お久しぶりです。
次のような速さの問題を質問されたのですが、その解法についての質問です。
「甲地点からＡ、Ｂが、乙地点からＣが三人とも同じ向き（甲→乙→）に同時に出発した。
Ａは出発して１０分後にＣを追い越し、Ｂは出発して１２分後にＣを追い越した。
もし甲地点からＡが、乙地点からＢが同時に先と同じ向きにスタートすれば、Ａは何分後にＢを追い越すか」
私は、速さの問題で難しいものは、問題の条件を面積図かダイヤグラムに落せば、後は、図形の問題として解けるという信念を持っているので（速さが図で解けることは事実ですから、信念などとリキム必要はないのですが・・・）、ダイヤグラムを描いて、相似の三角形を使って、「60分」という正解を出したのですが、「予習シリーズ」の解説解答は、要約すると、次のようになっているそうです。
「速さの差の比の「Ａ−Ｃ」：「Ｂ−Ｃ」＝６：５から、同じ基準で速さの差「Ａ−Ｂ」＝１となる。するとＡがＣに１０分で追い付く距離ならＡがＢに追い付くのは６０分。」
う〜みゅ。言われれば、確かに・・・。
第１段階として、同じ距離を「追いつく時間の比」と「速さの差の比」が「逆比」になることから、「追いつく時間の比」から「速さの差の比」を求め、第２段階として、「Ａ−Ｃ」と「Ｂ−Ｃ」の比の値から「Ａ−Ｂ」の比の値を求め、最後に第3段階として、再び「追いつく時間の比」と「速さの差の比」が「逆比」関係を利用して、追いつく時間を求めるというのは、納得できる。
しかし、私が現役で受験算数を教えていたとき、この解法は知らなかったし、自分で導けたとも思えない。
このような３段階もの推理階梯を踏む解法が、小学生に適当とも思えない。
ダイヤグラムで解いて、生徒にもこの解法を教えただろう。
ダイヤグラムでも何段階の推理階梯を踏むことになるが、目に見える図が相手だから、推理のとっかかりはあるのではないか。図形が苦手な生徒には逆にきつい、と言われれば、それはそうなのでしょうが、では、そういう生徒には、上記の比の概念だけを使った推理の方が楽なのでしょうか。そういう生徒もいるんでしょうか？
今、予習シリーズのこの解法を知っても、この解法を第一に教えるのがベストとは思えない。
「道のり」が同じなら、「速さの比」と「時間の比」が「逆比」であることは、受験算数の必須事項として教え、理解させたが、今は、「道のりの差」が同じなら、「追いつくまでの時間の比」と「速さの差の比」が「逆比」であることも、あるレベルの私立をめざすなら、受験算数の必須時事項なんでしょうか。
この問題の、中学入試問題としての妥当性も含めた評価、および、中学入試問題として妥当だとしたら、その解き方として何を教えるべきかという点など、ご意見をいただけたら、と思います。
次のような速さの問題を質問されたのですが、その解法についての質問です。
「甲地点からＡ、Ｂが、乙地点からＣが三人とも同じ向き（甲→乙→）に同時に出発した。
Ａは出発して１０分後にＣを追い越し、Ｂは出発して１２分後にＣを追い越した。
もし甲地点からＡが、乙地点からＢが同時に先と同じ向きにスタートすれば、Ａは何分後にＢを追い越すか」
私は、速さの問題で難しいものは、問題の条件を面積図かダイヤグラムに落せば、後は、図形の問題として解けるという信念を持っているので（速さが図で解けることは事実ですから、信念などとリキム必要はないのですが・・・）、ダイヤグラムを描いて、相似の三角形を使って、「60分」という正解を出したのですが、「予習シリーズ」の解説解答は、要約すると、次のようになっているそうです。
「速さの差の比の「Ａ−Ｃ」：「Ｂ−Ｃ」＝６：５から、同じ基準で速さの差「Ａ−Ｂ」＝１となる。するとＡがＣに１０分で追い付く距離ならＡがＢに追い付くのは６０分。」
う〜みゅ。言われれば、確かに・・・。
第１段階として、同じ距離を「追いつく時間の比」と「速さの差の比」が「逆比」になることから、「追いつく時間の比」から「速さの差の比」を求め、第２段階として、「Ａ−Ｃ」と「Ｂ−Ｃ」の比の値から「Ａ−Ｂ」の比の値を求め、最後に第3段階として、再び「追いつく時間の比」と「速さの差の比」が「逆比」関係を利用して、追いつく時間を求めるというのは、納得できる。
しかし、私が現役で受験算数を教えていたとき、この解法は知らなかったし、自分で導けたとも思えない。
このような３段階もの推理階梯を踏む解法が、小学生に適当とも思えない。
ダイヤグラムで解いて、生徒にもこの解法を教えただろう。
ダイヤグラムでも何段階の推理階梯を踏むことになるが、目に見える図が相手だから、推理のとっかかりはあるのではないか。図形が苦手な生徒には逆にきつい、と言われれば、それはそうなのでしょうが、では、そういう生徒には、上記の比の概念だけを使った推理の方が楽なのでしょうか。そういう生徒もいるんでしょうか？
今、予習シリーズのこの解法を知っても、この解法を第一に教えるのがベストとは思えない。
「道のり」が同じなら、「速さの比」と「時間の比」が「逆比」であることは、受験算数の必須事項として教え、理解させたが、今は、「道のりの差」が同じなら、「追いつくまでの時間の比」と「速さの差の比」が「逆比」であることも、あるレベルの私立をめざすなら、受験算数の必須時事項なんでしょうか。
この問題の、中学入試問題としての妥当性も含めた評価、および、中学入試問題として妥当だとしたら、その解き方として何を教えるべきかという点など、ご意見をいただけたら、と思います。
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コメント(45)
なるほど、設問の条件のある部分が「欠けている」ということは、その部分については何であっても設問が成り立つということだから、適当な数値を置いてしまう、ということですね。
このやり方は、実はあまり好きでなかったので、自分の考えからパージしていました。というか、小学生に説明するときに、このやり方が一番分かりやすいような問題は、小学生には不適当な問題ではないのかと思っているところがありました。
でも、この考え方は、和算で、円のからむ難しい問題を解くときに、特殊の場合（例えば、一般の四角形について論じたいときに正方形について論じる）から一般の場合を類推するという、「算変法」とか「極形術」という解法があって、それは、現代数学のInversion（反転法）に匹敵するらしい（平山諦『和算の歴史』ちくま学芸文庫135〜143ぺーじ）ことを知って、ちょっと見直しています。
トピの問題だと、甲乙の道のりの差を６０と置いて（第１段階）も、その後、Ａ−Ｃ＝６、Ｂ−Ｃ＝５から、Ａ−Ｂ＝１を出すのが、小学生にはきついのではないかとも思ったのですが、ここは、式の形から、Ａ−Ｂを求めるのではなく、式の意味から、ＡはＣより６大きい、ＢはＣより５大きい、ならば、ＡはＢより１大きい、と考えることは、そう難しくない。（第２段階）
そして、６０÷１＝６０分と求める。（第３段階）
なるほど、この３段階なら、小学生にも不可能ではない。
予習シリーズの解説の始まる前に「甲乙を６０と仮定する」がありさえすれば、とたんに理解しやすいものになる。
私の、ダイヤグラムから相似を使う方法も、あるいは、面積図を書いて、けっきょく予習シリーズの途中式を図で確認しながら追っていくような解法より、これが小学生にはベターなんですね。
でも、この問題を、いま、私が小学生に説明するとなると、先ず最初に、黒板に一本の道を書いて３個のマグネットを動かして、問題の意味を理解させ、次に、いまマグネットを動かして確認したことを、ＡとＣ、ＢとＣの２組４本の線分図で再確認して、甲乙間の距離を、とりあえず６０と置くやり方で解く。ＡとＢの２本１組の線分図も、その途中で描く。
次に別解として、今解いた過程を面積図（横軸時間、縦軸速さ）で追って再確認する。
そして、さらに別解として、ダイヤグラム（横軸時間、縦軸道のり）を描いて、相似を使うやり方も紹介する、という流れになりそうです。しつこいか…(^_^;
このやり方は、実はあまり好きでなかったので、自分の考えからパージしていました。というか、小学生に説明するときに、このやり方が一番分かりやすいような問題は、小学生には不適当な問題ではないのかと思っているところがありました。
でも、この考え方は、和算で、円のからむ難しい問題を解くときに、特殊の場合（例えば、一般の四角形について論じたいときに正方形について論じる）から一般の場合を類推するという、「算変法」とか「極形術」という解法があって、それは、現代数学のInversion（反転法）に匹敵するらしい（平山諦『和算の歴史』ちくま学芸文庫135〜143ぺーじ）ことを知って、ちょっと見直しています。
トピの問題だと、甲乙の道のりの差を６０と置いて（第１段階）も、その後、Ａ−Ｃ＝６、Ｂ−Ｃ＝５から、Ａ−Ｂ＝１を出すのが、小学生にはきついのではないかとも思ったのですが、ここは、式の形から、Ａ−Ｂを求めるのではなく、式の意味から、ＡはＣより６大きい、ＢはＣより５大きい、ならば、ＡはＢより１大きい、と考えることは、そう難しくない。（第２段階）
そして、６０÷１＝６０分と求める。（第３段階）
なるほど、この３段階なら、小学生にも不可能ではない。
予習シリーズの解説の始まる前に「甲乙を６０と仮定する」がありさえすれば、とたんに理解しやすいものになる。
私の、ダイヤグラムから相似を使う方法も、あるいは、面積図を書いて、けっきょく予習シリーズの途中式を図で確認しながら追っていくような解法より、これが小学生にはベターなんですね。
でも、この問題を、いま、私が小学生に説明するとなると、先ず最初に、黒板に一本の道を書いて３個のマグネットを動かして、問題の意味を理解させ、次に、いまマグネットを動かして確認したことを、ＡとＣ、ＢとＣの２組４本の線分図で再確認して、甲乙間の距離を、とりあえず６０と置くやり方で解く。ＡとＢの２本１組の線分図も、その途中で描く。
次に別解として、今解いた過程を面積図（横軸時間、縦軸速さ）で追って再確認する。
そして、さらに別解として、ダイヤグラム（横軸時間、縦軸道のり）を描いて、相似を使うやり方も紹介する、という流れになりそうです。しつこいか…(^_^;
その
「よくわからない量をとりあえず何かとおく」
というステップは、小学生にとって、わかりやすいものなんでしょうか。。？
よく使われる手法ではあるけれど、自分が小学生のときには自分自身はほとんど使わなかった考え方だし、自分がこの手の考え方を使い始めたのは、数学で方程式を習いながら「未知数をｘとおく」という考え方に浸り始めたころからなので、あんまり小学生のうちからこればっかりなのは辛いと思う子もいるんじゃないかなぁって気がするのですが。。
自分が見てきた子たちでも、よくできる子でも、とりあえず未知数を適当な数でおいてみる、ってことをやっても、それはただの比であって実際の数ではないということがわかって使ってる子をほとんど見なかった、ということも、このやり方に抵抗がある理由の１つではあります。
その辺、他の方から見てどうなんでしょう？
「よくわからない量をとりあえず何かとおく」
というステップは、小学生にとって、わかりやすいものなんでしょうか。。？
よく使われる手法ではあるけれど、自分が小学生のときには自分自身はほとんど使わなかった考え方だし、自分がこの手の考え方を使い始めたのは、数学で方程式を習いながら「未知数をｘとおく」という考え方に浸り始めたころからなので、あんまり小学生のうちからこればっかりなのは辛いと思う子もいるんじゃないかなぁって気がするのですが。。
自分が見てきた子たちでも、よくできる子でも、とりあえず未知数を適当な数でおいてみる、ってことをやっても、それはただの比であって実際の数ではないということがわかって使ってる子をほとんど見なかった、ということも、このやり方に抵抗がある理由の１つではあります。
その辺、他の方から見てどうなんでしょう？
にゃーさん，はじめまして。
>「よくわからない量をとりあえず何かとおく」
というステップは、小学生にとって、わかりやすいものなんでしょうか。。？
置いたとたんにわかりやすくなる，と私は考えています。問題がパッと具体的になりますから。
>よくできる子でも、とりあえず未知数を適当な数でおいてみる、ってことをやっても、それはただの比であって実際の数ではないということがわかって使ってる子をほとんど見なかった
私のクラスでは，適当においた数，ならびにそれから導き出される数は必ず○で囲むことになっています。まれに，私自身が○で囲むのを忘れると生徒から注意される始末・・・。
○で囲ませる習慣をきちんとつけさせれば，それらを本当の数と混同するミスはほとんど起こらない，というのが私の指導経験です。
>「よくわからない量をとりあえず何かとおく」
というステップは、小学生にとって、わかりやすいものなんでしょうか。。？
置いたとたんにわかりやすくなる，と私は考えています。問題がパッと具体的になりますから。
>よくできる子でも、とりあえず未知数を適当な数でおいてみる、ってことをやっても、それはただの比であって実際の数ではないということがわかって使ってる子をほとんど見なかった
私のクラスでは，適当においた数，ならびにそれから導き出される数は必ず○で囲むことになっています。まれに，私自身が○で囲むのを忘れると生徒から注意される始末・・・。
○で囲ませる習慣をきちんとつけさせれば，それらを本当の数と混同するミスはほとんど起こらない，というのが私の指導経験です。
>「よくわからない量をとりあえず何かとおく」
という方法に対する、私の違和感ですが、次のようなこともあるのかと省みています。
この速さの問題の場合、未知数が４つ（甲乙間の道のり、Ａ，Ｂ，Ｃの速さ）あって、けっきょく、最後までこの未知数の値は決まらない。Ａ，Ｂ，Ｃの速さの「差の比」だけわかって、設問には答が出る。こういう問題は、中学・高校で方程式を立てて解くにしても、難しい部類になるのではないでしょうか。ましていわんや小学生においておや、という思いを禁じえないのです。つまり、中学入試問題として出題して、小学生に解くことを要求するのはどんなものであろうか、と。
こういう難問にぶつかったとき、「子ども」はどうするかというと、「よくわからない量をとりあえず何かとおく」ことがあると思いますし、そう考えられる子どもは、「地頭」が良いと言えるでしょう。
１０分と１２分があるので、道のりを最小公倍数の６０とする。この６０が、６０ｍや６０ｋｍといった実際の数値ではなく、「比」であるので、たとえば「マル60」とかする。この問題の場合は、６０ｍや６０ｋｍとしても構わないわけですが。で、６０÷１０の６と、60÷１２の５ですが、この６と５の数値も、速さの差の「比」ですが、単位を付けると、「マル/分」でしょうか。この問題では、６ｍ/分や、５ｋｍ/分でも構わないことになりますが、この分速の数値は、人間の速さとしてはどうかなという問題は残ります。
そして最後に、マル６０÷（６−５）マル/分＝６０分、とめでたく単位も正しい数値が出る。
しかし、この問題では、道のりを６０ｍや６０ｋｍと置いても構わなかった、という問題があります。いや、構わないのだから、問題ではないと言えば、問題ではないのですが、わたし的には、違和感があるのです。
次に、「子ども」が、Ａ−Ｃ＝６、Ｂ−Ｃ＝５が出たときに、「よくわからない量」のＣを10にして、Ａを16、Ｂを15にすることもあるのではないでしょうか。そう置いても、問題を解く上で全然構わないし、そういうことができる子どもは地頭が良いのでしょうが、どうしても違和感を感じてしまうのです。オイ、いいのかよ、それで出てきた答は、他の数値に置いたときも一般的に通用するのかよ、という「杞憂」（間違ったよけいな心配）が生じてしまうことを禁じえないのです。
中学入試問題を教え始めた当初（20数年前ですが、汗）、先ずびっくりしたのは、こんな難しい問題を方程式を使わないで解いている、ということだったのです。で、よく見ていると、難問にぶつかったとき、「子ども」は、とりあえず正解の見当をつけて、それでやってみてダメだったら、そのダメになった様子から、もとの数を大きくしたり小さくしてみて、もう一回試してみる、それでダメならもう一回・・・、というやり方をしている「子ども」がいたことです。晴天霹靂でした。こんなのありかよ！
で、こういうやり方は「あてはめ」であって、解法としては「下」である、他のやり方が分からなかったら、試験のときは、最後の手段としてやっても良いが、普段からこのやり方をしていたら、力は付かないと指導していました。そのため、私が担当すると、何人かの生徒は、それまでのやり方が禁じられるため、二ヶ月ほどはテストの点数は落ちるが、その後はめきめきと成績を上げるという現象が見られました。（塾講師の「ちょっと自慢モード」に入っていますが・・・(^_^;)
「よくわからない量をとりあえず何かとおく」解法に私が感ずる違和感は、この「あてはめ」に通ずるものを感じてしまうことがあるのだと省みています。ただ、「あてはめ」と違って、この解法は、「よくわからない量をχとおく」方程式と通ずるところもあるし、仕事算などでは、「全体の仕事量を１とする」ことには、何の抵抗も感じないのですから、あまり根拠のない違和感ではあると反省もしています。
また、「よくわからない量をとりあえず何かとおく」考え方は、具体的な個別の数値で考える「子ども」段階の思考方法にはフィットしているわけですが、どうしても、苦し紛れという感じが否めず、入試問題としては、子どもに、抽象的な思考をたどることを中途で放棄させ、具体的な数値を使って答だけには到達させるというタイプの難問は、はたして相応しいのだろうかと思ってしまうわけです。
でも、確かに、具体的な数値で答を出してみてから一般的な解法を考えるということは、「おとな」になってもよくやるし必要なことであり、そういう「地頭力」をきたえる訓練としてはいいのかな、とも考えてもみるのですが、小学生段階では、具体的な数値でやった解法を、一般的な文字でやってみるということはないわけで、ま、「子ども」だから、しようがないか、などとも、あれこれ考えているわけです。
という方法に対する、私の違和感ですが、次のようなこともあるのかと省みています。
この速さの問題の場合、未知数が４つ（甲乙間の道のり、Ａ，Ｂ，Ｃの速さ）あって、けっきょく、最後までこの未知数の値は決まらない。Ａ，Ｂ，Ｃの速さの「差の比」だけわかって、設問には答が出る。こういう問題は、中学・高校で方程式を立てて解くにしても、難しい部類になるのではないでしょうか。ましていわんや小学生においておや、という思いを禁じえないのです。つまり、中学入試問題として出題して、小学生に解くことを要求するのはどんなものであろうか、と。
こういう難問にぶつかったとき、「子ども」はどうするかというと、「よくわからない量をとりあえず何かとおく」ことがあると思いますし、そう考えられる子どもは、「地頭」が良いと言えるでしょう。
１０分と１２分があるので、道のりを最小公倍数の６０とする。この６０が、６０ｍや６０ｋｍといった実際の数値ではなく、「比」であるので、たとえば「マル60」とかする。この問題の場合は、６０ｍや６０ｋｍとしても構わないわけですが。で、６０÷１０の６と、60÷１２の５ですが、この６と５の数値も、速さの差の「比」ですが、単位を付けると、「マル/分」でしょうか。この問題では、６ｍ/分や、５ｋｍ/分でも構わないことになりますが、この分速の数値は、人間の速さとしてはどうかなという問題は残ります。
そして最後に、マル６０÷（６−５）マル/分＝６０分、とめでたく単位も正しい数値が出る。
しかし、この問題では、道のりを６０ｍや６０ｋｍと置いても構わなかった、という問題があります。いや、構わないのだから、問題ではないと言えば、問題ではないのですが、わたし的には、違和感があるのです。
次に、「子ども」が、Ａ−Ｃ＝６、Ｂ−Ｃ＝５が出たときに、「よくわからない量」のＣを10にして、Ａを16、Ｂを15にすることもあるのではないでしょうか。そう置いても、問題を解く上で全然構わないし、そういうことができる子どもは地頭が良いのでしょうが、どうしても違和感を感じてしまうのです。オイ、いいのかよ、それで出てきた答は、他の数値に置いたときも一般的に通用するのかよ、という「杞憂」（間違ったよけいな心配）が生じてしまうことを禁じえないのです。
中学入試問題を教え始めた当初（20数年前ですが、汗）、先ずびっくりしたのは、こんな難しい問題を方程式を使わないで解いている、ということだったのです。で、よく見ていると、難問にぶつかったとき、「子ども」は、とりあえず正解の見当をつけて、それでやってみてダメだったら、そのダメになった様子から、もとの数を大きくしたり小さくしてみて、もう一回試してみる、それでダメならもう一回・・・、というやり方をしている「子ども」がいたことです。晴天霹靂でした。こんなのありかよ！
で、こういうやり方は「あてはめ」であって、解法としては「下」である、他のやり方が分からなかったら、試験のときは、最後の手段としてやっても良いが、普段からこのやり方をしていたら、力は付かないと指導していました。そのため、私が担当すると、何人かの生徒は、それまでのやり方が禁じられるため、二ヶ月ほどはテストの点数は落ちるが、その後はめきめきと成績を上げるという現象が見られました。（塾講師の「ちょっと自慢モード」に入っていますが・・・(^_^;)
「よくわからない量をとりあえず何かとおく」解法に私が感ずる違和感は、この「あてはめ」に通ずるものを感じてしまうことがあるのだと省みています。ただ、「あてはめ」と違って、この解法は、「よくわからない量をχとおく」方程式と通ずるところもあるし、仕事算などでは、「全体の仕事量を１とする」ことには、何の抵抗も感じないのですから、あまり根拠のない違和感ではあると反省もしています。
また、「よくわからない量をとりあえず何かとおく」考え方は、具体的な個別の数値で考える「子ども」段階の思考方法にはフィットしているわけですが、どうしても、苦し紛れという感じが否めず、入試問題としては、子どもに、抽象的な思考をたどることを中途で放棄させ、具体的な数値を使って答だけには到達させるというタイプの難問は、はたして相応しいのだろうかと思ってしまうわけです。
でも、確かに、具体的な数値で答を出してみてから一般的な解法を考えるということは、「おとな」になってもよくやるし必要なことであり、そういう「地頭力」をきたえる訓練としてはいいのかな、とも考えてもみるのですが、小学生段階では、具体的な数値でやった解法を、一般的な文字でやってみるということはないわけで、ま、「子ども」だから、しようがないか、などとも、あれこれ考えているわけです。
＞子どもに、抽象的な思考をたどることを中途で放棄させ、具体的な数値を使って答だけには到達させるというタイプの難問は、はたして相応しいのだろうかと思ってしまうわけです。
ふさわしいかどうかは私には判断しかねます。しかし、実際に出題されちゃっているわけですから我々講師としてはそれをやさしく攻略する方法を考えるしかないですね。
上の問題に限らず、一見して条件が少なく感じる問題のほとんどは比が関係しているので、どんな解き方であれ結果的には比を使って解くことに変わりありません。
私が書いた解法中の６０や６、５という量はたけぽんさんが指摘されているように割合記号を使って実際には指導しています。
ニュートン算や過不足算の計算をする際にも線分図上で割合記号を使ったりします。例えば７個ずつ配ろうとした量を?とか丸で囲んだ量で表しますが、特に子供たちが違和感を感じて計算できなくなるってことはないです。むしろ、いろんな問題を解く上で応用が利くのでかなり有効な方法だと認識しています。
私は実際に多数の子供たちに教えてみて、飲み込みが早く応用が利くという点でこの方法を指導しています。メタメタさんがしばしば指摘されているニュートン算でも同様に割合記号を使って指導していますが、メタメタさんが感じるほどに難しいという認識はないです。むしろ、この手の類の問題は頻出事項ですから解けるようにしてしまうことが他の子と差をつけるには絶対的に必要なことだと思っていますし、私はそういう認識の下、この手の基本問題は難なく解けるよう定着させてしまっています。
もちろん、この問題を何の準備もなく初めて見せてどう解くかを中学受験の勉強もしたことのない小学生に自力で考えろと言ったって難しいに決まってます。ただ、私が指導している子は中学受験をすることを前提としてそれまで様々な問題を解いてきているので全くのド素人ではないのです。ですから、
”普通なら距離が与えられていて計算できるはずなのになんでこの問題では距離が与えられていないんだろう？もうこれ以上解けないや！”
となってしまうところを
”条件が少なくてわからない量があっても適当に置いて計算してみる”
という観点を持っていればそういう観点を持たない子に比べて解ける問題の量は圧倒的に違ってきます。ある程度問題に手をつけられるだけの指針を予め与えておかなければこの手の類の問題はまず解くことは難しいです。
むしろ、私なんかはこの手の類の問題をやさしく感じるぐらいにしてしまってます。先生の指導力にもよりますが中にはこういった比の関係した問題自体を捨て問にしてしまっている先生もおられます。簡単な話、その先生自体が理解できていないだけの話で、こういった頻出問題を捨て問にしてしまっている時点で受験での優位性は保てないことは明らかだと思っています。
たけぽんさんも指導されているように、これは受験算数としては定石で特別な方法でもなんでもないですし難問という認識もありません。何故そう思うかと言うと教えれば大抵の子はすぐに飲み込んでできるようになってしまうからです。場合わけを必要とする問題と違ってやり方さえわかれば自然に計算できてしまうので特に難しいという認識は持っていません。
メタメタさんはニュートン算を毛嫌いしていますが、ニュートン算にしても割合記号を使えば自然に計算できてしまうので私は特に難しい問題という認識は持っていません。頻出問題ですし。
別にメタメタさんの言われた速さの差の比の逆比の考え方でも説明をうまくすれば十分納得させることはできます。私は別に自分が良く説明しているやり方だけが正しいやり方と主張しているわけではありません。複数の解法がある場合、どれが正しいやり方だなんてナンセンスなことは言うつもりもありませんし、私の場合はどの考え方でも説明できるようにはしています。
２種類の直角三角形が直角を共有して重なってできるくさび形の四角形において重なっている部分の面積を求める問題は様々な解き方があってどれもいろいろな問題への応用があって大変勉強になる問題です。相似を利用して高さを出して解く方法。相似を利用して辺の比を出して面積比から解く方法。消去算で解く方法。メネラウスの定理(中学受験的には禁じ手ですが)を使って解く方法など様々です。
こういった解法を教えることで補助線の引き方や消去算の式の導出の仕方、面積比の考え方など様々な問題を解く上での技法が学べるので私はよく取り上げます。
一見難しいと思われる問題をやさしい問題だと思わせるかも我々講師の腕の見せ所だと思っているんで、難しいと言う前に難しく思われないような方法を考えることのほうが余程有益なことではないでしょうか？
ふさわしいかどうかは私には判断しかねます。しかし、実際に出題されちゃっているわけですから我々講師としてはそれをやさしく攻略する方法を考えるしかないですね。
上の問題に限らず、一見して条件が少なく感じる問題のほとんどは比が関係しているので、どんな解き方であれ結果的には比を使って解くことに変わりありません。
私が書いた解法中の６０や６、５という量はたけぽんさんが指摘されているように割合記号を使って実際には指導しています。
ニュートン算や過不足算の計算をする際にも線分図上で割合記号を使ったりします。例えば７個ずつ配ろうとした量を?とか丸で囲んだ量で表しますが、特に子供たちが違和感を感じて計算できなくなるってことはないです。むしろ、いろんな問題を解く上で応用が利くのでかなり有効な方法だと認識しています。
私は実際に多数の子供たちに教えてみて、飲み込みが早く応用が利くという点でこの方法を指導しています。メタメタさんがしばしば指摘されているニュートン算でも同様に割合記号を使って指導していますが、メタメタさんが感じるほどに難しいという認識はないです。むしろ、この手の類の問題は頻出事項ですから解けるようにしてしまうことが他の子と差をつけるには絶対的に必要なことだと思っていますし、私はそういう認識の下、この手の基本問題は難なく解けるよう定着させてしまっています。
もちろん、この問題を何の準備もなく初めて見せてどう解くかを中学受験の勉強もしたことのない小学生に自力で考えろと言ったって難しいに決まってます。ただ、私が指導している子は中学受験をすることを前提としてそれまで様々な問題を解いてきているので全くのド素人ではないのです。ですから、
”普通なら距離が与えられていて計算できるはずなのになんでこの問題では距離が与えられていないんだろう？もうこれ以上解けないや！”
となってしまうところを
”条件が少なくてわからない量があっても適当に置いて計算してみる”
という観点を持っていればそういう観点を持たない子に比べて解ける問題の量は圧倒的に違ってきます。ある程度問題に手をつけられるだけの指針を予め与えておかなければこの手の類の問題はまず解くことは難しいです。
むしろ、私なんかはこの手の類の問題をやさしく感じるぐらいにしてしまってます。先生の指導力にもよりますが中にはこういった比の関係した問題自体を捨て問にしてしまっている先生もおられます。簡単な話、その先生自体が理解できていないだけの話で、こういった頻出問題を捨て問にしてしまっている時点で受験での優位性は保てないことは明らかだと思っています。
たけぽんさんも指導されているように、これは受験算数としては定石で特別な方法でもなんでもないですし難問という認識もありません。何故そう思うかと言うと教えれば大抵の子はすぐに飲み込んでできるようになってしまうからです。場合わけを必要とする問題と違ってやり方さえわかれば自然に計算できてしまうので特に難しいという認識は持っていません。
メタメタさんはニュートン算を毛嫌いしていますが、ニュートン算にしても割合記号を使えば自然に計算できてしまうので私は特に難しい問題という認識は持っていません。頻出問題ですし。
別にメタメタさんの言われた速さの差の比の逆比の考え方でも説明をうまくすれば十分納得させることはできます。私は別に自分が良く説明しているやり方だけが正しいやり方と主張しているわけではありません。複数の解法がある場合、どれが正しいやり方だなんてナンセンスなことは言うつもりもありませんし、私の場合はどの考え方でも説明できるようにはしています。
２種類の直角三角形が直角を共有して重なってできるくさび形の四角形において重なっている部分の面積を求める問題は様々な解き方があってどれもいろいろな問題への応用があって大変勉強になる問題です。相似を利用して高さを出して解く方法。相似を利用して辺の比を出して面積比から解く方法。消去算で解く方法。メネラウスの定理(中学受験的には禁じ手ですが)を使って解く方法など様々です。
こういった解法を教えることで補助線の引き方や消去算の式の導出の仕方、面積比の考え方など様々な問題を解く上での技法が学べるので私はよく取り上げます。
一見難しいと思われる問題をやさしい問題だと思わせるかも我々講師の腕の見せ所だと思っているんで、難しいと言う前に難しく思われないような方法を考えることのほうが余程有益なことではないでしょうか？
>11 KabuTaroさん
そうか、そういうことなんでしょうね。
９番発言で、たけぽんさんも言われているように、「（ある数に）置いたとたんにわかりやすくなる，と私は考えています。問題がパッと具体的になりますから。」
その通りだと思います。
私も、塾で教えていたときは、?や?、△２や△５などの「比」を使っていました。しかし、そのときは、本当は、2a,3aというふうに書きたいのだが、まだ文字式は使えないからな、などと心の底では思っていたのですが、それは、問題を解く上であまり本質的なこだわりではなかった、と今は思っています。
ツルカメ算やニュートン算などを特殊算と呼ぶことがありますが、これは方程式による解き方の普遍性に対する命名だと思います。これに対し、問題に出てくる数がその値だからこそ使える解き方は、個別算と呼べるのではないか、と以前、別の方との議論で書いたことがあります。
今回議論になっている、「問題を解くときに具体的な個別の数に置いて解く方法」も個別算と呼べる、いやこれこそ、個別算の名に相応しいと思います。
貶めて「個別算」と言っているのではなく、そういう解き方もありだな、とある意味蒙を啓かれた思いでの命名です。（以前も書きましたが、普遍、特殊、個別という名称は、へーゲル哲学に由来します。）
個別算に徹底すると、トピ題の問題は、次のように解けるかと思います。
「Ａは出発して１０分後にＣを追い越し、Ｂは出発して１２分後にＣを追い越した。
甲乙間の道のりが書いてないね。速さの公式は、「道のり÷時間」だから、１０と１２の公倍数の１２０ｍにしようか。でも、１０分や１２分歩くにしてはちょっと短すぎるな。１２００ｍにしてみようか。すると、１２００÷１０＝１２０、１２００÷１２＝１００。つまり、AさんはCさんより分速１２０ｍ速く、BさんはCさんより分速１００ｍ速いということだね。じゃ、Ｃさんの分速を適当に置いてみよう。分速１００ｍにしようか。時速６ｋｍだね、けっこう速いね。Ａさんは分速２２０ｍになるね、これは速いね。歩いているのではなく走っているか、自転車に乗っているんだね。Ｂさんは２００ｍ、これも速いね。でもこれでやってみよう。すると、ＡさんはＢさんより分速２０ｍ速い。で、ＢさんがＡさんのいる甲地点より、１２００ｍ先の乙地点から同時に出発するんだね。そうすると、１２００÷２０＝６０で、６０分後にＡさんはＢさんに追いつくんだね。」
分かりやすいし、答もあっている。
しかし、子どもの私がこの説明を受けたら、「でもそれは、そういう数に置いたからで、別の数にしたら答は違ってくるのではないの？」と疑ったでしょう。で、自分でいろいろな数に置き換えてやってみて、どういう数にしても答は同じになることを知って、不思議だな、どうしてそうなるんだろうと、その理由まで考えたかどうか。
?や?などの「比」を使うのは、上記の個別算とは違うと思いますが、最初に甲乙間を６０と置くところに個別算的発想があると思います。
繰り返しますが、個別算が悪いと言っているのではなく、「子ども」段階では、そういう思考方法こそ相応しいのだろうし、そうやって鍛えられた「地頭力」は、「大人」になってからも、柔軟な発想をする上で必要だと思います。しかし、如上の私の発言中に、個別算に対する「悪意」が感じられるとしたら、それは、私が心の底では個別算になじめないものを感じていることの表れでしょうから、いかんともしがたい・・・
そうか、そういうことなんでしょうね。
９番発言で、たけぽんさんも言われているように、「（ある数に）置いたとたんにわかりやすくなる，と私は考えています。問題がパッと具体的になりますから。」
その通りだと思います。
私も、塾で教えていたときは、?や?、△２や△５などの「比」を使っていました。しかし、そのときは、本当は、2a,3aというふうに書きたいのだが、まだ文字式は使えないからな、などと心の底では思っていたのですが、それは、問題を解く上であまり本質的なこだわりではなかった、と今は思っています。
ツルカメ算やニュートン算などを特殊算と呼ぶことがありますが、これは方程式による解き方の普遍性に対する命名だと思います。これに対し、問題に出てくる数がその値だからこそ使える解き方は、個別算と呼べるのではないか、と以前、別の方との議論で書いたことがあります。
今回議論になっている、「問題を解くときに具体的な個別の数に置いて解く方法」も個別算と呼べる、いやこれこそ、個別算の名に相応しいと思います。
貶めて「個別算」と言っているのではなく、そういう解き方もありだな、とある意味蒙を啓かれた思いでの命名です。（以前も書きましたが、普遍、特殊、個別という名称は、へーゲル哲学に由来します。）
個別算に徹底すると、トピ題の問題は、次のように解けるかと思います。
「Ａは出発して１０分後にＣを追い越し、Ｂは出発して１２分後にＣを追い越した。
甲乙間の道のりが書いてないね。速さの公式は、「道のり÷時間」だから、１０と１２の公倍数の１２０ｍにしようか。でも、１０分や１２分歩くにしてはちょっと短すぎるな。１２００ｍにしてみようか。すると、１２００÷１０＝１２０、１２００÷１２＝１００。つまり、AさんはCさんより分速１２０ｍ速く、BさんはCさんより分速１００ｍ速いということだね。じゃ、Ｃさんの分速を適当に置いてみよう。分速１００ｍにしようか。時速６ｋｍだね、けっこう速いね。Ａさんは分速２２０ｍになるね、これは速いね。歩いているのではなく走っているか、自転車に乗っているんだね。Ｂさんは２００ｍ、これも速いね。でもこれでやってみよう。すると、ＡさんはＢさんより分速２０ｍ速い。で、ＢさんがＡさんのいる甲地点より、１２００ｍ先の乙地点から同時に出発するんだね。そうすると、１２００÷２０＝６０で、６０分後にＡさんはＢさんに追いつくんだね。」
分かりやすいし、答もあっている。
しかし、子どもの私がこの説明を受けたら、「でもそれは、そういう数に置いたからで、別の数にしたら答は違ってくるのではないの？」と疑ったでしょう。で、自分でいろいろな数に置き換えてやってみて、どういう数にしても答は同じになることを知って、不思議だな、どうしてそうなるんだろうと、その理由まで考えたかどうか。
?や?などの「比」を使うのは、上記の個別算とは違うと思いますが、最初に甲乙間を６０と置くところに個別算的発想があると思います。
繰り返しますが、個別算が悪いと言っているのではなく、「子ども」段階では、そういう思考方法こそ相応しいのだろうし、そうやって鍛えられた「地頭力」は、「大人」になってからも、柔軟な発想をする上で必要だと思います。しかし、如上の私の発言中に、個別算に対する「悪意」が感じられるとしたら、それは、私が心の底では個別算になじめないものを感じていることの表れでしょうから、いかんともしがたい・・・
メタメタさん
メタメタさんのコメントを拝見させていただき，私なりに考えてみました。正しいかどうかわかりませんが，思ったことを素直に書かせていただきます。
>また、「よくわからない量をとりあえず何かとおく」考え方は、具体的な個別の数値で考える「子ども」段階の思考方法にはフィットしているわけですが、どうしても、苦し紛れという感じが否めず、入試問題としては、子どもに、抽象的な思考をたどることを中途で放棄させ、
メタメタさんがお感じになっている違和感は理解できます。しかし，子供達自身はほとんど違和感を持っていないような気がします。子供達にとっては，
問題がすぱっと解ける → 算数は楽しい
という，ただそれだけだと思います。
この問題で甲乙間を60と置くのも一種の「あてはめ」ですが，私は「あてはめ」解法には，「良いあてはめ」と「悪いあてはめ」があると思います。
「良いあてはめ」・・・問題がパッと解ける「具体化」
「悪いあてはめ」・・・問題を解くのにだらだらと時間のかかる単なる「試行錯誤」
この問題で甲乙間を60と置くのは「良いあてはめ」だと思います。
逆に，例えば，
※現在，母は39才，子供は11才です。母の年令が子供の年令の2倍になるのは今から何年後でしょう。
この問題を，3年後はどうだろう，9年後はどうだろう，・・・などと試行錯誤していくのは「悪いあてはめ」だと思います。
甲乙間を60と置いて解くのは，確かに数学的な証明にはなっていません。「この問題の答は甲乙間の距離に依存しない」を示すことが必要です。
しかし，そんなことを心配している子供を私は見たことがありません。子供自身が心配していない以上，私がそれに触れる必要はないし，触れるべきでもないと思います。また，だからこの解法は子供達にやらせるべきではないとも思いません。
そういう議論は中学以降にすることがむしろ子供の発達過程には合っていると思います。その際に，「小学生時代にどれだけ具体的な訓練を積んできたか」と，「算数を好きになれたか」が，抽象的な思考に順応できるかどうかの鍵になると思います。
メタメタさんのコメントを拝見させていただき，私なりに考えてみました。正しいかどうかわかりませんが，思ったことを素直に書かせていただきます。
>また、「よくわからない量をとりあえず何かとおく」考え方は、具体的な個別の数値で考える「子ども」段階の思考方法にはフィットしているわけですが、どうしても、苦し紛れという感じが否めず、入試問題としては、子どもに、抽象的な思考をたどることを中途で放棄させ、
メタメタさんがお感じになっている違和感は理解できます。しかし，子供達自身はほとんど違和感を持っていないような気がします。子供達にとっては，
問題がすぱっと解ける → 算数は楽しい
という，ただそれだけだと思います。
この問題で甲乙間を60と置くのも一種の「あてはめ」ですが，私は「あてはめ」解法には，「良いあてはめ」と「悪いあてはめ」があると思います。
「良いあてはめ」・・・問題がパッと解ける「具体化」
「悪いあてはめ」・・・問題を解くのにだらだらと時間のかかる単なる「試行錯誤」
この問題で甲乙間を60と置くのは「良いあてはめ」だと思います。
逆に，例えば，
※現在，母は39才，子供は11才です。母の年令が子供の年令の2倍になるのは今から何年後でしょう。
この問題を，3年後はどうだろう，9年後はどうだろう，・・・などと試行錯誤していくのは「悪いあてはめ」だと思います。
甲乙間を60と置いて解くのは，確かに数学的な証明にはなっていません。「この問題の答は甲乙間の距離に依存しない」を示すことが必要です。
しかし，そんなことを心配している子供を私は見たことがありません。子供自身が心配していない以上，私がそれに触れる必要はないし，触れるべきでもないと思います。また，だからこの解法は子供達にやらせるべきではないとも思いません。
そういう議論は中学以降にすることがむしろ子供の発達過程には合っていると思います。その際に，「小学生時代にどれだけ具体的な訓練を積んできたか」と，「算数を好きになれたか」が，抽象的な思考に順応できるかどうかの鍵になると思います。
自分が見てきた中で、「この子は比がわかってないな」と感じるところとしては、例えばある図形に線を引いて区切られた部分と、もとの区切る前の図形との面積比を問う問題なんかで、なにか無作為に選んだ辺の比を使った最小公倍数で全体をいくつって置く子が多かった、というあたりが特に感じたものです。
何のために最小公倍数を取っているのかを理解しないまま、単にそういうカンジで解いてる解答を見たり解説をされたりしてるからそうしてるだけで、だから必要な部分をピックアップして、それに対応した比で全体を置くということができていない。
もちろん、何と置いても計算はできるから答えは出せるし解けてもいるんだけれど、それだったら「１と置く」だけで良い。
なのに、意味のない最小公倍数を使ったり、それにより途中で計算がややこしくなったとしても簡単になるように修正できない。
最初に１とおいて、途中で１／３とか出てきたら、その時点で全体を３倍にして計算を楽にするとか、その辺がまったくできていない。
この辺をきちんと使いこなせてる子はあまり見なかったから、だから、「全体をなにかとおく」という考え方自体、ちゃんと理解できる子はどのくらいいるのかな？と思ったわけです。
何のために最小公倍数を取っているのかを理解しないまま、単にそういうカンジで解いてる解答を見たり解説をされたりしてるからそうしてるだけで、だから必要な部分をピックアップして、それに対応した比で全体を置くということができていない。
もちろん、何と置いても計算はできるから答えは出せるし解けてもいるんだけれど、それだったら「１と置く」だけで良い。
なのに、意味のない最小公倍数を使ったり、それにより途中で計算がややこしくなったとしても簡単になるように修正できない。
最初に１とおいて、途中で１／３とか出てきたら、その時点で全体を３倍にして計算を楽にするとか、その辺がまったくできていない。
この辺をきちんと使いこなせてる子はあまり見なかったから、だから、「全体をなにかとおく」という考え方自体、ちゃんと理解できる子はどのくらいいるのかな？と思ったわけです。
にゃーさん
>「解けること」と「理解していること」とは別だ、ということ。
「理解」というのも程度問題だと思います。にゃーさんがおっしゃるように，ちょっとでもひねられてしまうと解けなくなってしまうような薄っぺらい理解ではダメだと思います。
しかし，この問題において，甲乙間をどんな数値においたとしても答は一致することについては，小学生には「理解」する必要はないと思います。小学生段階では，「そうすればうまく」ということをうっすらと知っていれば十分ではないでしょうか。
例えば，「□÷分数」を「□×逆分数」に直して計算して良いことを「理解」している小学生は少ないと思います。お恥ずかしながら，私自身がこれを理解したのは，大学生になってからでした。しかし，何も問題はありませんでした。
私は，「理解している」と「本人なりにわかったと思っている」とがほぼ同義だと思っています。本人の納得が最重要。で，本人が納得するためには，「多少ひねられた程度でも問題が解けること」が必要だと思います。
もし多少ひねられたら解けなくなってしまうのでしたら，それはその問題パターンの解法が定着できていないわけですから，そのパターンをさらに指導すればよいだけだと思います。
できないことは１つ１つ丁寧にできるようにさせてあげる。このことの積み重ねが真の理解へとつながるのではないでしょうか。そいういう順番でもいいと私は思います。
>「解けること」と「理解していること」とは別だ、ということ。
「理解」というのも程度問題だと思います。にゃーさんがおっしゃるように，ちょっとでもひねられてしまうと解けなくなってしまうような薄っぺらい理解ではダメだと思います。
しかし，この問題において，甲乙間をどんな数値においたとしても答は一致することについては，小学生には「理解」する必要はないと思います。小学生段階では，「そうすればうまく」ということをうっすらと知っていれば十分ではないでしょうか。
例えば，「□÷分数」を「□×逆分数」に直して計算して良いことを「理解」している小学生は少ないと思います。お恥ずかしながら，私自身がこれを理解したのは，大学生になってからでした。しかし，何も問題はありませんでした。
私は，「理解している」と「本人なりにわかったと思っている」とがほぼ同義だと思っています。本人の納得が最重要。で，本人が納得するためには，「多少ひねられた程度でも問題が解けること」が必要だと思います。
もし多少ひねられたら解けなくなってしまうのでしたら，それはその問題パターンの解法が定着できていないわけですから，そのパターンをさらに指導すればよいだけだと思います。
できないことは１つ１つ丁寧にできるようにさせてあげる。このことの積み重ねが真の理解へとつながるのではないでしょうか。そいういう順番でもいいと私は思います。
トピ題の問題も、「予習シリーズ」にあるというその解説も、又聞きの又聞きで、私自身は、原文を見ていないのですが、どなたか原文で確認できる方がいたら、お願いしたいと思います。
おそらく、どこかの中学入試で実際に出た問題だと思うのですが、出題者の意図はどこにあったのでしょうか。
私は、予習シリーズの解説を知って、今の受験算数の（ハイ）レベルは、「追いつく時間の比」と「速さの差の比」が「逆比」になることも「常識」として要求しているのかと思ったのですが、どうもそういうことはないようですね。
すると、出題者が想定していることは、受験生がダイヤグラムか面積図を使って解くことができるかどうかを見たいということでしょうか。あるいは、単に難しい問題を出して、受験生をふるいにかけたかったのでしょうか。
この問題の難易度が一気に高まるのは、甲乙間の道のりが提示されていないからで、ふつうは、数値が提示されていないところは、それが問題になる。しかし、トピ題の場合は、提示されていない甲乙間の道のりは何でも良かった。それに気がついて、自分でその道のりを適当に決めてしまえば、問題はずっとやさしくなって、中レベルの問題になる。裏技的テクニックですね。
出題者は受験生に、この裏技に気が付ける地頭力を要求していたのでしょうか。少なくとも、予習シリーズの解説者は、そうは解説していないようですし、私も問題解説をするときに、この裏技を一番目にもってくることには抵抗があります（そもそもその解き方に気が付かなかったし・・・）。やはり裏技的なものは、２番目か３番目の解法として紹介するでしょう。
しかし、この裏技は見事に強力ですね。
逆に言えば、こんな裏技の前に一気に戦闘能力が落ちる見掛け倒しの問題を、出題者には出してほしくないと思う。
問題の一部の数値が書かれていないことだけで、まともに解こうとすると格段に難度が高まる問題は、自分で勝手に数値を決めてしまえば良いという裏技は、どんどん使ってしまって良いと思う。ただ、それはメインストリートではなく、裏道であって、とりあえず、それで入試の難「門」を突破してしまって、中学・高校でメインストリートの解法を理解していけば良いのでは、とも考えます。
おそらく、どこかの中学入試で実際に出た問題だと思うのですが、出題者の意図はどこにあったのでしょうか。
私は、予習シリーズの解説を知って、今の受験算数の（ハイ）レベルは、「追いつく時間の比」と「速さの差の比」が「逆比」になることも「常識」として要求しているのかと思ったのですが、どうもそういうことはないようですね。
すると、出題者が想定していることは、受験生がダイヤグラムか面積図を使って解くことができるかどうかを見たいということでしょうか。あるいは、単に難しい問題を出して、受験生をふるいにかけたかったのでしょうか。
この問題の難易度が一気に高まるのは、甲乙間の道のりが提示されていないからで、ふつうは、数値が提示されていないところは、それが問題になる。しかし、トピ題の場合は、提示されていない甲乙間の道のりは何でも良かった。それに気がついて、自分でその道のりを適当に決めてしまえば、問題はずっとやさしくなって、中レベルの問題になる。裏技的テクニックですね。
出題者は受験生に、この裏技に気が付ける地頭力を要求していたのでしょうか。少なくとも、予習シリーズの解説者は、そうは解説していないようですし、私も問題解説をするときに、この裏技を一番目にもってくることには抵抗があります（そもそもその解き方に気が付かなかったし・・・）。やはり裏技的なものは、２番目か３番目の解法として紹介するでしょう。
しかし、この裏技は見事に強力ですね。
逆に言えば、こんな裏技の前に一気に戦闘能力が落ちる見掛け倒しの問題を、出題者には出してほしくないと思う。
問題の一部の数値が書かれていないことだけで、まともに解こうとすると格段に難度が高まる問題は、自分で勝手に数値を決めてしまえば良いという裏技は、どんどん使ってしまって良いと思う。ただ、それはメインストリートではなく、裏道であって、とりあえず、それで入試の難「門」を突破してしまって、中学・高校でメインストリートの解法を理解していけば良いのでは、とも考えます。
整理すると、トピ題の速さの問題については、次のような解法が考えられるようです。
（１）方程式。
小学生には禁じ手で、中学生にも困難で、高校生の問題になるでしょう。
未知数が４つ（甲乙間の道のり、Ａ，Ｂ，Ｃの速さ）で２つの方程式を立てるか、未知数３つ（甲乙間の道のり、ＡＢの速さの差，ＢＣの速さの差）で２つの方程式を立てる。どちらにしろ、解は１通りにならない不定方程式になる。
（２）ダイヤグラム。
補助線（Ａのダイヤグラム、Ｂのダイヤグラムの平行線）を引いて、三角形の相似を利用する。
（３）面積図。
甲乙間の道のりを表す長方形の面積が等しいことから、縦横の長さの比を利用する。
（４）逆比。
「追いつく時間の比」と「速さの差の比」の「逆比」関係。
（ＡがＣに追いつく時間）：（ＢがＣに追いつく時間）＝10分：12分＝5：6
→（ＡとＣの速さの差）：（ＢとＣの速さの差）＝6：5
→（ＡとＢの速さの差）＝1
→（ＡとＢの速さの差）：（ＡとＣの速さの差）＝1：6
→（ＡがＢに追いつく時間）：（ＡがＣに追いつく時間）＝6：1＝60分：10分
→ 答。60分
（５）数のあてはめ。
不明な条件の数値に個別の数値を与える。この問題では、甲乙間を６０とする。
こんなところでしょうか。まだあるでしょうか。
「４番にゃーさん発言」の線分図も、線分図を情景図（ヒント）として、（４）の「逆比」に思い至るもののようです。
出題者の意図は、（４）逆比だったのでしょうか。
しかし、この問題は、（５）数のあてはめ、というウラワザで見事に解けてしまう。
私のこの問題に対する意見（評価）は、中学入試問題として小学生に解かせるにはいささか不適当な問題である。出題者が意図的に難しくしたこんな問題は、ウラワザでも何でもいいから解いてしまって、この問題の構造については、中学・高校で方程式を学んだときに、あらためて考えればいいのではないか、ということです。
（１）方程式。
小学生には禁じ手で、中学生にも困難で、高校生の問題になるでしょう。
未知数が４つ（甲乙間の道のり、Ａ，Ｂ，Ｃの速さ）で２つの方程式を立てるか、未知数３つ（甲乙間の道のり、ＡＢの速さの差，ＢＣの速さの差）で２つの方程式を立てる。どちらにしろ、解は１通りにならない不定方程式になる。
（２）ダイヤグラム。
補助線（Ａのダイヤグラム、Ｂのダイヤグラムの平行線）を引いて、三角形の相似を利用する。
（３）面積図。
甲乙間の道のりを表す長方形の面積が等しいことから、縦横の長さの比を利用する。
（４）逆比。
「追いつく時間の比」と「速さの差の比」の「逆比」関係。
（ＡがＣに追いつく時間）：（ＢがＣに追いつく時間）＝10分：12分＝5：6
→（ＡとＣの速さの差）：（ＢとＣの速さの差）＝6：5
→（ＡとＢの速さの差）＝1
→（ＡとＢの速さの差）：（ＡとＣの速さの差）＝1：6
→（ＡがＢに追いつく時間）：（ＡがＣに追いつく時間）＝6：1＝60分：10分
→ 答。60分
（５）数のあてはめ。
不明な条件の数値に個別の数値を与える。この問題では、甲乙間を６０とする。
こんなところでしょうか。まだあるでしょうか。
「４番にゃーさん発言」の線分図も、線分図を情景図（ヒント）として、（４）の「逆比」に思い至るもののようです。
出題者の意図は、（４）逆比だったのでしょうか。
しかし、この問題は、（５）数のあてはめ、というウラワザで見事に解けてしまう。
私のこの問題に対する意見（評価）は、中学入試問題として小学生に解かせるにはいささか不適当な問題である。出題者が意図的に難しくしたこんな問題は、ウラワザでも何でもいいから解いてしまって、この問題の構造については、中学・高校で方程式を学んだときに、あらためて考えればいいのではないか、ということです。
>17,18
問題の原文が手に入りました。
「予習シリーズ」五年下のテスト形成の練習問題の中の大問１番の中に小問が４題あって、その最後の（４）です。小問扱いなんだ！！
解説を見ても、やはり、「速さの差の逆比」をあたりまえのように使って説明している。
う〜む、速さと「かかる」時間の逆比関係だけでなく、速さの「差」と「追いつく」時間の逆比関係も「常識」扱いだな。
確かに、一度教えれば理解する生徒は理解するだろうし、一度やっておけば二度目は楽だろうが、う〜みゅ、受験算数はここまで来ているのか・・・
ウラワザはやはりウラワザでしかないということなのだろうか？？？
日本の受験算数文化では？？
問題の原文が手に入りました。
「予習シリーズ」五年下のテスト形成の練習問題の中の大問１番の中に小問が４題あって、その最後の（４）です。小問扱いなんだ！！
解説を見ても、やはり、「速さの差の逆比」をあたりまえのように使って説明している。
う〜む、速さと「かかる」時間の逆比関係だけでなく、速さの「差」と「追いつく」時間の逆比関係も「常識」扱いだな。
確かに、一度教えれば理解する生徒は理解するだろうし、一度やっておけば二度目は楽だろうが、う〜みゅ、受験算数はここまで来ているのか・・・
ウラワザはやはりウラワザでしかないということなのだろうか？？？
日本の受験算数文化では？？
予習シリーズの問題と解答解説の原文です。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
( 4 ) A 地点, B 地点, C 地点が一本の道上にあります。この道を太郎君と次郎君がA から, 三郎君はBからC に向かって3人同時に出発すると, 太郎君は10分後, 次部君は12分後に三郎君に追いつきます。太郎君がA から, 次郎君はB からC に向かつて２人同時に出発すると太郎君は何分で次郎君に追いつきますか。
(4)「分速の差」の比(太郎−三郎：次郎−三郎) は,
1/10：1/12 ＝ 6：5
このとき,太郎と次郎の分速の差(太郎−次郎)は,
6−5 ＝1
となります。A 地点を出発した人がB 地点を出発した人に追いつくのにかかる時間は, 2 人の分速の差が6(太郎−三郎)のとき10分ですから,分速の差が1(太郎−次郎)のときは,
10×6＝60(分)
となります。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
「甲乙間を60とすると」というウラワザは、口頭で説明するのは全然構わないし、活字としても別解として載せる価値はあると思う。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
( 4 ) A 地点, B 地点, C 地点が一本の道上にあります。この道を太郎君と次郎君がA から, 三郎君はBからC に向かって3人同時に出発すると, 太郎君は10分後, 次部君は12分後に三郎君に追いつきます。太郎君がA から, 次郎君はB からC に向かつて２人同時に出発すると太郎君は何分で次郎君に追いつきますか。
(4)「分速の差」の比(太郎−三郎：次郎−三郎) は,
1/10：1/12 ＝ 6：5
このとき,太郎と次郎の分速の差(太郎−次郎)は,
6−5 ＝1
となります。A 地点を出発した人がB 地点を出発した人に追いつくのにかかる時間は, 2 人の分速の差が6(太郎−三郎)のとき10分ですから,分速の差が1(太郎−次郎)のときは,
10×6＝60(分)
となります。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
「甲乙間を60とすると」というウラワザは、口頭で説明するのは全然構わないし、活字としても別解として載せる価値はあると思う。
>24
「私の18番発言の（４）と（５）の区別は、「分からないものを１と置く」という、受験算数でごく一般的にやられているものを考えれば、区別する必要がなかったというわけですね。」
と書いたが、もう一回、考えてみたら、やはり、区別は必要だったらしい。
２３番にゃーさん発言の、「予習シリーズは分数を使っているあたり、どっちの考え方で行ったのかな（１とおくことを意識したのか、単に逆数にしたかっただけなのか）って思いますが。。」
も踏まえて、もう一度、予習シリーズの解法を見直してみる。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝（予習シリーズ）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
(4)「分速の差」の比(太郎−三郎：次郎−三郎) は,
1/10：1/12 ＝ 6：5
このとき,太郎と次郎の分速の差(太郎−次郎)は,
6−5 ＝1
となります。A 地点を出発した人がB 地点を出発した人に追いつくのにかかる時間は, 2 人の分速の差が6(太郎−三郎)のとき10分ですから,分速の差が1(太郎−次郎)のときは,
10×6＝60(分)
となります。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
「逆比」を利用する解法は、分子が１の「逆数の比」を考えているわけですから、1/10、1/12のように、「分からないものを１と置く」やり方と同じ形が出てくる。
しかし、この二つの解法は、混同するとおかしなことになる。（予習シリーズの原文のＡ地点・Ｂ地点は、甲地点・乙地点、太郎・次郎・三郎は、Ａ・Ｂ・Ｃに戻します。）
つまり、「１と置く」解法は、最後まで、それで通さないとまずい。甲乙間を「１と置く」と、ＡＢの速さの差は分速1/10、ＢＣの速さの差は分速1/12。したがって、ＡＢの速さの差は分速1/60。よって、ＡがＢに追いつくのは、１÷1/60＝60分となる。これを、途中で、1/10：1/12＝６：５だから、ＡＢの速さの差は１。よって、ＡがＢに追いつくのは、１÷１＝１分とやっては、当然いけない。
というようなことを考えて、予習シリーズの解法を見直すと、「1/10：1/12 ＝ 6：5」というのは、甲乙間を「１と置く」やり方ではなく、時間の逆数の比をとる「逆比」のやり方だということがわかるし、最後までそれで通している。「追いつくのにかかる時間は, 2人の分速の差が6のとき10分ですから,分速の差が1のときは, 60分となります。」と、逆比関係から求めている。決して、甲乙間の１÷速さの差１、という式からは求めていない。
というわけで、「分子が１の分数」という同じ形が出てくるが、「逆比」の解法と「１と置く」解法は、やはり区別した方が良いようだ。
で、「１と置く」方は、「１と置く」と分数が出てくるから、最小公倍数など適当な数に置いて良い。ただ、この場合は、「逆比」など「比」の解法を途中で混ぜない方が良い。（「比」を混ぜたら、後できちんと戻せば良いのだが、それを忘れる危険性が高い。）たとえば、10分と12分だから、時間の比が５：６。速さの差の比は、６：５。したがって、ＡＢの速さの差は１。甲乙間を５と６の最小公倍数３０と置こう。３０÷１＝３０分。などとやりかねない。
「分からないものをある数に置く」やり方は、「１と置く」のが、受験算数でよく見られる解法でしょうが、２番たけぽんさん発言にあったように、「６０ｍ」という実数に置いてしまって構わないし、それは、この種の問題をクリアする極めて有効なウラワザだったのでした。
「私の18番発言の（４）と（５）の区別は、「分からないものを１と置く」という、受験算数でごく一般的にやられているものを考えれば、区別する必要がなかったというわけですね。」
と書いたが、もう一回、考えてみたら、やはり、区別は必要だったらしい。
２３番にゃーさん発言の、「予習シリーズは分数を使っているあたり、どっちの考え方で行ったのかな（１とおくことを意識したのか、単に逆数にしたかっただけなのか）って思いますが。。」
も踏まえて、もう一度、予習シリーズの解法を見直してみる。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝（予習シリーズ）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
(4)「分速の差」の比(太郎−三郎：次郎−三郎) は,
1/10：1/12 ＝ 6：5
このとき,太郎と次郎の分速の差(太郎−次郎)は,
6−5 ＝1
となります。A 地点を出発した人がB 地点を出発した人に追いつくのにかかる時間は, 2 人の分速の差が6(太郎−三郎)のとき10分ですから,分速の差が1(太郎−次郎)のときは,
10×6＝60(分)
となります。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
「逆比」を利用する解法は、分子が１の「逆数の比」を考えているわけですから、1/10、1/12のように、「分からないものを１と置く」やり方と同じ形が出てくる。
しかし、この二つの解法は、混同するとおかしなことになる。（予習シリーズの原文のＡ地点・Ｂ地点は、甲地点・乙地点、太郎・次郎・三郎は、Ａ・Ｂ・Ｃに戻します。）
つまり、「１と置く」解法は、最後まで、それで通さないとまずい。甲乙間を「１と置く」と、ＡＢの速さの差は分速1/10、ＢＣの速さの差は分速1/12。したがって、ＡＢの速さの差は分速1/60。よって、ＡがＢに追いつくのは、１÷1/60＝60分となる。これを、途中で、1/10：1/12＝６：５だから、ＡＢの速さの差は１。よって、ＡがＢに追いつくのは、１÷１＝１分とやっては、当然いけない。
というようなことを考えて、予習シリーズの解法を見直すと、「1/10：1/12 ＝ 6：5」というのは、甲乙間を「１と置く」やり方ではなく、時間の逆数の比をとる「逆比」のやり方だということがわかるし、最後までそれで通している。「追いつくのにかかる時間は, 2人の分速の差が6のとき10分ですから,分速の差が1のときは, 60分となります。」と、逆比関係から求めている。決して、甲乙間の１÷速さの差１、という式からは求めていない。
というわけで、「分子が１の分数」という同じ形が出てくるが、「逆比」の解法と「１と置く」解法は、やはり区別した方が良いようだ。
で、「１と置く」方は、「１と置く」と分数が出てくるから、最小公倍数など適当な数に置いて良い。ただ、この場合は、「逆比」など「比」の解法を途中で混ぜない方が良い。（「比」を混ぜたら、後できちんと戻せば良いのだが、それを忘れる危険性が高い。）たとえば、10分と12分だから、時間の比が５：６。速さの差の比は、６：５。したがって、ＡＢの速さの差は１。甲乙間を５と６の最小公倍数３０と置こう。３０÷１＝３０分。などとやりかねない。
「分からないものをある数に置く」やり方は、「１と置く」のが、受験算数でよく見られる解法でしょうが、２番たけぽんさん発言にあったように、「６０ｍ」という実数に置いてしまって構わないし、それは、この種の問題をクリアする極めて有効なウラワザだったのでした。
全く同じ問題を扱いましたが、線分図を書いて、甲〜乙を□として。
□÷（Ａ−Ｃ）＝10、□÷（Ｂ−Ｃ）＝12→Ａ−Ｃ：Ｂ−Ｃ＝?：?
元に戻すと（どちらでも良いですが）□＝○60
○60÷（Ａ−Ｂ）＝？←これを求めたい
Ａ−Ｂは、同じＣを引いているので、差はＣがあろうがなかろうが関係なくＡ−Ｂ＝?
↑この考え方は処々で出題されるので、どの道覚えないとダメかと。
よって、○60÷?＝60分（答）
と、すると最小公倍数で求める愚も犯さないし、公式にあてはめるだけでゆけるし、ゆくゆくxやyと置くときにも応用できると思いますよ。確かに実数で置いて考えるのもありっちゃありですが、比の本質を見失う可能性が高いので私はあえて比なんだよ〜ということを徹底しています。
ダイアグラムはともかく、面積図等の「数式を図形化して処理する」のは、今の子は図式化も苦手ならば、元々数式だったのになんで図にするのん？と納得しないところがあるので、教えないのが最近の流行らしいよ〜と上司に聞きました。
□÷（Ａ−Ｃ）＝10、□÷（Ｂ−Ｃ）＝12→Ａ−Ｃ：Ｂ−Ｃ＝?：?
元に戻すと（どちらでも良いですが）□＝○60
○60÷（Ａ−Ｂ）＝？←これを求めたい
Ａ−Ｂは、同じＣを引いているので、差はＣがあろうがなかろうが関係なくＡ−Ｂ＝?
↑この考え方は処々で出題されるので、どの道覚えないとダメかと。
よって、○60÷?＝60分（答）
と、すると最小公倍数で求める愚も犯さないし、公式にあてはめるだけでゆけるし、ゆくゆくxやyと置くときにも応用できると思いますよ。確かに実数で置いて考えるのもありっちゃありですが、比の本質を見失う可能性が高いので私はあえて比なんだよ〜ということを徹底しています。
ダイアグラムはともかく、面積図等の「数式を図形化して処理する」のは、今の子は図式化も苦手ならば、元々数式だったのになんで図にするのん？と納得しないところがあるので、教えないのが最近の流行らしいよ〜と上司に聞きました。
>26
「面積図等の「数式を図形化して処理する」のは、今の子は図式化も苦手ならば、元々数式だったのになんで図にするのん？と納得しないところがあるので、教えないのが最近の流行らしいよ〜と上司に聞きました。」
なるほど。最近のことは知らないので、参考になります。
確かに、面積図は、方程式をすでに習っている「大人」が方程式を使わずに難しい文章題を解くときに、面積図があることを知ると、感激する方法ですが、方程式を知らないし、まして知らない方法が禁じられていることも知らない「子供」にしてみれば、なんでこんな図を描くのと思うこともあるんでしょうね。
＊註１ 面積図が有効な「難しい文章題」とは、「１あたり量」「内包量」が出てくる問題ですね。
＊註２ 面積図に感激する大人は、私もそうでしたし、私が教えた生徒の親もそうでした。生徒の方ではなく母親の方でした。また、『父親が教えるツルカメ算』（新潮新書）で三田誠広氏も、後藤卓也氏の『秘伝の算数』で、ツルカメ算を面積図を解くことを知った感激を記しています。ツルカメ算の面積図は江戸時代からあるから、江戸時代の人も面積図に感心していたと思います。
しかし、大人になって方程式を知ってからも、どういう方程式を立てたらいいのか分からなくなったときに、面積図を描いて、立てるべき方程式が分かったということがありましたし、面積図は、問題の構造を見通す上で、きわめて有効な思考ツールで、これは教える価値はあると信じています。
「面積図等の「数式を図形化して処理する」のは、今の子は図式化も苦手ならば、元々数式だったのになんで図にするのん？と納得しないところがあるので、教えないのが最近の流行らしいよ〜と上司に聞きました。」
なるほど。最近のことは知らないので、参考になります。
確かに、面積図は、方程式をすでに習っている「大人」が方程式を使わずに難しい文章題を解くときに、面積図があることを知ると、感激する方法ですが、方程式を知らないし、まして知らない方法が禁じられていることも知らない「子供」にしてみれば、なんでこんな図を描くのと思うこともあるんでしょうね。
＊註１ 面積図が有効な「難しい文章題」とは、「１あたり量」「内包量」が出てくる問題ですね。
＊註２ 面積図に感激する大人は、私もそうでしたし、私が教えた生徒の親もそうでした。生徒の方ではなく母親の方でした。また、『父親が教えるツルカメ算』（新潮新書）で三田誠広氏も、後藤卓也氏の『秘伝の算数』で、ツルカメ算を面積図を解くことを知った感激を記しています。ツルカメ算の面積図は江戸時代からあるから、江戸時代の人も面積図に感心していたと思います。
しかし、大人になって方程式を知ってからも、どういう方程式を立てたらいいのか分からなくなったときに、面積図を描いて、立てるべき方程式が分かったということがありましたし、面積図は、問題の構造を見通す上で、きわめて有効な思考ツールで、これは教える価値はあると信じています。
>>27
「わからなければ実数で置けば良い」と堂々と教えるよりは数倍マシだと思いますよ。
全く生徒が比の本質を理解していないということをおおっぴらにしているだけでしかありません。
確かに中学受験を経験していない人が、この面積図の存在を知ると例外なく感心します。
しかしながら、面積図とは即ち中2の連立方程式を解くためのツールであり、別段中1の方程式を解くツールである線分図の延長線上であり、「慣れれば便利だけれども、別にどちらでも良い」ものです。
どうしてもそれでなければ解けない問題はつるかめ算の難問で、中学の3元1次連立方程式に相当する問題だけです。むしろ、この図を書き慣れ、問題によって線分図と使い分け、運用していく方が余程の手間だし、そもそも図式化の能力が低下している現在は教えない方が賢明と判断されているためです。まぁ、優秀な子には私も喜々として教えますよ。
余談ですが、他塾や他講師を卑下する塾講師に中学受験時代に私も当たったことがありますが。例外なくさまざまな手法で問題を処理できる「自分に酔っているだけ」で、しまいに必ず問題を起こして各教室からやっかい払いをされておりました。
>>30 メタメタ先生
厳密もなにも、予習シリーズ5年下に出ている方法です( ;´･ω･`）
本当は平均の速さなども?t等を使って解説するのが「数学的」なのかもしれませんが、必ずしも中学受験に必要なのは数学的思考ではないと私は思います。苦手な子もやはり多いですから、その子が解ける方法を思案するのが賢明かと存じます。
「わからなければ実数で置けば良い」と堂々と教えるよりは数倍マシだと思いますよ。
全く生徒が比の本質を理解していないということをおおっぴらにしているだけでしかありません。
確かに中学受験を経験していない人が、この面積図の存在を知ると例外なく感心します。
しかしながら、面積図とは即ち中2の連立方程式を解くためのツールであり、別段中1の方程式を解くツールである線分図の延長線上であり、「慣れれば便利だけれども、別にどちらでも良い」ものです。
どうしてもそれでなければ解けない問題はつるかめ算の難問で、中学の3元1次連立方程式に相当する問題だけです。むしろ、この図を書き慣れ、問題によって線分図と使い分け、運用していく方が余程の手間だし、そもそも図式化の能力が低下している現在は教えない方が賢明と判断されているためです。まぁ、優秀な子には私も喜々として教えますよ。
余談ですが、他塾や他講師を卑下する塾講師に中学受験時代に私も当たったことがありますが。例外なくさまざまな手法で問題を処理できる「自分に酔っているだけ」で、しまいに必ず問題を起こして各教室からやっかい払いをされておりました。
>>30 メタメタ先生
厳密もなにも、予習シリーズ5年下に出ている方法です( ;´･ω･`）
本当は平均の速さなども?t等を使って解説するのが「数学的」なのかもしれませんが、必ずしも中学受験に必要なのは数学的思考ではないと私は思います。苦手な子もやはり多いですから、その子が解ける方法を思案するのが賢明かと存じます。
>32黒マル◆TDjMKYvHSさん
「しかしながら、面積図とは即ち中2の連立方程式を解くためのツールであり、別段中1の方程式を解くツールである線分図の延長線上であり、「慣れれば便利だけれども、別にどちらでも良い」ものです。」
誤解されているところがあるのでしょうか。
面積図か線分図かの区別は、未知数の数（連立なら面積図、一元一次なら線分図）によるのではなく、「一あたり量」や「内包量」が出てくる問題なら面積図、外延量の加減や倍の問題なら線分図というのが、基本のはずです。つまり、濃度や速さ（中１で出てくる旅人算など）、ツルカメ算、過不足算、ニュートン算などが面積図、未知数が２つでも和差算や年齢算などは線分図ですむはずです。
「余談ですが、他塾や他講師を卑下する塾講師に中学受験時代に私も当たったことがありますが。例外なくさまざまな手法で問題を処理できる「自分に酔っているだけ」で、しまいに必ず問題を起こして各教室からやっかい払いをされておりました。」
確かに予断に満ちた余談ですね。
「さまざまな手法で問題を処理できる」ことは重要です。自分自身が「さまざまな手法」をカードとして持っているだけでなく、生徒が次々にひねりだす「さまざまな手法」を、そのつど受容しアドバイスできることは、算数・数学講師の必須条件でしょう。
「さまざまな手法で問題を処理できる」ことと、「他塾や他講師を卑下すること」や「自分に酔うこと」との間には正も負も相関関係はないでしょう。
「厳密もなにも、予習シリーズ5年下に出ている方法です」
速さを表す比と、道のりを表す比とを、同じ○で表しているとしたら、予習シリーズのその部分は問題でしょう。ミスプリか、校閲チェック漏れだと思われます。
違う種類の比を、○や△や□で使い分けるのは、塾講師の見せ場の一つでしょうに。
「本当は平均の速さなども?t等を使って解説するのが「数学的」なのかもしれませんが、必ずしも中学受験に必要なのは数学的思考ではないと私は思います。」
これはその通りだと思います。「子供」に不必要な厳密性を求める必要はまったくありません。ただ、語感や数感が敏感な生徒に不必要な混乱をもたらしかねない説明はすべきではありません。
「苦手な子もやはり多いですから、その子が解ける方法を思案するのが賢明かと存じます。」
これもその通りだと思います。だからこそ、今回の問題のように、条件が欠落しているところに「実数」を与えてしまうという「ウラワザ」もあり、だと思います。
26番の黒マルさん発言の方法は、甲乙間を先ず□と置いて、比を求めてから□を「○60」とする。
１番のKabuTaroさん発言や、２番のたけぽんさん発言は、甲乙間を初めから「60」や「60ｍ」と置いてしまう方法で、両方ともあり、だと思います。
「しかしながら、面積図とは即ち中2の連立方程式を解くためのツールであり、別段中1の方程式を解くツールである線分図の延長線上であり、「慣れれば便利だけれども、別にどちらでも良い」ものです。」
誤解されているところがあるのでしょうか。
面積図か線分図かの区別は、未知数の数（連立なら面積図、一元一次なら線分図）によるのではなく、「一あたり量」や「内包量」が出てくる問題なら面積図、外延量の加減や倍の問題なら線分図というのが、基本のはずです。つまり、濃度や速さ（中１で出てくる旅人算など）、ツルカメ算、過不足算、ニュートン算などが面積図、未知数が２つでも和差算や年齢算などは線分図ですむはずです。
「余談ですが、他塾や他講師を卑下する塾講師に中学受験時代に私も当たったことがありますが。例外なくさまざまな手法で問題を処理できる「自分に酔っているだけ」で、しまいに必ず問題を起こして各教室からやっかい払いをされておりました。」
確かに予断に満ちた余談ですね。
「さまざまな手法で問題を処理できる」ことは重要です。自分自身が「さまざまな手法」をカードとして持っているだけでなく、生徒が次々にひねりだす「さまざまな手法」を、そのつど受容しアドバイスできることは、算数・数学講師の必須条件でしょう。
「さまざまな手法で問題を処理できる」ことと、「他塾や他講師を卑下すること」や「自分に酔うこと」との間には正も負も相関関係はないでしょう。
「厳密もなにも、予習シリーズ5年下に出ている方法です」
速さを表す比と、道のりを表す比とを、同じ○で表しているとしたら、予習シリーズのその部分は問題でしょう。ミスプリか、校閲チェック漏れだと思われます。
違う種類の比を、○や△や□で使い分けるのは、塾講師の見せ場の一つでしょうに。
「本当は平均の速さなども?t等を使って解説するのが「数学的」なのかもしれませんが、必ずしも中学受験に必要なのは数学的思考ではないと私は思います。」
これはその通りだと思います。「子供」に不必要な厳密性を求める必要はまったくありません。ただ、語感や数感が敏感な生徒に不必要な混乱をもたらしかねない説明はすべきではありません。
「苦手な子もやはり多いですから、その子が解ける方法を思案するのが賢明かと存じます。」
これもその通りだと思います。だからこそ、今回の問題のように、条件が欠落しているところに「実数」を与えてしまうという「ウラワザ」もあり、だと思います。
26番の黒マルさん発言の方法は、甲乙間を先ず□と置いて、比を求めてから□を「○60」とする。
１番のKabuTaroさん発言や、２番のたけぽんさん発言は、甲乙間を初めから「60」や「60ｍ」と置いてしまう方法で、両方ともあり、だと思います。
あえて地雷を踏む私。（笑）
＞１番のKabuTaroさん発言や、２番のたけぽんさん発言は、甲乙間を初めから「60」や「60ｍ」と置いてしまう方法で、両方ともあり、だと思います。
誤解があると思うんですが、「６０と置く」と書いたのは別に６０ｍの意味でなく、たけぽんさんの記法で言えば○６０という意味であってほとんどのテキストに載っている極普通にやられている手法です。別に裏技でも何でもありません。
んなもん割合なんですから○５と置こうが○７と置こうがどうでも良い話です。記号として○や□の中に数字を書いてわからない量を適当に置くということは仕事算にしろニュートン算にしろ極普通にやられていることで、数え切れないほどの生徒に教えてますが特に問題は生じていません。
メタメタさんご指摘の「速さの差の比の逆比が時間の比になる」という類の問題は最近行われた四谷の模試やSAPIXのテストにも出ています。四谷の合不合判定（女子）の第４回にも流水算との融合問題として登場していて、そこでは「速さの差と速さの和の逆比が時間の比になる」という関係を使って解かせる問題になっているのですが、私が担当している子で解説の意味がわからないと私に聞きに来ています。
要は、出会いと追いかけの旅人算においてどちらも同じ距離だけ離れる、あるいは縮まるのに掛かる時間の比は速さの和と速さの差の逆比になるということが何故なのかわからなかったようで、これは距離が同じときに速さの逆比が時間比になることを説明するときと同様にこの距離を適当に○１と置くなり整数比がすぐに出てくるように適当に最小公倍数に置くなりして比をとれば確かに逆比になることとして納得してしまってます。それを知識化して簡略して書かれているのが模試や赤本等に書かれている解説になります。
分母にＡ−Ｃを持ってきたり、そこからすぐにＡ−Ｃ：Ｂ−Ｃなどと式変形してしまったりと、小学生に対する説明とは思えない経験の浅さを露呈した文章を書いておいて、極普通にやられている一般的な手法に対して愚行などと言ってるようでは、指導力がどの程度なのかすぐにわかってしまいますし、上司を持ち出して「数式を図にしないのが最近の流行らしいよ」などと言ってる時点で、その塾の中学受験の指導力がどの程度なのかもわかってしまいますね。
私が指導している子は面積図を描いて計算する子もいますし、面積図を書かずにすぐに計算式を書いてやってしまう子もいます。その子のやり方に合わせて指導できるようにいろんな手法を知っておくことは必要なことだと実感してます。市進の子のつるかめ算の計算の仕方は面積図ではなくある種独特のものがありますけど、それをわざわざ否定して面積図でやれとは言いませんし、その子が塾で教わった方法に合わせて考えられるようにフォローしているんで、引き出しは多いほうが良いと私は思っています。
教科に対する研究心のない先生ほど流行がどうだとかそんな定かでもないようなことに左右されやすく軸足の定まらない指導になってしまうんですね。流行がどうだとかいうことよりも目の前の生徒がその説明で実際に理解できるのか？そこが一番大切なのであって、リアクションを見て式だけの説明だと拒否反応を示す場合は図にしてみるとか、図を描かなくても十分理解できる子はショートカットしてしまってより応用的な問題に取り組ませるとか、生徒によって対応を変えることは良くやることだしそれができないならそもそも教える職業には向いていないと私なんかは思ってしまいます。
多くの子供はここで議論されているような厳密性に拘っているわけでなく、極論すれば”解けるようになりたい”それだけなんです。そのためには理解しやすく解く際に方針も定まりやすく応用性高い手法でないとなかなか定着させることはできません。
たけぽんさんの投稿は実際に指導されている先生の言葉だということはすぐにわかりますが、他の方の投稿はあまりに観念的で子供たちの視点がまるでない、私から言わせれば重箱の隅の議論にしか見えません。
にゃーさんのように自分の特殊な感覚を多くの子も同じだと勘違いしている方もおられますが、実際に子供たちと接している先生ならにゃーさんが心配しているようなことはほとんど問題になっていないことは容易にわかることなんで、自分がそうだから人もそうだという安易な発想は捨てて、自分はそうだけど人は違うってスタンスでいたほうが良いんじゃないかって、こういう議論を見るにつけいつも思うことです。
なんか自分で地雷を踏みまくってしまいましたね。（笑）
と言いつつ自分もたくさん地雷を撒いてしまったか！ｗｗｗ
まぁ、私を辛辣に批判してどんどん盛り上がってください。（笑）
＞１番のKabuTaroさん発言や、２番のたけぽんさん発言は、甲乙間を初めから「60」や「60ｍ」と置いてしまう方法で、両方ともあり、だと思います。
誤解があると思うんですが、「６０と置く」と書いたのは別に６０ｍの意味でなく、たけぽんさんの記法で言えば○６０という意味であってほとんどのテキストに載っている極普通にやられている手法です。別に裏技でも何でもありません。
んなもん割合なんですから○５と置こうが○７と置こうがどうでも良い話です。記号として○や□の中に数字を書いてわからない量を適当に置くということは仕事算にしろニュートン算にしろ極普通にやられていることで、数え切れないほどの生徒に教えてますが特に問題は生じていません。
メタメタさんご指摘の「速さの差の比の逆比が時間の比になる」という類の問題は最近行われた四谷の模試やSAPIXのテストにも出ています。四谷の合不合判定（女子）の第４回にも流水算との融合問題として登場していて、そこでは「速さの差と速さの和の逆比が時間の比になる」という関係を使って解かせる問題になっているのですが、私が担当している子で解説の意味がわからないと私に聞きに来ています。
要は、出会いと追いかけの旅人算においてどちらも同じ距離だけ離れる、あるいは縮まるのに掛かる時間の比は速さの和と速さの差の逆比になるということが何故なのかわからなかったようで、これは距離が同じときに速さの逆比が時間比になることを説明するときと同様にこの距離を適当に○１と置くなり整数比がすぐに出てくるように適当に最小公倍数に置くなりして比をとれば確かに逆比になることとして納得してしまってます。それを知識化して簡略して書かれているのが模試や赤本等に書かれている解説になります。
分母にＡ−Ｃを持ってきたり、そこからすぐにＡ−Ｃ：Ｂ−Ｃなどと式変形してしまったりと、小学生に対する説明とは思えない経験の浅さを露呈した文章を書いておいて、極普通にやられている一般的な手法に対して愚行などと言ってるようでは、指導力がどの程度なのかすぐにわかってしまいますし、上司を持ち出して「数式を図にしないのが最近の流行らしいよ」などと言ってる時点で、その塾の中学受験の指導力がどの程度なのかもわかってしまいますね。
私が指導している子は面積図を描いて計算する子もいますし、面積図を書かずにすぐに計算式を書いてやってしまう子もいます。その子のやり方に合わせて指導できるようにいろんな手法を知っておくことは必要なことだと実感してます。市進の子のつるかめ算の計算の仕方は面積図ではなくある種独特のものがありますけど、それをわざわざ否定して面積図でやれとは言いませんし、その子が塾で教わった方法に合わせて考えられるようにフォローしているんで、引き出しは多いほうが良いと私は思っています。
教科に対する研究心のない先生ほど流行がどうだとかそんな定かでもないようなことに左右されやすく軸足の定まらない指導になってしまうんですね。流行がどうだとかいうことよりも目の前の生徒がその説明で実際に理解できるのか？そこが一番大切なのであって、リアクションを見て式だけの説明だと拒否反応を示す場合は図にしてみるとか、図を描かなくても十分理解できる子はショートカットしてしまってより応用的な問題に取り組ませるとか、生徒によって対応を変えることは良くやることだしそれができないならそもそも教える職業には向いていないと私なんかは思ってしまいます。
多くの子供はここで議論されているような厳密性に拘っているわけでなく、極論すれば”解けるようになりたい”それだけなんです。そのためには理解しやすく解く際に方針も定まりやすく応用性高い手法でないとなかなか定着させることはできません。
たけぽんさんの投稿は実際に指導されている先生の言葉だということはすぐにわかりますが、他の方の投稿はあまりに観念的で子供たちの視点がまるでない、私から言わせれば重箱の隅の議論にしか見えません。
にゃーさんのように自分の特殊な感覚を多くの子も同じだと勘違いしている方もおられますが、実際に子供たちと接している先生ならにゃーさんが心配しているようなことはほとんど問題になっていないことは容易にわかることなんで、自分がそうだから人もそうだという安易な発想は捨てて、自分はそうだけど人は違うってスタンスでいたほうが良いんじゃないかって、こういう議論を見るにつけいつも思うことです。
なんか自分で地雷を踏みまくってしまいましたね。（笑）
と言いつつ自分もたくさん地雷を撒いてしまったか！ｗｗｗ
まぁ、私を辛辣に批判してどんどん盛り上がってください。（笑）
ちなみに、何故、初めから○６０と置けるのかというと子供たちはすでに旅人算を勉強しているからに他なりません。だから、次に速さの和や差で割り算したり時間で割り算するだろうことは経験的にわかることなんで、○６０と置いても別に違和感はないし子供たちもそういうものだと納得してしまうものです。
もちろん、初めから○６０と置くよりは基本に立ち返って○１と置くべきでしょうけど、仕事算を一行題等でたくさん練習している子からすれば別に○１と置かなくても良い例はたくさん知っているんで違和感はないはずです。
大体、○１と置かないやり方を知ってしまった子は適当に自分で考えて都合が良いように試行錯誤しながら置いてますよ。図形の問題なんかでも相似等で線分比を計算している最中に分数が出てきたときなんかは私が言わなくても勝手に２倍とか３倍とかして分数をなくして計算している子も良く見かけます。
あんまり心配し過ぎなくても良いんじゃないですか？
それより子供たちに実際に教えてみたらどうですか？机上の空論やってるよりもよりリアルな本当の知識が得られますよ。
もちろん、初めから○６０と置くよりは基本に立ち返って○１と置くべきでしょうけど、仕事算を一行題等でたくさん練習している子からすれば別に○１と置かなくても良い例はたくさん知っているんで違和感はないはずです。
大体、○１と置かないやり方を知ってしまった子は適当に自分で考えて都合が良いように試行錯誤しながら置いてますよ。図形の問題なんかでも相似等で線分比を計算している最中に分数が出てきたときなんかは私が言わなくても勝手に２倍とか３倍とかして分数をなくして計算している子も良く見かけます。
あんまり心配し過ぎなくても良いんじゃないですか？
それより子供たちに実際に教えてみたらどうですか？机上の空論やってるよりもよりリアルな本当の知識が得られますよ。
34：
とりあえず誤解を解いておくと。。
別に自分は自分と同じ感覚の子が溢れかえるほど多いとか逆にどこにもいないほど少ないとか、そんなことは言ってませんよ。
ただ単に、違和感を持つ人もいるんだってことを述べたまで。
自分や自分が見てきた生徒たちが違和感を持たなかったからってみんな違和感を持たないんだなんて思うのもどうかと思うだけで。
むしろ、自身が違和感を感じたことがなかったからこそ、子どもたちが漠然と感じている違和感に気づかず、無難に解けるやり方を習得させてしまうことで、この問題の解法なんかよりももっと大事な、何がわからないかを突き止める力を養う機会を奪ってるんじゃないかとすら思ったりします。
もちろん、違和感を持っていたとしても解けることは解けます。
「こうやれば余計なことは考えなくても答えは出せる」というやり方を徹底してしまえば良いわけですからね。
でもそれじゃあ、行き着くところも高が知れてる。
型にはまった問題を与えられて、型通りに解く力しか身につかない。
そして、普通は何らかの形で解けてしまったら、それ以上深くは追究しなくなるもの。
何か漠然とした違和感は感じていたのに、それが何だったのかもわからないまま気にしなくなってしまう。
それは危ないと思うのです。
受験に特化した学力しか身についていないんじゃないか。
本当に必要な力はそんな学力じゃないんじゃないか。
…ま、限られた時間で無理させてでも合格圏に入れなきゃ食べていけない以上は仕方ないことではあるんでしょうが。
できることなら、１年や２年は、のんびりと考えながら勉強する時間を与えてあげたいもの。
その期間があるのとないのとでは、その後の伸びがまるで違うから。
ただ、その期間はいつ与えるのが良いのかはよくわかりませんが。。
子どもによっては小学生のうちからでもそういう対応をした方が良い子もいるし、中学生でもまだ時期尚早な子もいるし。
とりあえず誤解を解いておくと。。
別に自分は自分と同じ感覚の子が溢れかえるほど多いとか逆にどこにもいないほど少ないとか、そんなことは言ってませんよ。
ただ単に、違和感を持つ人もいるんだってことを述べたまで。
自分や自分が見てきた生徒たちが違和感を持たなかったからってみんな違和感を持たないんだなんて思うのもどうかと思うだけで。
むしろ、自身が違和感を感じたことがなかったからこそ、子どもたちが漠然と感じている違和感に気づかず、無難に解けるやり方を習得させてしまうことで、この問題の解法なんかよりももっと大事な、何がわからないかを突き止める力を養う機会を奪ってるんじゃないかとすら思ったりします。
もちろん、違和感を持っていたとしても解けることは解けます。
「こうやれば余計なことは考えなくても答えは出せる」というやり方を徹底してしまえば良いわけですからね。
でもそれじゃあ、行き着くところも高が知れてる。
型にはまった問題を与えられて、型通りに解く力しか身につかない。
そして、普通は何らかの形で解けてしまったら、それ以上深くは追究しなくなるもの。
何か漠然とした違和感は感じていたのに、それが何だったのかもわからないまま気にしなくなってしまう。
それは危ないと思うのです。
受験に特化した学力しか身についていないんじゃないか。
本当に必要な力はそんな学力じゃないんじゃないか。
…ま、限られた時間で無理させてでも合格圏に入れなきゃ食べていけない以上は仕方ないことではあるんでしょうが。
できることなら、１年や２年は、のんびりと考えながら勉強する時間を与えてあげたいもの。
その期間があるのとないのとでは、その後の伸びがまるで違うから。
ただ、その期間はいつ与えるのが良いのかはよくわかりませんが。。
子どもによっては小学生のうちからでもそういう対応をした方が良い子もいるし、中学生でもまだ時期尚早な子もいるし。
>>33
さまざまな手法で問題を処理でき、なおかつそれを生徒に伝えることができるのは確かに必須条件です。端的に申し上げれば「他塾や他講師批判をする講師は例外なく自己満足な授業しかできていない」ってことです。まぁそんなことはどうでも良いですが。
>違う種類の比を、○や△や□で使い分けるのは、塾講師の見せ場の一つでしょうに。
不必要に多種多様な記号を乱発することは、生徒が余計な混乱を引き起こす要因になります。実際に記号を乱発する講師に中学受験の折に自身が習ってわからないと思ったもので。実数×比でもとめられた比は元々の比と同種の比になる（簡単にするなどいじらなければ）は、きちんと5下の内容として取り扱いがあります。
>>34
>「数式を図にしないのが最近の流行らしいよ」
すごい曲解ですが、だれも図式化は一切しないとは申しておりません。上でも書きましたが、「理解力のある子」には面積図も当然教えております。そもそも、面積図を教えないのが流行云々というのはちなみに〜の余談で、そこだけ拾って云々言われてもなぁ…。個人的にも、積極的に教えようとは思いません。使わない方が簡単に解ける問題多いですもの。
>それより子供たちに実際に教えてみたらどうですか？
同じ問題の解説を最近実際にしておりますが、旅人算と速さの逆比は小5の範囲なので知っていて当然。時間しかわかっていないことから逆比の問題だということは瞬時に全員理解し、全員がひっかかるであろうポイントの「Cを両方ひいているけど、速さの差は一緒よね。」とヒントを与えたら全員解けましたが？本当に中学受験のリアルをご存知ならば、「解ける」ことと「受かる」ことは別物だ。ということをご存知かと思うのですが。
さまざまな手法で問題を処理でき、なおかつそれを生徒に伝えることができるのは確かに必須条件です。端的に申し上げれば「他塾や他講師批判をする講師は例外なく自己満足な授業しかできていない」ってことです。まぁそんなことはどうでも良いですが。
>違う種類の比を、○や△や□で使い分けるのは、塾講師の見せ場の一つでしょうに。
不必要に多種多様な記号を乱発することは、生徒が余計な混乱を引き起こす要因になります。実際に記号を乱発する講師に中学受験の折に自身が習ってわからないと思ったもので。実数×比でもとめられた比は元々の比と同種の比になる（簡単にするなどいじらなければ）は、きちんと5下の内容として取り扱いがあります。
>>34
>「数式を図にしないのが最近の流行らしいよ」
すごい曲解ですが、だれも図式化は一切しないとは申しておりません。上でも書きましたが、「理解力のある子」には面積図も当然教えております。そもそも、面積図を教えないのが流行云々というのはちなみに〜の余談で、そこだけ拾って云々言われてもなぁ…。個人的にも、積極的に教えようとは思いません。使わない方が簡単に解ける問題多いですもの。
>それより子供たちに実際に教えてみたらどうですか？
同じ問題の解説を最近実際にしておりますが、旅人算と速さの逆比は小5の範囲なので知っていて当然。時間しかわかっていないことから逆比の問題だということは瞬時に全員理解し、全員がひっかかるであろうポイントの「Cを両方ひいているけど、速さの差は一緒よね。」とヒントを与えたら全員解けましたが？本当に中学受験のリアルをご存知ならば、「解ける」ことと「受かる」ことは別物だ。ということをご存知かと思うのですが。
>34 KabuTaroさん
＞＞速さの差の比の逆比が時間の比になる」という類の問題は最近行われた四谷の模試やSAPIXのテストにも出ています。＜＜
なるほど。
「速さの比」だけではなく、「速さの差の比」の逆比も、受験算数では「定番」になりつつあるということなんでしょうね。
＞＞多くの子供はここで議論されているような厳密性に拘っているわけでなく、極論すれば”解けるようになりたい”それだけなんです。＜＜
多くの子供か少ない子供か…、多分少ないんでしょうが、私は、算数の文章題の曖昧さにこだわる子供でした。（にゃーさんもそのようでしたから、そんなに少数派ではないように思えますが。）
だから、中学で数学になったとき、算数にあった曖昧さが無くなってほっとした記憶があります。
＞＞私から言わせれば重箱の隅の議論にしか見えません。 ＜＜
いや、数学という体系的な学問では、重箱の隅を突ついているように見えて、自分がとんでもない勘違いをしていたことに気がついたり、時には自分だけでなく多くの人の常識をひっくり返すスゴイ鉱脈を見つけることがあると思っていますし、そういう例はあります。
教える側は、どんな小さな疑問でもしつこく追究することが、どこかで生きてくると思います。そんな問題はそのまま生徒に説明するものではありませんが、隠し味のように効いてくるし、少なくとも、私のように算数の文章問題の曖昧さが気になる子供に無駄な混乱をさせるような説明はしないですみます。
たとえば、ニュートン算で言う「行列」と日常用語の「行列」は、意味が違うのだ、とか。
http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=21627899&comment_count=114&comm_id=63370
＞＞速さの差の比の逆比が時間の比になる」という類の問題は最近行われた四谷の模試やSAPIXのテストにも出ています。＜＜
なるほど。
「速さの比」だけではなく、「速さの差の比」の逆比も、受験算数では「定番」になりつつあるということなんでしょうね。
＞＞多くの子供はここで議論されているような厳密性に拘っているわけでなく、極論すれば”解けるようになりたい”それだけなんです。＜＜
多くの子供か少ない子供か…、多分少ないんでしょうが、私は、算数の文章題の曖昧さにこだわる子供でした。（にゃーさんもそのようでしたから、そんなに少数派ではないように思えますが。）
だから、中学で数学になったとき、算数にあった曖昧さが無くなってほっとした記憶があります。
＞＞私から言わせれば重箱の隅の議論にしか見えません。 ＜＜
いや、数学という体系的な学問では、重箱の隅を突ついているように見えて、自分がとんでもない勘違いをしていたことに気がついたり、時には自分だけでなく多くの人の常識をひっくり返すスゴイ鉱脈を見つけることがあると思っていますし、そういう例はあります。
教える側は、どんな小さな疑問でもしつこく追究することが、どこかで生きてくると思います。そんな問題はそのまま生徒に説明するものではありませんが、隠し味のように効いてくるし、少なくとも、私のように算数の文章問題の曖昧さが気になる子供に無駄な混乱をさせるような説明はしないですみます。
たとえば、ニュートン算で言う「行列」と日常用語の「行列」は、意味が違うのだ、とか。
http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=21627899&comment_count=114&comm_id=63370
>38 黒マル◆TDjMKYvHS さん
「>それより子供たちに実際に教えてみたらどうですか？」
KabuTaroさんの35番発言のこの部分は、黒マル◆TDjMKYvHS さん宛てのコメントではなく、私（メタメタ）宛てのものだったんですよ。
＞＞同じ問題の解説を最近実際にしておりますが、旅人算と速さの逆比は小5の範囲なので知っていて当然。＜＜
「速さと時間の逆比」は、受験算数では知ってて当然、知らないと困る「定番」だったのですが、この問題で必要とされた「速さの差と時間の逆比」は、まだ知ってて当然のことではなく、ようやく受験算数界の「定説」となりかけているということでしょうか。
「>それより子供たちに実際に教えてみたらどうですか？」
KabuTaroさんの35番発言のこの部分は、黒マル◆TDjMKYvHS さん宛てのコメントではなく、私（メタメタ）宛てのものだったんですよ。
＞＞同じ問題の解説を最近実際にしておりますが、旅人算と速さの逆比は小5の範囲なので知っていて当然。＜＜
「速さと時間の逆比」は、受験算数では知ってて当然、知らないと困る「定番」だったのですが、この問題で必要とされた「速さの差と時間の逆比」は、まだ知ってて当然のことではなく、ようやく受験算数界の「定説」となりかけているということでしょうか。
この問題と予習シリーズの解法の存在を教えてくれた人の解法をアップします。
線分図を何倍かして、連立方程式の加減法や代入法のようにして、線分図の、必要な比以外を消去してしまう方法です。
「線分消去算」とでも呼べるでしょうか。
私は、ここまで線分図を使ったことはなかったので新鮮でしたが、本人によれば、けっこう使われるテクニックだということです。
文字式で整理してみると、
甲乙間をＸ、Ａ，Ｂ，Ｃの分速をa、b、cとすると、
10c＋X＝10a
12c＋X＝12b
から、上の式を6倍し、下の式を5倍して、
60b＋X＝60a
を導いて、答60分とするところを、全部線分図でやってしまう、というわけです。
これは、18番発言の解法リストでいえば、解法（６）となりますね。
解法（５）は、甲乙間を「１」と置く解法と、「60ｍ」と置く解法に小分類するか、それぞれ独立させて解法（５）（６）とすれば、この「線分消去算」は解法（７）である、と。
線分図を何倍かして、連立方程式の加減法や代入法のようにして、線分図の、必要な比以外を消去してしまう方法です。
「線分消去算」とでも呼べるでしょうか。
私は、ここまで線分図を使ったことはなかったので新鮮でしたが、本人によれば、けっこう使われるテクニックだということです。
文字式で整理してみると、
甲乙間をＸ、Ａ，Ｂ，Ｃの分速をa、b、cとすると、
10c＋X＝10a
12c＋X＝12b
から、上の式を6倍し、下の式を5倍して、
60b＋X＝60a
を導いて、答60分とするところを、全部線分図でやってしまう、というわけです。
これは、18番発言の解法リストでいえば、解法（６）となりますね。
解法（５）は、甲乙間を「１」と置く解法と、「60ｍ」と置く解法に小分類するか、それぞれ独立させて解法（５）（６）とすれば、この「線分消去算」は解法（７）である、と。
>>41
>黒マル◆TDjMKYvHS さん宛てのコメントではなく
大変失礼いたしました(*_ _)人
>「速さの差と時間の逆比」〜は定説
いえ、定説ではありません。確かに差に注目を同距離の場合の速さの比と時間の比は逆比に絡めてくるあたりは一筋縄ではいかないとは思いますが、速さと差に注目する問題はさして珍しいものではない（実数ではA+位の難易度で出題されます）ですし、これまた比と差に関する問題もA+くらいの難易度の問題です。年齢算ではよく出てきます。組み合わせてBクラス程度の難易度であると思います。そもそも、この手の問題で「差に注目する」というのは結構ベタなひねり方ですので、口をすっぱくしていつも言っております。そうすると、思いつく子は結構あっさりと思いつきます。
>この問題と予習シリーズの解法の存在を教えてくれた人の解法
そうですね…、私も反対です。やはり算数の範疇ですので、文字式を操作して解に行きつく方法というのは賛同しかねます。しかしながら、おっしゃられる通りC問題クラスまでいけばXを仮に○としてこういう解法をすることはあります。逆に言えば、そこまでの問題でない以上はここまで難しい解き方をすることはないと思います。
>黒マル◆TDjMKYvHS さん宛てのコメントではなく
大変失礼いたしました(*_ _)人
>「速さの差と時間の逆比」〜は定説
いえ、定説ではありません。確かに差に注目を同距離の場合の速さの比と時間の比は逆比に絡めてくるあたりは一筋縄ではいかないとは思いますが、速さと差に注目する問題はさして珍しいものではない（実数ではA+位の難易度で出題されます）ですし、これまた比と差に関する問題もA+くらいの難易度の問題です。年齢算ではよく出てきます。組み合わせてBクラス程度の難易度であると思います。そもそも、この手の問題で「差に注目する」というのは結構ベタなひねり方ですので、口をすっぱくしていつも言っております。そうすると、思いつく子は結構あっさりと思いつきます。
>この問題と予習シリーズの解法の存在を教えてくれた人の解法
そうですね…、私も反対です。やはり算数の範疇ですので、文字式を操作して解に行きつく方法というのは賛同しかねます。しかしながら、おっしゃられる通りC問題クラスまでいけばXを仮に○としてこういう解法をすることはあります。逆に言えば、そこまでの問題でない以上はここまで難しい解き方をすることはないと思います。
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