フィボナッチ数コミュのフィボナッチ数の間の関係式

　コミュニティの皆様

フィボナッチ数F_{n}, n=1,2,3...の間には色々な関係式
が知られていると思いますが，
次のように表現される関係式（公式?）をご存知でしょうか：

（☆）F_{a}^p + F_{b}^q=F_{c}^r

ここで，a,b,c,p,q,rは自然数で，a,b,cは互いにどの二つも異なる
とします。

私は（☆）として，wikipedia等で調べてみたところ
まずは当たり前のこととして(p=q=r=1):

F_{n}+F_{n+1}=F_{n+2}, n=1,2,3...

があります。また(多分)非自明なものとして(p=1,q=2,r=1):

F_{n-1}^2+F_{2n}=F_{n+1}^2, n=1,2,3...

(p=2,q=2,r=1):

F_{n-1}^2+F_{n}^2=F_{2n}^2, n=1,2,3...

もあるようです。
他には見つけられませんでした。

どなたか，こういう関係式をご存知の方はいらっしゃるでしょうか
（少し質問の意味が曖昧かもしれませんが...）。
知っている方がいれば，是非教えていただきたいです。
（ｍ _ _ ｍ）

コメント(2)

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[1] mixiユーザー 10月25日 11:19

数列G(n)を次のように定義します。
G(n+2)=αG(n+1)+βG(n)
ただしG(1)=１、G(2)=1　またα、βは任意の自然数
この数列のα=β=１の場合がフィボナッチ数列

A=√(α^2+4β)とすると
G(n)=(1/A)[{(α+A)/2}^n-{(α-A)/2}^n]と書けるっぽい

[2] mixiユーザー 05月05日 23:25

Qute さん

返信がとても遅れてしまい、申し訳ございません。

その後、自分で色々と探してみたところ、ある数学の先生に、
次の本を紹介していただきました：

Thomas Koshy 著，
`Fibonacci and Lucas Numbers with Applications'

http://www.amazon.com/Fibonacci-Lucas-Numbers-Applications-Thomas/dp/0471399698

英語の本です。
この本には、多くのフィボナッチ数（とリュカ数）が持つ公式などが紹介されています。
私が探していたタイプの公式（☆）は、他にはありませんでした。
ですが、G(n)の定義において、β＝１としたとき、数列G(n)は次の性質を持つということが書いてありました：

G(n)^2+G(n+1)^2=G(2n+1), n=1,2,3...

G(n)は、もう一方のタイプの公式、は持っていないようです。

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