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高校数学の裏技コミュの行列Ａのｎ乗

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行列Ａのｎ乗

mixiユーザー 2010年11月14日 00:29

｜a b｜をＡとして、
｜c d｜
固有方程式k~2 - (a+d)k + (ad-bc) = 0の異なる解をα、βとすると
ある行列Ｐ，Ｑについて
αＰ＋βＱ＝Ａ , Ｐ＋Ｑ＝Ｅ（単位行列）とおくと
Ｐ＾２＝Ｑ＾２＝０（零行列）、ＰＱ＝ＱＰが成り立つ。
∴Ａ＾ｎ＝α＾ｎＰ＾ｎ　＋　β＾ｎＰ＾ｎ＝α＾ｎＰ　＋　β＾ｎＰ

コメント(4)

[1] mixiユーザー 11月14日 01:22

これは行列のスペクトル分解を用いてn乗計算をする、という趣旨に見えます。

だとするならば、
『Ｐ＾２＝Ｑ＾２＝０（零行列）』は誤りだと思うのですがどうでしょう？

正しくは
Ｐ^2＝Ｐ
Ｑ^2＝Ｑ
だと思います。その他αＰ＋βＱ＝Ａ , Ｐ＋Ｑ＝Ｅ、ＰＱ＝ＱＰが成り立つのは良いでしょう。

あと、『行列Ｐ,Ｑがそれぞれ、固有値α,βに対応する固有ベクトルへの射影を表す』という図形的解釈が非常に大切だと思います。
-----
無知ながらでしゃばってすみませんでした。

[2] mixiユーザー 11月14日 01:24

おっしゃるとおり、
Ｐ^2＝Ｐ
Ｑ^2＝Ｑ
ですｗ
書き込みたいあまり間違ってしまいましたねｗ

[3] mixiユーザー 11月14日 01:24

あとＰＯ＝ＱＰ＝０です・・・

[4] mixiユーザー 11月14日 01:26

★補足
ＰＱ＝ＱＰ＝０

も言えます。
(∵どの点も、2方向への射影をすると原点に向かうので。)

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