関数解析学コミュの関数解析学で感動した定理

いろいろあると思いますが，
≪感動した!!≫と思われた定理等をお書き下さい．

ちなみに，自分は norm 空間上の
線型作用素は有界性と連続性が
同値であると云うことを知ったときです．
線型性のなせる技かなと感動しました．
この定理を知って以来関数解析学を勉強と思いました．

コメント(13)

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[2] mixiユーザー 11月14日 22:11

はじめまして！！
最近、友達に紹介されて招待されたものです。
無限次元系の量子情報なんかも研究している関係で、どうしてもヒルベルト空間やら非線形作用素などの議論を勉強せざるをえない弱輩です。

Rieszの定理、有限次元のベクトル空間での代数的な話が、無限次元の枠組みで関数解析の話になるというのが、面白いように思いました。
スペクトル分解もいいですね。有限次元での対角行列という考えが、これまた関数解析に絡む。
これに関係して、ロシアの数学者ナイマルクによる、一般化スペクトル測度の分解なんかが、自分の研究に近いところでしょうか。といっても、工学畑なので、厳密な議論はあまり自信ありませんが（笑）

また、時々、お邪魔いたします。

[5] mixiユーザー 11月16日 20:27

はじめまして☆
微分方程式の解の存在性に
関数解析を使ってます。

そんな私は、
やはり、
Hille-吉田の定理に感動しましたね☆

[6] mixiユーザー 11月24日 22:35

純粋に関数解析の内容という視点で選ぶなら
やはりHahn-Banachの定理やRieszの定理でしょうか。
結構色々な所で顔を出します。

>Hille-吉田の定理

微分方程式を研究する上では必須ですよねー。

[7] mixiユーザー 01月20日 22:59

コンパクト台をもつ無限回連続的微分可能関数の作る関数空間の双対空間において、無限回連続的微分可能関数の作る関数空間は部分空間とみなすことができ、稠密である。
位相の入れ方の説明は長くなるのでここでは省略。

[9] mixiユーザー 02月11日 10:20

　Hille-Yosida と Alougle（アラオグル、綴りが怪しいです）は外せませんね～♪あと（可分性のない一般の）ヒルベルト空間での非有界自己共役作用素のスペクトルレゾリューションとストーンの定理ですね～
　ヒルベルト空間のリースの定理は便利ですが、弱位相と汎弱位相の違いが見えなくなる点でむしろ弊害もあります。もちろんラックス-ミルグラム等が得られ、またラドンニコディムのフォンノイマンによる証明も有名ですね、確かに便利です。
>7: KM　様
　distribution の基礎をなす大事な結果ですね、きっと（実は初めて知った編）。線型位相空間論ですね、あるいはフレッシェ空間。

[10] mixiユーザー 04月19日 22:48

私が好きな定理はGelfand-Naimarkの定理です。この定理は、可換C^*代数は指標（複素数体への*準同型）全体に汎弱位相を入れた空間上の無限遠で消滅する連続関数のつくる可換C^*代数と*同型になることを主張しています。

この定理のように、関数のつくる代数からそれらの定義域となる空間を再構成するという考え方は現代数学において重要ですよね。

[11] mixiユーザー 04月20日 01:07

↑ワタシもそれ好きです。いいですねGelfand変換♪Fourier変換の一般化になってますしね。カンスウからクウカンをというのは現代数学の指導原理の一つでしょうね。スキームとか…（多分）。

[12] mixiユーザー 04月28日 01:19

もう一つ私の好きな定理を挙げるとすれば、Titchmarshの定理です。ここでいうTitchmarshの定理とは、[0,∞)上の連続関数全体をCとしてf,g∈Cに対してf*g(t):=∫_0^t f(t-s)g(s)dsと定めるとCは通常の和と畳み込み積*によって単位元をもたない整域になることを主張するものです。

微分作用素のレゾルベントは指数関数との畳み込みとして表せる（正確には定義域のとりかたによる）のでCの商体を考えることによって微分方程式を代数的に解くことができるようになります。

[13] mixiユーザー 06月14日 08:10

感動したというより意外に感じた定理ですが、可分な無限次元Hilbert空間HとHから一点を取り除いた空間H/{0}は同相になります。（Klee-Bessaga）

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