「友愛数」とその他数論いろいろコミュの「ガウス友愛数」

　友愛数や完全数は「整数」の世界で考えた数たちですが、それらを「ガウス整数」の世界で考えたものが、それぞれガウス友愛数・ガウス完全数となります。

　ガウス整数とは、１＋２i、２－４iなど、「整数＋整数×i」の形の数のことです。

　ここで「i」は√－１を表します。

　「Gaussian 友愛数」　：　

　友愛数をガウス整数の世界で考える方法は、自由度がいろいろあって１つには決められません。
　次の定義はその中のひとつです。

　　　　[Gaussian Amicable number]

　　　　Gσ(x)=Gσ(y)=Fq(m*(u*Fq(x)+Fq(y)) , ｍはあるガウス整数。　－GA－

　　　　ただし、u は単数＝1, i, -1, -i　
　　　　素因数の積で表して n=Π p_i^r_i ならば Gσ(n)=Fq(Π(? Fq(p_i^s_i) , 0<=s_i<=r_i))

　　　　Fq(n)=i^k*n , 0<=k<=3
　　　　ガウス整数 Fq(n) が r*e^(i*t)のように表されているなら 0<=t<π/2 　

　　　　例１． u=-i
　　　　x=(1+i)^11*(1+2i)*(2+i)*7*359
　　　　y=(1+i)^11*(1+2i)*(2+i)*7*(5+6i)*(29+30i)
　　　　m=5

　Fq(n)のFqはfirst quadrant＝第一象限の頭文字。
　　　　　　　　　※偏角ｔが０≦ｔ＜π/２の複素数が複素平面の第一象限にあります
　Fq(n)はｎを対応する第一象限の数に変えます。
　ｎの約数の和を考える場合、こうしないと０になってしまう。

　ただ、友愛数の方程式には必然というわけではない。＞好きずきです
　僕はこの式が面白いと思う。
　
　普通の友愛数の場合は、

　　　　Gσ　→　σ　　
　　　　u=1
　　　　Fq(n)=n

　ゆえに、GA式は　

　　　　σ(x)＝σ(n)＝m*(x+y) 　　　　　－A－

　もしm=1ならA式は確かに友愛数の式になっています。
　　　　
　というわけで、このガウス友愛数は、ガウス整数の世界の友愛数の対応物と言うことができます。

　例１の解の場合を日本語で言ってみるとこうなります。

　「(1+i)^11*(1+2i)*(2+i)*7*359のある種の約数の和の1/5から、（1+i)^11*(1+2i)*(2+i)*7*359に対応する第一象限の数に-iを掛けた数を引くと(1+i)^11*(1+2i)*(2+i)*7*(5+6i)*(29+30i)に対応する第一象限の数になり、(1+i)^11*(1+2i)*(2+i)*7*(5+6i)*(29+30i) のある種の約数の和の1/5から、(1+i)^11*(1+2i)*(2+i)*7*(5+6i)*(29+30i)に対応する第一象限の数を引くと、（1+i)^11*(1+2i)*(2+i)*7*359に対応する第一象限の数になる」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　※「ある種の」というのは、いろいろな「和」が考えられるから

　はははややこしー。　(^^;)　
　　　　