「友愛数」とその他数論いろいろコミュの計算法

　ｍ倍完全数のアルゴリズムについて解説します。

　普通の完全数は「自分を除いた約数の和が元の数に等しい数」ですから、式にすると、

　　　　σ（ｎ）－ｎ＝ｎ
　　　　書き換えて、
　　　　σ（ｎ）＝２ｎ

　係数を一般の整数に換えたものを「ｍ倍完全数」と呼びます。

　　　　σ（ｎ）＝ｍｎ

　この式の解ｋを求めるアルゴリズムのための表現を次のように決めます。
　ｋの素因数を１段目、ｋの約数の和の素因数を２段目に書きます。
　　　　２段目‥‥σ（ｐ_i）
　　　　１段目‥‥ｐ_i

　実際に３倍完全数を例にとって計算してみます。

　　　　はじめにｋが素因数として２＾３を持っていると仮定し、１段目の先頭に書きます。

　　　　σ　　　　
　　　　ｐ_i　　２＾３

　　　　σ（２＾３）＝１＋２＋４＋８＝１５＝３・５だから、３・５と２段目の先頭に書きます。

　　　　σ　　　３・５　　　　
　　　　ｐ_i　　２＾３

　　　　σ（ｋ）の素因数のうち最大のものを、１段目の素因数の後に書きます。３と５のうち５を取る。　　　

　　　　σ　　　３・５　　　　
　　　　ｐ_i　　２＾３・５

　　　　σ（５）＝６＝２・３、ゆえに２・３と２段目の数の後に書きます。

　　　　σ　　　３・５・２・３　　　　
　　　　ｐ_i　　２＾３・５

　　　　σ（ｋ）の素因数のうち２番目の大きさのものを、１段目の素因数の後に書きます。２・３＾２・５のうちの３＾２なのですが、「３」倍完全数なので３は１個残しておき、３を取ります。　

　　　　σ　　　３・５・２・３　　　　
　　　　ｐ_i　　２＾３・５・３

　　　　σ（３）＝４＝２＾２、ゆえに２＾２と２段目の数の後に書きます。

　　　　σ　　　３・５・２・３・２＾２　　　　
　　　　ｐ_i　　２＾３・５・３

　　　　σ（ｋ）の素因数のうち３番目の大きさのものは２＾３ですが、仮定によってこれは既にｋの素因数の中にあります。
　　　　ここで終わりです。

　　　　表現の１段目には解ｋの素因数、２段目にはσ（ｋ）の素因数が求まっています。
　　　　したがって、ｋ＝１２０＝２＾３・３・５が３倍完全数の解の一つです。

　　　　検算
　　　　σ（１２０）＝σ（２＾３・３・５）＝２＾３・３＾２・５＝３・（２＾３・３・５）＝３・１２０

　　　　例題
　　　　解が２＾９を素因数とすると仮定して３倍完全数を求めよ。
　　　　計算の終わりの時点の表現はこうなっています。

　　　　σ（ｋ）　３・１１・３１・２＾５・２＾２・３・２＾２
　　　　ｋ　　　　２＾９・３１・１１・３

　　　　答え　ｋ＝２＾９・３・１１・３１

　　　　問題
　　　　解が２＾９を素因数とすると仮定して４倍完全数を求めてください。
　　　　

コメント(2)

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[1] mixiユーザー 07月19日 00:19

うわぁぁぁ
久し振りに来たら、えらいむずかしいことになってます

でも、頑張ってみようっと
たまに質問とかしてもいいでしょうか？

[2] mixiユーザー 07月19日 13:33

　＞訂正

　「σ（ｋ）の素因数の内から大きい順に取る」という手順になっていますが、もっと正確には、「σ（ｋ）の素因数の内、ｋの素因数として『使用済み』なったものの残りの中から、最も大きい素因数を取る」です。

　＞ＳＡＩＫＯさん

　分からないこと気軽に聞いてください。
　書き込んでくれる人が少なくて、コウ博士としては少し寂しいのです。
　おとなしい学生さん達に講義しているような気分です。
　　　　

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