「友愛数」とその他数論いろいろコミュのコウ博士のスーガクの成果

　以前、というか、ものすごーく昔に「コウ博士の数学の成果」というトピを書いたのですが、今読み返すとリンクなどは消えてしまっています　　その後の成果も付け加えて、もう一度解説します　　この後も、書き足す予定

　「４重友愛数」

　友愛数に対するＢｒａｔｌｅｙ・Ｍｃｋａｙの予想の反例を計算するアルゴリズムが巧く働くかどうかを確かめるための例として計算したものです
　その結果を、カナダＣａｌｇａｌｙ大のＧｕｙ博士にＢＭ予想の反例に添えて郵送したのですが、‥‥当時３０年前は、まだ紙のメール‥‥、４重友愛数自体が未解決問題だったので、初めての解として、Ｇｕｙ博士の書かれた「Ｕｎｓｏｌｖｅｄ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　Ｉｎ　Ｎｕｍｂｅｒ　Ｔｈｅｏｒｙ　２」、１９９４、に掲載されました

　http://mathworld.wolfram.com/AmicableQuadruple.html


　「Ｃｏｐｒｉｍｅ　３０　の友愛数」

　「奇数の完全数」＝素因数として２を持たない、「ＢＭ予想の反例」＝素因数として２，３を持たない、「Ｃｏｐｒｉｍｅ　３０　の友愛数」＝素因数として２，３，５を持たない、これらは皆同じ種類の問題‥‥小さな素因数を持たない解を計算する、という‥‥なのです
　この、小さい素因数を持たない解の計算アルゴリズムは、一般に結構難しくて、Ｃｏｐｒｉｍ　３０　の友愛数も、コウ博士以外に計算した人はいません
　ここの、Ｃｏｐｒｉｍｅ　３０　のリンクをクリック　　Ｋｏｈｍｏｔｏ以外の名前の解は、コウ博士の解をもとにＴｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎという方法で計算したもの

　http://62.198.248.44/aliquot/apstat.htm


　「ユニタリ友愛数」

　ここに、２００４年にコウ博士が計算した、ユニタリ友愛数桁数世界記録３１７桁の記事があります　　その後、友人のＢａｌｌが４００桁ほどの友愛数を、コウ博士の結果を元に計算しています

　http://mathworld.wolfram.com/UnitaryAmicablePair.html

　このくらいの桁の解をコンピュータでＢｒｕｔ　Ｆｏｒｃｅ・Ｅｘｈａｕｓｔｉｂｌｅ・全数探索したら、どのくらい時間が掛かるか計算してみます
　一秒一京回計算するコンピュータ「京」を使うとして、さらに、友愛数かを一回の計算で確認可能として、一年＝３＊１０＾７秒、ゆえに、一年あたり１０＾２４個確認可能
　ゆえに、１０＾３１７／１０＾２４＝１０＾２９３年掛かる　　宇宙の年齢は、１０＾１０年くらいかな　　もう、なんか、全く時間がたりない、というか、無理
　ということは、もっと効率のよい、友愛数かどうかを確認する解の候補の総数が少なくなるような探索アルゴリズムが必要
　コウ博士の友愛数探索アルゴリズムは、３００桁ぐらいなら１０＾７程度の探索範囲で計算成功確率が１になります　　エントロピーで言うと、（Ｌｏｇ（１０＾３１７）−Ｌｏｇ（１０＾７））／Ｌｏｇ（１０＾３１７）＝０．９８　　ゆえに、この探索法の知識量は、ネガエントロピーが０．９８
　探索の候補の総数がたったの１０＾７になっても、ノートＰＣで計算すると数カ月掛かります　　こういう場合、コウ博士の「能力」の一つ、ダウジングの能力を使うことにします　　解の存在確率の高そうなところから探索を初めて、１日後に１個、一週間後にもう一つ発見し、後者が桁数記録の３１７桁の解でした

　「Ｐを素因数として持たないＦｉｂｏｎａｃｃｉ数列」

　この数列は、ＭＩＴの二人の数学者の書いた論文の１２年前に、コウ博士が計算結果をＯＥＩＳに投稿してあります　　　ゆーめーな数学者の論文公表のずっと前に、コウ博士が同じ結果を公表している例はいろいろあります

　http://oeis.org/A078414

　Ｌｉｎｋの「Ｎ　Ｆｒｅｅ　Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ」に、この論文があります

　https://arxiv.org/pdf/1403.4614.pdf

　Ｋｏｈｍｏｔｏの記述があります

　「　Ｉｄｅｎｔｉｔｙ」
　個性、自分の考え方の基礎、レゾンテートル、のＩｄｅｎｔｉｔｙじゃなく、まりんの歌う「Ｉｄｅｎｔｉｔｙ」じゃなく、ラテンの「Ｉｄｅｎｔｉｄａｄ」でもなく、スーガクの恒等式の話
　例えば、こーゆー式
　（２ＸＹ）＾２＋（Ｘ＾２−Ｙ＾２）＾２＝（Ｘ＾２＋Ｙ＾２）＾２
　確かに、計算すると、両辺とも、Ｘ＾４＋２＊Ｘ＾２＊Ｙ＾２＋Ｙ＾４、となっています　　ゆえに、この恒等式は、Ａ＾２＋Ｂ＾２＝Ｃ＾２、という、不定方程式の解をＸ，Ｙという変数を用いて表現したことになります
　まあ、次数が２程度なら、解の公式があって当然、だって、２次の代数方程式なら高校生も知っているもの　　４次の方程式まで解の公式があり、５次方程式の場合は、加減乗除と根号を用いて解の公式が書けない、というのが「ガロア理論」の結論
　というわけなので、始めの例、「ピタゴラスの式」、X^2＋Y^2＝Z^2、の次数を３にして、３変数にした
　　　　X^3＋Y^3+Z^３＝W^3　　　※　２変数の場合、「フェルマーの定理」によって解がない
　も、解決していて、解の公式　＝Ｉｄｅｎｔｉｔｙ　　も知られているか、というと、そんなことは全くない　　解の一部を表現するＩｄｅｎｔｉｔｙがいくつか知られているだけで、解決にはほど遠い　　何故難しいかというと、不定方程式の場合、解は整数という条件があるから
　ここに、コウ博士のＩｄｅｎｔｉｔｙ

　http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicIdentity.html

　ここに、その他いくつかのＩｄｅｎｔｉｔｙの記述があります

　http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation3rdPowers.html

　他のいろいろなＩｄｅｎｔｉｔｙを差し置いて、コウ博士のものが掲載されている理由は、恒等式としての次数がものすごく高い点が、他に比べてユニークだから
　ここに、コウ博士のＩｄｅｎｔｉｔｙを思い付くまでの経緯の解説があります　　英文です

　http://web.archive.org/web/20070521194108/http://boat.zero.ad.jp/~zbi74583/math00.htm