(n = (sigma(m) - u*m)/v) ; if(0<n, if(1/u*(sigma(n) - v*n) == m, print(factor(m), ",", factor(n)))); m++)};
プログラムのこと知らなくてもぜんぜん大丈夫 文を書く規則＝文法を理解するのは容易です ＢＡＳＩＣ、ＦOＲＴＲＡＮ、など、手続き型言語の場合は、コンピューターに計算させたいことを、ほぼ自然言語と同じ言葉で、命令＝手続きを並べていくのに対して、ＰAＲＩ、Ｃ言語、など、関数型言語の場合は、プログラムを関数ととらえているので、‥‥確かに、このプログラムの場合も、「ｎ桁まで計算せよ」の「ｎ」を入力して、得られた友愛数＝数値をプリントするのだから、関数‥‥、コンピューターに計算させたい関数の性質を、定義文に詳しく記述していく訳です その構造は容易です 一般に、こういう風
ｆ（ｎ）＝｛ｇ（ｍ）；ｈ（ｋ）；・・・・｝
ｆ（ｎ）は、このプログラム＝関数、の名前 「＝」の右辺が、関数の定義文です 定義文などとスーガクっぽい言い方をしていますが、よーするに、計算させたい関数の「作り方」が書いてある訳です その書き方は、既に 存在する関数を、「；」で区切ってならべる、ということ
「＝」は、普通の数式の等号ではありません 定義の中に現れる等号は、「＝＝」と書かれます
この記述においては、ｆ（ｎ）という関数は｛ｇ（ｍ）；・・・・｝という文で作られる 、ということを表現しています
右辺の、｛ ｝の 中に関数を「；」で区切って書く、という方法は、集合の書き方、｛ ｝のなかに要素を「，」で区切って書く、 というのにとても似ています なので、この記述が集合論についてのものと仮定して読んでみます
ｆという集合は、｛ｇ；ｈ；・・・・｝という文によって作られる 具体例で書くと
野菜 ＝ ｛なす；トマト；ほうれんそう；キャベツ；・・・・｝
右辺の文は、野菜という集合の作り方が書いてある なんとなくうまくいっている ただし、微妙に異なる点があります
プログラミング言語においては、異なる文が同じ関数を作る場合があります 同じ計算をさせるにしても、文の中に並べる関数の組み合わせはいろいろありうるわけですから、当然のことです これに対して、集合を作る文の要素はただ一通りです‥‥集合が「同じ」とは、要素が同じということ‥‥ 集合論の場合は、 ｆ＝｛ｇ；ｈ；・・・・｝ は集合ｆは文｛ｇ；ｈ；・・・・｝によって作られるとも読めますが、「＝」は実際に等号であって、ｆは｛ｇ；ｈ；・・・｝に等しいとも読もことが可能です また、集合論では、文の中に文を書くことも可能です 例えば、ｋ＝｛ｌ；ｍ；ｆ；・・・・｝なら、ｋ＝｛ｌ；ｍ；｛ｇ；ｈ；・・・・｝；・・・・｝と書いてもかまいません
例 ： 自然数を、０＝｛ ｝、ｎ＋１＝ｎ∪｛ｎ｝と定義すると、１＝０∪｛０｝＝｛ ｝∪｛｛ ｝｝＝｛｛ ｝｝、２＝１∪｛１｝＝｛｛ ｝｝∪｛｛｛ ｝｝｝＝｛｛ ｝，｛｛ ｝｝｝、などなど、括弧のなかに括弧＝文の中に文は、普通の記述
しかし、プログラミング言語いおいては、文の中に書いてよいのは、必ず関数名ｆでなければなりません もし、定義の文｛ｇ；ｈ；・・・・｝をそのまま書くと文法違反になります
このような違いについては、もう一度後で考察することにして、とりま、プログラミング言語の構造を公理化してみます
「関数言語の公理」 ：
この理論の公理は次の二つです。
A. ma ∀A∀B∀x∀y A ma x ∧ B ma y ∧ A=B ⇒ x=y
A. el ∀A∀B (∀a a ∈ A ⇔ a ∈ B) ⇒ A=B
A, B, C, ...は「文 」のための変数です。ギリシャ文字を使うこともあります。
a, b, c, .... は「関数 」のための変数です。
Ａ．ｍａ は、文は、ただ一つの関数を作る、という公理です
Ａ．ｅｌ は、文は、その要素によって決定される、という公理です
この公理は、もっと一般の言語の公理と言ってもよいものです なので、「関数」という言葉ではなく、「概念」ということばを用いることにします 「概念」以上に普遍性のある言葉はないのですから、‥‥人間の考えるすべてのことは「概念」‥‥、もっとも一般化された言語理論の公理に使う言葉として、ふさわしい すなわち、
Ａ．ｍａ は、文は、ただ一つの概念を作る、という公理になります
人間の造ったすべての理論は、言語で記述されているのですから、この公理 は全ての理論に応用可能なはずです もう一度、この公理を集合論の公理として読んでみます
文の一例として「集まり」をとり、概念の一例として「クラス」をとる、という風に応用します
ｆ＝｛ｇ，ｈ，・・・・｝ という定義式は、次のことを表現しています
右辺の文には、ｆというクラスの「作り方」が書いてあって、それは、ｇ，ｈ，などというクラスを集めた「集まり」がｆというクラスを作っている、ということ
さて、Ａ.ma は、「集まり」は 唯一つのクラスを作る、という公理ですが、異なる集まりが同じクラスを作ることはありうるのでしょうか 例で言うと、次のような場合
例 ： Ｘというひとにとっては、野菜というクラスを作る集まりは、｛なす、きゃべつ、ほうれんそう、いちご、とまと、・・・・｝と、いちごを含むが、Ｙというひとは、野菜を作る集まりに、｛なす、きゃべつ、ほうれんそう、やまいも、とまと、・・・・・｝と、いちごを含ませない、ということがありそうです
一方、Ａ．ｅｌ は、「集まり」は要素によって決定する、という公理ですが、集まりの要素にないうるのはクラスだけで、ふつうの集合論のように、集まり｛ｇ，ｈ，・・・・｝などがそのまま集まりの要素になることはありません
「関数言語」の公理を、あらためて集合論の公理として記述すると、次のようになります
ＦＣの公理は次の三つです。
A. ma ∀A∀B∀x∀y A ma x ∧ B ma y ∧ A=B ⇒ x=y
A. el ∀A∀B (∀a a ∈ A ⇔ a ∈ B) ⇒ A=B
A.F ∃x∃B (∀a a ∈ B ⇔ F(a)) ∧ B ma x
ＦＣはFree Classの頭文字です。
自由群が全ての群を表現できるように、「自由クラス」上に全ての集合論が表現可能なことをあらわす名前です。
A, B, C, ...は「集まり」のための変数です。ギリシャ文字を使うこともあります。
a, b, c, .... は「クラス」のための変数です。
三つめの公理、Ａ．Ｆ は、Ｆという性質のクラスを集めると、ある集まりＢになり、Ｂはあるクラスｘを作る、という公理です 例 ： Ｆ（ａ）＝ａは野菜
ここで、普通の集合論の ｘ∈ｙ という式が、関数集合論＝ＦＣの、どのような式に対応しているかを考えます いちご∈野菜 の場合は、いちごを含むある集まり｛なす，きゃべつ，ほうれんそう，いちご，・・・・｝が野菜というクラスを作っているのでした 式で書くと、 ∃Ｂ いちご∈Ｂ ∧ Ｂ ｍａ 野菜 、となります
一般には、 ｘ∈ｙ → ∃Ｂ ｘ∈Ｂ ∧ Ｂ ｍａ ｙ −ＴＲ− 、と翻訳されます
ＦＣを使って、集合論の矛盾を解決します
ラッセルのクラス ：
ラッセルの矛盾をＮＳで表現するとこのようになります。
＊ＮＳはnaive set theoryの頭文字。
∀a a ∈ Ｒ ⇔ ¬ a ∈ a
この論理式を自然言語で表現すると「クラスＲの要素であることは、自分を要素としないことである」となります。
クラスＲは自分を要素としないクラスを全部集めたクラスである、と言うことも出来ます。
ここで、変数aにＲを代入してみます。
a＝Ｒ とすると、
Ｒ ∈ Ｒ ⇔ ¬ Ｒ ∈ Ｒ
これはある命題とその否定が等価ということですから矛盾です。
ラッセルは論理式三つで数学の基礎を崩壊させたわけです。
クラスｒ_0 ：
クラスＲについてＦＣで考察してみることにします。
∀a a ∈ Ｒ_0 ⇔ ¬（∃B a∈ B∧ B ma a ） −０−
右辺の括弧の中の式は、ＴＲよりＺＦではa∈ aを表しますから、右辺はその否定で¬ a ∈ a です。
確かに集まりＲ_0は、自分を要素としないクラスを全部集めた集まりで、ＺＦの論理式に対応しています。
＊Ｒ_0と添え字が付いている文字は、ある集まりを表す定数です。
この集まりＲ_0がクラスｒ_0を作ります。
＊ｒ_0と添え字が付いている文字は、あるクラスを表す定数です。
式で書くと、
Ｒ_0 ma ｒ_0 −１−
ここでＮＳと同じように、変数aにｒ_0を代入してみます。
a＝ｒ_0とすると、０式は
ｒ_0 ∈ Ｒ_0 ⇔ ¬（∃B ｒ_0∈ B∧ B ma ｒ_0 ） −２−
もし、
ｒ_0 ∈ Ｒ_0 が真 −３−と仮定すると、１式と合わせて、
ｒ_0 ∈ Ｒ_0 ∧ Ｒ_0 ma ｒ_0 が真
ゆえに、
∃Ｂ ｒ_0 ∈ Ｂ ∧ Ｂ ma ｒ_0 が真 −４−
一方、２式の「⇔」の両辺の真偽値は同じでなければなりません。
仮定から、
ｒ_0 ∈ Ｒ_0 が真
なら、
¬（∃Ｂ ｒ_0∈ Ｂ ∧ Ｂ ma ｒ_0 ） も真 −５−
となり、４式と５式を比べると、論理式とその否定が真ですから矛盾です。
３式を仮定して矛盾になったのですから、３式の否定が得られます。
ゆえに、
¬ｒ_0 ∈ Ｒ_0 −６−
さらに、２式の「⇔」の両辺の真偽値は、同じでなければなりませんから、
右辺の¬（∃B ｒ_0∈ B∧ B ma ｒ_0 ）も否定されて、
∃B ｒ_0∈ B∧ B ma ｒ_0 −７−
結果として６式と７式が得られることになります。このようにＮＳでは矛盾を導くクラスＲも、ＦＣで考察すると矛盾はなく、二式が得られるだけです。
＞まとめ
得られた結果を自然言語で表現します。
「自分を要素としないクラス全部を集めたクラスＲは、自分を要素とするのか？」という問いに対する答えは、こうなります。
ＮＳでは、「矛盾を起こし、答えられない」。
ＦＣでは、「自分を要素とする」。 ＞７式
ちなみに、ＺＦでは「自分を要素としない」です。＞Ｒが集合でなくなる
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