拙文「インド経済の生産性分析」(DP, #37, 2007)から．
$$
Y=Ae^{u}L^{\alpha}K^{\beta}
$$
として定式されたコブダグラス型生産関数を考える(数式表記はTeX形式にした．TeXについては
http://
http://
を参照)．ここで，$u$は確率誤差項を意味する．
さらに，総要素生産性$A$を次のように特定化しておく．
$$
A=A_{0}exp(\lambda t + \sum_{j=1}^{m}\theta Z_{k})
$$
ここで，$t$はタイムトレンド，$Z_{k}$は総要素生産性に影響を与える変数を意味する．$Z_{k}$としてここでは外資系企業かどうかを表すダミー変数などを考えればよい．この総要素生産性の式をもとの生産関数に代入して，対数をとり整理すれば次式が得られる．
$$
\ln Y = a + \alpha \ln L + \beta \ln K + \lambda t + \sum_{j=1}^{m}\theta Z_{k} + u
$$
ここで$a=\ln A_{0}$である．
$$
Y=Ae^{u}L^{\alpha}K^{\beta}
$$
として定式されたコブダグラス型生産関数を考える(数式表記はTeX形式にした．TeXについては
http://
http://
を参照)．ここで，$u$は確率誤差項を意味する．
さらに，総要素生産性$A$を次のように特定化しておく．
$$
A=A_{0}exp(\lambda t + \sum_{j=1}^{m}\theta Z_{k})
$$
ここで，$t$はタイムトレンド，$Z_{k}$は総要素生産性に影響を与える変数を意味する．$Z_{k}$としてここでは外資系企業かどうかを表すダミー変数などを考えればよい．この総要素生産性の式をもとの生産関数に代入して，対数をとり整理すれば次式が得られる．
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\ln Y = a + \alpha \ln L + \beta \ln K + \lambda t + \sum_{j=1}^{m}\theta Z_{k} + u
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ここで$a=\ln A_{0}$である．
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コメント(109)
マッチ・マージのやり方：
?2つのテーブルで共通の照合キーを設定する．
ここでは，企業名を識別できる記号や数値になる．
?アクセスで，[作成]→[クエリデザイン]→マッチ・マージさせるテーブル2つを追加．
?2つのテーブルで，照合キーになっている変数を選択する(どちらかのテーブルにある照合キーの変数を選択し，それをもうひとつのテーブルにドラックすればよい)．そうすると，照合キー変数同士が，一本の線で結ばれる．
?この線をダブルクリックして，取り込み側のテーブルを指定する(「＊＊＊の全レコードを＋＋＋の同じ結合フィールドのレコードだけを含める」，を選択するということ)．
?[フィールド]を指定する．＊付きの変数を指定すればよい．＊付きを選択すれば，テーブルのすべての変数を表示することになる．
?ビックリマーク！の[実行]をクリック．マッチ・マージされているかどうかを確認する．
?うまくマージできれいれば，[表示]→[デザイン ビュー]→[テーブルの作成]を選択して，あらためてテーブル名を付けて実行！すればマッチ・マージされたテーブルが完成する．
?2つのテーブルで共通の照合キーを設定する．
ここでは，企業名を識別できる記号や数値になる．
?アクセスで，[作成]→[クエリデザイン]→マッチ・マージさせるテーブル2つを追加．
?2つのテーブルで，照合キーになっている変数を選択する(どちらかのテーブルにある照合キーの変数を選択し，それをもうひとつのテーブルにドラックすればよい)．そうすると，照合キー変数同士が，一本の線で結ばれる．
?この線をダブルクリックして，取り込み側のテーブルを指定する(「＊＊＊の全レコードを＋＋＋の同じ結合フィールドのレコードだけを含める」，を選択するということ)．
?[フィールド]を指定する．＊付きの変数を指定すればよい．＊付きを選択すれば，テーブルのすべての変数を表示することになる．
?ビックリマーク！の[実行]をクリック．マッチ・マージされているかどうかを確認する．
?うまくマージできれいれば，[表示]→[デザイン ビュー]→[テーブルの作成]を選択して，あらためてテーブル名を付けて実行！すればマッチ・マージされたテーブルが完成する．
?アクセスのクロス集計で，縦軸に企業名(あるいは企業を識別できる変数)，横軸は適当な変数，中味を資本(あとから労働と生産もとる)の「平均」をとる．
?うまくクロス集計できたら，これをテーブルにする．
?この新しいテーブルと元のデータを企業名を照合キーにしてマッチマージする．
?そうすると，元のデータに資本・労働・生産の企業平均データが追加されることになる．
企業名 年 資本 労働 生産 資本平均 労働平均 生産平均
ホウセイ 1985 99 12 230 110 55 300
ホウセイ 1986 101 13 235 110 55 300
.....
?で，資本(労働，生産)から資本平均を引き算して平均からの偏差データを新たに作る．
?で，この平均からの偏差データを用いて，OLSを実行すればwithin推定量が得られます．
?うまくクロス集計できたら，これをテーブルにする．
?この新しいテーブルと元のデータを企業名を照合キーにしてマッチマージする．
?そうすると，元のデータに資本・労働・生産の企業平均データが追加されることになる．
企業名 年 資本 労働 生産 資本平均 労働平均 生産平均
ホウセイ 1985 99 12 230 110 55 300
ホウセイ 1986 101 13 235 110 55 300
.....
?で，資本(労働，生産)から資本平均を引き算して平均からの偏差データを新たに作る．
?で，この平均からの偏差データを用いて，OLSを実行すればwithin推定量が得られます．
うーむ．ｔ検定と推定量の信頼区間の話は，密接に関連していていますね．
通常のｔ検定は，推定された係数が０かどうかをテストするものです．通常，帰無仮説は「真の係数がゼロである」，です．対立仮説は「真の係数はゼロではない」，です．帰無仮説を棄却するということは，対立仮説を受容するということです．つまり，回帰分析で得られた係数は，ゼロではない，ということです．ｔ値のほかに，ｐ値というのも表などに記載されることがありますが，それは係数がゼロである確率を意味します．その確率が小ささければ小さいほど，その説明変数の係数がゼロである確率が小さいわけです．
で，推定された係数の信頼区間も，Excelなどの分析ツールなどでも出力されますが，
これはOLSで推定された係数がｔ分布にしたがっていることを利用して(ｔ分布はサンプル数が多ければ正規分布と変わらないので)，係数のプラス・マイナス2標準誤差で大体95%，3標準誤差で99%の確率でその区間に係数が入ってくる，というものです．
このとき，たとえば95%信頼区間内で０をまたいで，プラスの領域とマイナスの領域に係数が入る場合，たしかに，通常のｔ検定はとおらなさそうですね．
通常のｔ検定は，推定された係数が０かどうかをテストするものです．通常，帰無仮説は「真の係数がゼロである」，です．対立仮説は「真の係数はゼロではない」，です．帰無仮説を棄却するということは，対立仮説を受容するということです．つまり，回帰分析で得られた係数は，ゼロではない，ということです．ｔ値のほかに，ｐ値というのも表などに記載されることがありますが，それは係数がゼロである確率を意味します．その確率が小ささければ小さいほど，その説明変数の係数がゼロである確率が小さいわけです．
で，推定された係数の信頼区間も，Excelなどの分析ツールなどでも出力されますが，
これはOLSで推定された係数がｔ分布にしたがっていることを利用して(ｔ分布はサンプル数が多ければ正規分布と変わらないので)，係数のプラス・マイナス2標準誤差で大体95%，3標準誤差で99%の確率でその区間に係数が入ってくる，というものです．
このとき，たとえば95%信頼区間内で０をまたいで，プラスの領域とマイナスの領域に係数が入る場合，たしかに，通常のｔ検定はとおらなさそうですね．
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