原子核物理学コミュのこの積分、どーやるんだろー？

みなさん、今晩は。

実は、難しい積分で３日くらい悩んでいます

。
Mathematica式で書くと、

Integrate[x/(x^2+a^2)/(Exp[x]-1),{x,0,Infinity}]

で、答えは分かっているのですがどうやって導いたらいいのか、あれこれやってみてはいるのですが、まだどうやったらいいのか分かりません。ご存知の方がいらっしゃいましたら教えてください。

コメント(6)

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[1] mixiユーザー 01月11日 18:05

留数で出来そうな気がしたんですができませんね…

[2] mixiユーザー 01月16日 23:35

あれこれ考えてみましたができませんねえ・・・
まてまてかにも入れてみましたが。

[3] mixiユーザー 01月19日 08:22

お松さん、えがともさん：

レスありがとうございます。ちなみに答えは、

1/2( Log[a/(2 Pi)] - Pi/a - PolyGamma[a/(2 Pi)]）

で、（PolyGamma)は、こう書くのがただしいかどうか実は
よくわからないのですが、ガンマ関数のログを微分したものです。
MathematicaだとD[Log[Gamma[x]],x]となるようです。

あれこれウェブで眺めていたら、この積分、ゼータ関数に
関連した「ハミルトンの積分公式」というのから導かれる
ようで、月曜日に学校の図書館に行って調べてみようかと
思っているところです。

[4] mixiユーザー 01月20日 04:29

上の答えはMathematicaででるんでしょうか？
自分が持っているものでは、答えが出ません…
バージョンは Mathematica 6.0.1 (OS MacOSX v10.5.1)なんですけど。
研究室には v5.2 もあるのでそちらでもやってみよう。
って、古い方で答えが出て新しい方で出ないのは変な気もしますが…

ちなみに、TeX 表記で

\int_0^\infty \frac{x}{e^x-1} dx

Mathematica 表記で

Integrate[x/(Exp[x]-1),{x,0,Infinity}]

の積分の方法なら一応（なんとなく）わかります。
できる後輩に教えてもらいました（笑）。
公式集（岩波数学公式）に答えが載っているもので、実は簡単だったのかもしれません。

[5] mixiユーザー 01月24日 08:13

えがともさん：

Mathematica では、この答えは出ませんでした。
この答えは、ガンマ関数関連の公式集の中にありました。

Mathematica は、（悪口になりますが、）自分でも
できそうな計算は、Mathematica でもやってくれますが、
自分でできそうも無いものは、Mathematica でもダメ