高校数学の裏技コミュの同値変形

『文章⇔数式』の変形．考えれば当たり前ですが，実際にはなかなか思いつきにくいです．

【1-1】
『x,y,zのうち少なくとも1つがa』
⇔(x-a)(y-a)(z-a)=0
※a=0ならxyz=0

【1-2】
1-1の否定
『x,y,zはいずれもaとならない』
⇔(x-a)(y-a)(z-a)≠0
※a=0ならxyz≠0

【2-1】
『x,y,zは全てaに等しい』
⇔(x-a)^2+(y-a)^2+(z-a)^2=0
※a=0ならx^2+y^2+z^2=0

【2-2】
『x,y,zが全て同時にaになることはない』
⇔(x-a)^2+(y-a)^2+(z-a)^2≠0
※a=0ならx^2+y^2+z^2≠0

【3-1】
『実数xが実数a,bの間にある』
⇔(x-a)(x-b)＜0
※a,bの大小関係が決まらないときに有効

【3-2】
『実数xが実数a,bの間にない』
⇔(x-a)(x-b)＞0
※a,bの大小関係が決まらないときに有効

【4】
『a,bが実数』
⇔『x=a+b，y=abとしてy≦x^2/4』
※a,bがt^2-xt+y=0の実数解になることによる

【5-1】
『∠BACが鋭角』
⇔『AB↑･AC↑＞0』

【5-2】
『∠BACが鈍角』
⇔『AB↑･AC↑＜0』

【6】
『数列{a[n]}が等差数列』
⇔『一般項はnの一次式または定数』

【7-1】
『整式f(x)について，f(x)=0がαを解にもつ』
⇔『f(x)はx-αで割り切れる』
⇔『f(x)=(x-α)g(x)と書ける(g(x)は整式)』

【7-2】
『整式f(x)について，方程式f(x)=kがαを解にもつ』
⇔『f(x)-kはx-αで割り切れる』
⇔『f(x)=(x-α)g(x)+kと書ける(g(x)は整式)』

【8】
『三次方程式f(x)=0がα,β,γを解にもつ』
⇔『f(x)=k(x-α)(x-β)(x-γ)』
⇒『f'(x)=k{(x-α)(x-β)+(x-β)(x-γ)+(x-γ)(x-α)}』

【9】
『区間a＜x＜bにおいて連続かつ増加関数であるf(x)について，f(x)=0が区間a＜x＜bに解をもつ』
⇔『f(a)f(b)＜0』

【10】
『連続な関数f(x)について，∫[0,1]f(x)=k』
⇔『f(x)=kは区間0＜x＜1に実数解をもつ』
※平均値の定理