「友愛数」とその他数論いろいろコミュの０のつぎは１

　「４の歌」　ＢＡＢＹＭＥＴＡＬ　：

　https://www.youtube.com/watch?v=NZZcfpzoD4g

　http://www.uta-net.com/song/160055/

　ゆい・もあの作詞なのだけど、知能の高さが窺い知れる
　この詩を書いたのはまだ二人が１２歳ぐらい

　「４」が「死ぬ」に通じて不吉と思われてきたことを、日本語の場合否定形が語尾の変化で頭文字は不変という性質を利用して、「４」は「死ぬじゃないし」と縁起の悪さから解放した
　こういう論理性は、ちのーしすー５００くらいの証しだ

　もう一つのテーマは、子供のための数え歌だという意見があるけど、そうじゃないと思う
　もしそうなら、ドレミの歌とかＡＢＣの歌のように、７音あるいは２６文字というぐあいに対象のセット全てが書かれなければならない
　しかし、１から７までしかない

　むしろ、「２の次は３」なのだから、数の帰納法による定義がテーマなのじゃないかな

　帰納法とは「昨日のことから明日のことを知ること」というのは駄洒落ですが、さほど間違いというわけじゃありません

　例えば、今ここに、数が０から７まで既に存在したとします。

　０，１，２，・・・・，７

　そして、７の次の数８を定義したいとすると、どうしたらよいでしょうか？

　コウ博士と同じくらい頭のいい数学者、フォン・ノイマンの考えたのはこういう方法です。
　今、８個の数が存在するなら、それらをすべて集めれば、要素が８個の集合ができます。
　それを８という数の定義にすればいいのじゃないか

　８＝｛０，１，２，３，４，５，６，７｝　－１－

　うーむ、分かり易い、８が存在するなら０から８まで９個の数が存在することになり、９も同じ方法で定義可能です。
　その先もずーっと無限の果てまで自然数全部が定義できます。
　ようするに過去に定義された数で未来に存在させたい数を定義するのが帰納法なわけです。

　もう少し集合論っぽく書きます。
　１式はこう書けます

　８＝｛０，１，２，３，４，５，６｝∪｛７｝

　　＝７∪｛７｝　　　　　　　－２－

　なぜなら
　７＝｛０，１，２，３，４，５，６｝

　数ｎの次の数をｎ’と書きます
　ゆえに、２式はこうなります

　８＝７’＝７∪｛７｝　　　　－３－

　３式を一般の数ｎの式にすると

　ｎ’＝ｎ∪｛ｎ｝

　日本語で言うと、ある数の次の数とは、その数とその数一個をを要素とする集合との和集合、となります。
　もし「０」が定義可能ならば、次の数１も定義可能、その次の数２の定義可能、・・・・と全ての自然数が定魏可能となります。
　そして０の定義は次のように容易い

　０＝｛　｝

　０とは要素を持たない集合すなわち空集合のこと

　定義どおりに｛　｝を使って４を表現してみます

　０＝　｛　｝
　１＝０’＝０∪｛０｝＝｛０｝＝｛｛　｝｝
　２＝１’＝１∪｛１｝＝｛｛　｝｝∪｛｛｛　｝｝｝＝｛｛　｝，｛｛　｝｝｝
　３＝２’＝２∪｛２｝＝｛｛　｝，｛｛　｝｝，｛｛　｝，｛｛　｝｝｝｝
　４＝３’＝３∪｛３｝＝｛｛　｝，｛｛　｝｝，｛｛　｝，｛｛　｝｝｝，｛｛　｝，｛｛　｝｝，｛｛　｝，｛｛　｝｝｝｝

　というぐあいに４は｛　｝だけで表現できます。
　もちろん、他の数も全部可能です。

　論理式で順序数を定義するとこうなります。

　集合Ｓが順序数とは、Ｓの要素ｘ、ｙ、ｚが次の命題を満たすこと

　Ｐ．１　∀ｘ∀ｙ∀ｚ　ｘ∈ｙ　∧　ｙ∈ｚ　⇒　ｘ∈ｚ
　Ｐ．２　∀ｘ∀ｙ　　　ｘ∈ｙ　∨　ｙ∈ｘ
　Ｐ．３　∀ｘ　　　　　ｘ⊂Ｓ　⇒　∃ｙ　ｙ∈ｘ　∧　ｙ∩ｘ＝φ

　無限順序数のうち、一番小さいのが自然数全ての集合ω＿０です。
　　　　