素数コミュの質問です

高校の数学の教科書の証明を見ると、何だか、「素数」という概念を生かし切っていない事に不自然を覚えてしまいました。それとも、そうではなく、証明方法として間違っているのはこちらなのでしょうか？
皆様のご意見をと思い質問させて下さい。

高校の数学では、

『　√２　が　無理数であるという事を証明せよ　』

の時に、まず　√２を　有理数既約分数（Ａ／Ｂ）　と置き、ＡもＢも両方２の倍数になるから、既約分数と置いた事に矛盾するから、そもそも有理数だと置いた事に矛盾する、よって√２は無理数であると言うものです。

しかし、せっかく「素数」を扱っているのだからと最近は思ったりします。

つまり、こんな感じの証明にすれば、楽しいのにと思ったりします。
しかし、この証明を用いているのは私だけです。なのでちょっと不思議な感覚です。

ここでは「２」ではなく、「素数Ｐ」とします。つまり、

『√Ｐ　が無理数である事を証明出来れば、√２だって無理数であると言えます』
を使います。

まず、√Ｐを既約分数（Ａ／Ｂ）とおきます。よって、Ｐ＝Ａ＾２／Ｂ＾２　です。
ここで、Ａ／Ｂは既約分数により、ＡとＢは「互いに素」であるから、この等号を満たすためには、まず最初にＢ＾２＝１でなければなりません。これ以外ではそもそも右辺は整数になりえませんので、左辺の整数Ｐと等号になりません。

よって、Ｐ＝Ａ＾２　について考える事にします。

ここで、このコミュの主旨にある「素数」の登場です。
素数というのは、１　と　自分自身の数の「合計２つのみ」の約数を持つ正の数です。
よって、Ａ＾２　のように、見た瞬間に、「１、Ａ＾２」　以外にも「Ａ」を約数として持つ事がわかるものは、当然素数の定義から外れます。

よって、Ｐ＝Ａ＾２　というのは、素数＝素数ではない数　という事になり、等号不成立。
ゆえに、√Ｐは有理数ではないから、無理数である。つまり、√２は無理数である。

という証明になると思いますが、素数の定義を使った証明を見かけないのが寂しいですね。