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高校数学レベルの問題を解こう!!コミュの二次関数

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二次関数

mixiユーザー 2007年04月20日 11:43

　xについての関数
f(x)=|2x^2+ax+b|
(右辺の両端の『|』は絶対値)
が-1≦x≦1の範囲でとる最大値をM(a,b)とする。このとき、任意の(a,b)についてもM(a,b)≧1が成り立つことを示せ。

コメント(2)

[1] mixiユーザー 04月22日 19:51

ヒント

式の形をみて、馬鹿正直に場合分けしようなんて考えないことです。
与式を分解して放物線y=2x^2と直線y=ax+bに分けて考えると、証明すべきことはグラフで一目瞭然です。

[2] mixiユーザー 04月23日 14:38

解答

M(a,b)＜1をみたすa,bが存在すると仮定する。すなわち、
f(1)=|2+a+b|＜1…式1
f(0)=|b|＜1…式2
f(-1)=|2-a+b|＜1…式3
を全てみたす(a,b)が存在する。ここで、a＞0としても一意性は失われない。このとき、式1、式3より
-1＜2+b-a＜2+b＜2+b+a＜1
が成り立ち、-3＜b＜-1となるが、これは式2に矛盾する。
よって、題意は示された。

＊＊＊＊＊
f(-1),f(0),f(1)を持ち出すのは一見無理な発想に見えるかもしれなませんが、f(x)をヒントのように分けて考えれば、この発想にいきつきます。

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