of でも間違いではないと思います。
"○○'s △△△" と言ってしまうと、スタンダードナンバーである、もしくは複数のアーティストによってカバーされていてそのどれもが有名になっている特別な曲について、「(カーペンターズのではなくて)ビートルズが歌う、あの Mr. Postman」が好きなんだ、みたいなニュアンスになると思います。「カラヤンの(指揮する)ベートーベン5番」みたいな感じで。
つぎの 1.〜4. のいずれの表現も可能だと思います:
1. I often sing Avril Lavigne's Girlfriend at a karaoke.
2. I often sing Girlfriend by Avril Lavigne at a karaoke.
3. I often sing Girlfriend, the song by Avril Lavigne, at a karaoke.
4. I often sing Girlfriend, the tune by Avril Lavigne, at a karaoke.
「カラオケで」は、カラオケ店の具体的な種別によって、つぎの a.〜e. のうちのもっとも適切な訳を選んだらよいと思います:
a) at a karaoke
b) at a karaoke bar
c) at a karaoke box
d) at a karaoke joint
e) at a karaoke restaurant