高校数学レベルの問題を解こう!!コミュの整数(ピタゴラス系)

【問題】
　ある三角形ABCは三辺の長さが全て整数であり、∠BAC=120゜である。AB=p,AC=q,BC=rとして、以下の問いに答えよ。

(1) p≠2、q≠2であることを示せ。
(2) p,q,rが全て素数であるとき、(p,q,r)を全て求めよ。

【拡張問題】
(3) p,q,rの最小公約数が1となるような(p,q,r)は無数に存在することを示せ。

＊＊＊＊＊

直角三角形のピタゴラス定理と整数を合わせた問題はよく見ますが、120゜三角形と整数を合わせた問題は見たことがありません。てわけで作りました。
拡張問題はそこそこ難問です。

コメント(12)

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[1] mixiユーザー 05月04日 18:16

ヒント

とりあえずは各辺の長さの関係式が必要です。素数の問題は積の形にもっていくとうまくいきます。あとは大小関係に注目です。

[3] mixiユーザー 05月16日 08:14

(1)(2)は正解です。

(3)ですが、三平方の定理をみたす整数を見つける方法に「ピタゴラス数」というものがあるのはご存知ですか？あれと似たようなものがこの問題にも存在するんです。

[5] mixiユーザー 05月27日 19:56

これはアイゼンシュタイン三角形ですね。
(p,q,r)はアイゼンシュタイン数です。

余弦定理、
　r^2 = p^2 + q^2 - 2pq cos A
より、角Aが120度なので、
　cos A = -1/2
を代入すると、
　r^2 = p^2 + q^2 + pq
　r^2 - p^2 - q^2 - pq = 0
となる。
ユークリッドがピタゴラス数を求めたような方法を使うと、
m > n
　p = m^2 - n^2
　q = 2mn + n^2
　r = m^2 + mn + n^2
で求まる。
m,nを互いに素にすることで、
　gcd(p,q,r) = 1

これで無数に存在する事を証明できるんじゃないのかな。

[6] mixiユーザー 05月30日 19:32

005:knife さん

m＝5 n＝2
のとき、(m,n)＝1
ですが、
p＝21 q＝24 r＝39
で、(p,q,r)＝3
でしょうか？(なにか間違っていますでしょうか？)
それとも、この話、意外と面倒なのでしょうか？

[7] mixiユーザー 05月30日 20:46

>6:

m = n + 1 として，
(p,q,r) = d
とすると，

p = 2n + 1 = ad
q = 3n^2 + 2n = bd
r = 3n^2 + 3n + 1 =cd
（a,b,c は正の整数。(a,b,c)=1）

とおけて，

1 = (2c - 2b -a)d

より，d = 1 で，ＯＫでしょうか？

[8] mixiユーザー 05月30日 20:52

正解です。

アイゼンシュタイン数から最後の一ひねりに気がつかれたようで

[9] mixiユーザー 05月30日 21:34

> 8: EARL さん

ピタゴラス数との関連で

p^2 + pq + q^2 = r^2
( p, q, r )=1

の一般解が気になりますね…。

[10] mixiユーザー 05月30日 23:00

一般解を文字式で表すのは難しいですが、条件を求めるだけならなんとかなるかと。

まず p^2 + q^2 + pq = r^2 において、pとqが互いに素であれば、(p,q,r)=1です。ですので、(p,q)=1の条件さえ求めれば十分です。

アイゼンシュタイン数を使うと、

p = m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)
q = 2mn + n^2 = n(2m + n)
となります。mとnが互いに素である必要があることはまず明らかです。その上で
(m + n)(m - n)とn(2m + n)
を比較し、互いに素であると限らないのは
m - n と 2m + n
の組み合わせだけです。
この2数が互いに素
⇔((2m + n)-(m - n),2m+n)=1
⇔(2m+n,m+2n)=1
となります。

(2m+n,m+2n)=1からさらに条件を絞り込むのは私が苦手とする感じです。少なくとも、

mとnが3を法として合同でない

という条件は分かります。それ以外の条件は見つけていません。

[11] mixiユーザー 05月30日 23:12

上記をもとに、一般解を予想。

p = (2n + 3k ± 1)(3k ± 1)
q = n(3n + 6k ± 2)

たぶんこれで一般解になるとは思うのですが…反例あるかな？

[12] mixiユーザー 06月01日 21:46

n=2,k=1 のとき

P=32
q=28

ですね。

「(m,n)=1 かつ m-n が３の倍数ではない」

くらいで我慢しなきゃでしょうか？

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