高校数学の裏技コミュの三角形の諸心とベクトル

以下では
適当な点を始点とし、△ABCの3頂点のベクトルをa↑,b↑,c↑と表します。また、
　BC=x, CA=y, AB=z
とします。これらを用いて、あるベクトルp↑を
　p↑=sa↑+tb↑+uc↑
と表す実数係数(s,t,u)を以下にあげます。

なお、５心の性質については幾何もしくは中学の教科書を参照してください。

■重心Gのベクトルg↑
g↑= a↑+b↑+c↑

■内心Iのベクトルi↑
i↑= xa↑+yb↑+zc↑

■傍心I[A],I[B],I[C]のベクトルi[A]↑,i[B]↑,i[C]↑
※点Xの対辺に接する傍接円の中心をI[X]としています。
i[A]↑= -xa↑+yb↑+zc↑
i[B]↑= xa↑-yb↑+zc↑
i[C]↑= xa↑+yb↑-zc↑

■外心Oのベクトルo↑
o↑= sin2αa↑+sin2βb↑+sin2γc↑
　 = x^2(-x^2+y^2+z^2)a↑+y^2(x^2-y^2+z^2)b↑+z^2(x^2+y^2-z^2)c↑

■垂心Hのベクトルh↑
h↑= tanαa↑+tanβb↑+tanγc↑
　 = {x^4-(y^2-z^2)^2}a↑+{y^4-(z^2-x^2)}b↑+{z^4-(x^2-y^2)}c↑

他に入試で出題があるもの

□フェルマー点P
フェルマー点は、
　『3頂点からの距離の和が最小となる点』
であり、ベクトルで表すのは困難ですが、途中までの過程をベクトルで示させることが多いです。以下の性質があります。
●∠A,∠B,∠Cが全て120゜より小さければ∠APB=∠BPC=∠CPA=120゜が成り立つ。
●ある頂点の角度が120゜以上のときは、その頂点がフェルマー点となる。

□線心(ナゲル点)P
点Pから3辺に引いた垂線の長さをu,v,wとし、各頂点A,B,Cから対辺に引いた垂線の長さをh[A],h[B],h[C]とするとき、
　u-v = h[A]-h[B]
　v-w = h[B]-h[C]
　w-u = h[C]-h[A]
が成立する点Pを線心(ナゲル点)といい、他にも様々な性質をもつ。
p↑= (-x+y+z)a↑+(x-y+z)b↑+(x+y-z)c↑

コメント(12)

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[1] mixiユーザー 08月23日 19:16

重心のベクトルって、確か３で割ってなかったでしょうか

間違えていましたらすみません

[2] mixiユーザー 08月23日 21:12

申し訳ない、3が抜けてました

[3] mixiユーザー 09月12日 12:56

内心のベクトル表示も違っていません？
x+y+z で割るのでは。

[5] mixiユーザー 09月12日 23:28

まぁまぁわざとじゃないんだから

穏便に穏便に

[9] mixiユーザー 09月20日 01:12

３組の数(s,t,u)によって、
↑ｐ＝（s↑a＋t↑b＋u↑c）/(s+t+u)
なるベクトルはただ一点を定める。
それで、組(s,t,u)を重心座標という。
ｋ≠0のとき
(s,t,u)=(ks,kt,ku) ・・＜＝同じ点を定める＞

このとき
(1,1,1)は重心
(x,y,z)は内心
(-x,y,z)は傍心A
(x,-y,z)は傍心B
(x,y,-z)は傍心C
(tanα,tanβ,tanγ)は垂心
(sin2α,sin2β,sin2γ)は外心

こんなとこです。

[11] mixiユーザー 09月20日 14:32

三角形の「中心点」は、他にもたくさんあって、奥深いと思います。

あと手法として、ユークリッド幾何学の性質や、座標やベクトルや複素数や三角比を使うものがありますが、最近、「運動」というのを知りました。

具体的には忘れましたが、「運動」を考えると、フォイエルバッハの定理が簡潔に示されるそうです。

三角形の「中心線」は、オイラー線が有名ですが、他に知っている方はいますか？

[12] mixiユーザー 09月21日 01:18

miは係数
xiは位置ベクトルとすると、
x＝Σ(mi・xi)/Σmi(iは1からnまでとする)
で定まるxは物理的には(荷重)重心ですが、数学的には、n個の点で定まる分点のようなものです。
実際、n＝2では普通の分点、n＝3では上記で述べた重心座標です。
なお、miが負の場合も考えると、外分点や、三角形の外部も考えられて都合がよい。

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