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「友愛数」と、ゆい・もあ・すうコミュのコウ博士のスーガクの成果

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コミュ内全体

 以前、というか、ものすごーく昔に「コウ博士の数学の成果」というトピを書いたのですが、今読み返すとリンクなどは消えてしまっています  その後の成果も付け加えて、もう一度解説します  この後も、書き足す予定

 「4重友愛数」

 友愛数に対するBratley・Mckayの予想の反例を計算するアルゴリズムが巧く働くかどうかを確かめるための例として計算したものです
 その結果を、カナダCalgaly大のGuy博士にBM予想の反例に添えて郵送したのですが、‥‥当時30年前は、まだ紙のメール‥‥、4重友愛数自体が未解決問題だったので、初めての解として、Guy博士の書かれた「Unsolved Problem In Number Theory 2」、1994、に掲載されました

 http://mathworld.wolfram.com/AmicableQuadruple.html


 「Coprime 30 の友愛数」

 「奇数の完全数」=素因数として2を持たない、「BM予想の反例」=素因数として2,3を持たない、「Coprime 30 の友愛数」=素因数として2,3,5を持たない、これらは皆同じ種類の問題‥‥小さな素因数を持たない解を計算する、という‥‥なのです
 この、小さい素因数を持たない解の計算アルゴリズムは、一般に結構難しくて、Coprim 30 の友愛数も、コウ博士以外に計算した人はいません
 ここの、Coprime 30 のリンクをクリック  Kohmoto以外の名前の解は、コウ博士の解をもとにTransformationという方法で計算したもの

 http://62.198.248.44/aliquot/apstat.htm


 「ユニタリ友愛数」

 ここに、2004年にコウ博士が計算した、ユニタリ友愛数桁数世界記録317桁の記事があります  その後、友人のBallが400桁ほどの友愛数を、コウ博士の結果を元に計算しています

 http://mathworld.wolfram.com/UnitaryAmicablePair.html

 このくらいの桁の解をコンピュータでBrut Force・Exhaustible・全数探索したら、どのくらい時間が掛かるか計算してみます
 一秒一京回計算するコンピュータ「京」を使うとして、さらに、友愛数かを一回の計算で確認可能として、一年=3*10^7秒、ゆえに、一年あたり10^24個確認可能
 ゆえに、10^317/10^24=10^293年掛かる  宇宙の年齢は、10^10年くらいかな  もう、なんか、全く時間がたりない、というか、無理
 ということは、もっと効率のよい、友愛数かどうかを確認する解の候補の総数が少なくなるような探索アルゴリズムが必要
 コウ博士の友愛数探索アルゴリズムは、300桁ぐらいなら10^7程度の探索範囲で計算成功確率が1になります  エントロピーで言うと、(Log(10^317)−Log(10^7))/Log(10^317)=0.98  ゆえに、この探索法の知識量は、ネガエントロピーが0.98
 探索の候補の総数がたったの10^7になっても、ノートPCで計算すると数カ月掛かります  こういう場合、コウ博士の「能力」の一つ、ダウジングの能力を使うことにします  解の存在確率の高そうなところから探索を初めて、1日後に1個、一週間後にもう一つ発見し、後者が桁数記録の317桁の解でした

 「Pを素因数として持たないFibonacci数列」

 この数列は、MITの二人の数学者の書いた論文の12年前に、コウ博士が計算結果をOEISに投稿してあります   ゆーめーな数学者の論文公表のずっと前に、コウ博士が同じ結果を公表している例はいろいろあります

 http://oeis.org/A078414

 Linkの「N Free Fibonacci」に、この論文があります

 https://arxiv.org/pdf/1403.4614.pdf

 Kohmotoの記述があります

 「 Identity」
 個性、自分の考え方の基礎、レゾンテートル、のIdentityじゃなく、まりんの歌う「Identity」じゃなく、ラテンの「Identidad」でもなく、スーガクの恒等式の話
 例えば、こーゆー式
 (2XY)^2+(X^2−Y^2)^2=(X^2+Y^2)^2
 確かに、計算すると、両辺とも、X^4+2*X^2*Y^2+Y^4、となっています  ゆえに、この恒等式は、A^2+B^2=C^2、という、不定方程式の解をX,Yという変数を用いて表現したことになります
 まあ、次数が2程度なら、解の公式があって当然、だって、2次の代数方程式なら高校生も知っているもの  4次の方程式まで解の公式があり、5次方程式の場合は、加減乗除と根号を用いて解の公式が書けない、というのが「ガロア理論」の結論
 というわけなので、始めの例、「ピタゴラスの式」、X^2+Y^2=Z^2、の次数を3にして、3変数にした
    X^3+Y^3+Z^3=W^3   ※ 2変数の場合、「フェルマーの定理」によって解がない
 も、解決していて、解の公式 =Identity  も知られているか、というと、そんなことは全くない  解の一部を表現するIdentityがいくつか知られているだけで、解決にはほど遠い  何故難しいかというと、不定方程式の場合、解は整数という条件があるから
 ここに、コウ博士のIdentity

 http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicIdentity.html

 ここに、その他いくつかのIdentityの記述があります

 http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation3rdPowers.html

 他のいろいろなIdentityを差し置いて、コウ博士のものが掲載されている理由は、恒等式としての次数がものすごく高い点が、他に比べてユニークだから
 ここに、コウ博士のIdentityを思い付くまでの経緯の解説があります  英文です

 http://web.archive.org/web/20070521194108/http://boat.zero.ad.jp/~zbi74583/math00.htm
    

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