高校数学の裏技コミュの1/6とか1/12公式

これまだ出てなかったですね。有名ですが…。

確か二次関数と一次関数のグラフに囲まれた面積を求めるとき、積分しなくても求まっちゃうという公式でしたね。

放物線ｙ＝ｘ＾2の下側の面積が1/6でしたっけ?
他にも1/3とか1/24とかも等積変形であった気がするのだが、もうどうだったのか細かい所は忘れました…。

誰か補足して下さい…。orz

コメント(13)

最初
全て
最新の40件

[2] mixiユーザー 08月13日 12:16

■1/6公式
f(x)=ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)であるとき
∫[α,β]f(x)dx
　=a∫[α,β](x-α)(x-β)dx = -(b-a)^3/6

※符合を間違えないように注意

■一般化
∫[α,β](x-α)^n･(β-x)^m dx
　={m!n!/(m+n+1)!}(β-α)^(m+n+1)
　={1/(m+n+1)C[m+n,m]}(β-α)^(m+n+1)

※C[,]は二項係数

■ベータ関数(Β関数)
上の一般化公式において、α=0,β=1,m=p-1,n=q-1としたものをベータ関数という。
Β(p,q)=∫[0,1]x^(p-1)･(1-x)^(q-1)dx
　　　 =(p-1)!(q-1)!/(p+q-1)!
　　　 =1/(p+q-1)C[p+q-2,p-1]

※大学数学においてはp,qは自然数だけでなく、p＞0,q＞0の範囲の全実数で考える。このとき階乗「！」は実数に拡張された概念となる(ガンマ関数)。

[4] mixiユーザー 08月16日 19:56

高校入試で積分がでるわけないと思うのですが…

[5] mixiユーザー 08月17日 10:27

高校入試で出るのは、その中にある三角形の面積を求める奴じゃないですかね？

[6] mixiユーザー 08月18日 18:33

■1/6公式
f(x)=ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)であるとき(ただしa≠0)
∫[α,β]f(x)dx
　=a∫[α,β](x-α)(β-x)dx = a(β-α)^3/6

■1/12公式
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=a(x-α)(x-β)^2であるとき(ただしa≠0)
∫[α,β]f(x)dx
　=a∫[α,β](x-α)(x-β)^2dx = a(β-α)^4/12

■1/30公式
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a(x-α)^2(x-β)^2であるとき(ただしa≠0)
∫[α,β]f(x)dx
　=a∫[α,β](x-α)^2(x-β)^2dx = a(β-α)^5/30

あたりが大学受験では使われるようです。

[7] mixiユーザー 08月19日 12:53

ついでに

■∫[α,β](x-α)(x-β)(x-γ)dx
　　= -(β^3-α^3)(β-α)/6 + γ(β-α)^3/6

[8] mixiユーザー 08月23日 15:21

ちょっとした応用例

3次関数f(x)について，そのグラフy=f(x)における極大点をP(α,f(α)),極小点をQ(β,f(β))とすると，直線PQの式は

y = {(f(α)-f(β))/(α-β)}x+c
であり，
f(α)-f(β)=k∫[α,β]f'(x)dx
　　　　　 =k∫[α,β](x-α)(x-β)dx
　　　　　 =-k(α-β)^3/6
なので，
y={-k(α-β)^2/6}x+c

[9] mixiユーザー 04月02日 22:46

2006年度立命館大学文系Aの数学でこれ出ましたね。

[10] mixiユーザー 08月04日 23:55

６分の１だか１２分の１のやつ
一橋の93くらいで出てましたよ、まんま使って最終解答に持ち込めるやつ。
15年分の数学(最も初回版)のコラムには紹介されてました

[11] mixiユーザー 03月04日 12:45

　今年、２０１０年の北海道大学の文理共通の１番が、２つの放物線に接する面積で、１２分の１を、知らないと大変な問題です。

　もちろん、記述なので、途中で、３分の１の形を、作る必要がありますが、結果を知って解くのと、そうでないのでは、大変な違いでした。

　それにしても、「北大の理系」で、１２分の１を出すなんて、知っている人が解けば、１０分もかかりませんね。

　教える立場としては、理系の人には、１２分の１は、センター試験向けと言っていたのを、変える必要ができました。

[12] mixiユーザー 10月30日 11:32

　有名な公式も多いですが、数3ならば、部分積分で簡単に導けるので、
どういう計算が楽になるのか感覚を養うことが重要と考えていますが。

[13] mixiユーザー 11月12日 00:26

1/6公式と1/12公式を記述式の答案用紙に書くのは危険です。
検算で使うのがよろしいかと思います。

だけど1/6公式は九州・山口地区の国公立大の二次試験の答案用紙に使っても大丈夫です。

ログインすると、みんなのコメントがもっと見れるよ