高校数学の裏技コミュの行列式とトレース

行列の成分計算を効率的に行う上で、非常に役にたつ概念があります。以下の2次の正方行列をAとします。
┃a b┃
┃c d┃
また、A~はAの逆行列、Eは単位行列、Oは零行列とします。

■１．det(A)
det(A)で行列式(determinant)を表します。
【1-1】det(A) = ad-bc

【1-2】det(A~) = 1/det(A)

【1-3】det(A^n) = {det(A)}^n = (ad-bc)^n

【1-4】det(AB) = det(BA)=det(A)det(B)

【1-5】det(kA) = det(A)k^2

【1-6】det(A) = 0 ⇔ Aは逆行列をもたない

■2．tr(A)
tr(A)をトレースといい、a+dがこれに相当します。
【2-1】tr(A) = a+d

【2-2】tr(A~) = tr(A)/det(A)

【2-3】tr(A^2) = {tr(A)}^2 - 2det(A)

【2-4】tr(A^(n+2)) = tr(A)tr(A^(n+1)) - det(A)tr(A^n)

【2-5】tr(A)+tr(B) = tr(A+B)

【2-6】tr(AB) = tr(BA)

【2-7】tr(A)=0 ⇒ A^2=kEをみたす実数kが存在する。

■3．合わせ技
【3-1】A^2 - tr(A)A + det(A)E = O
(ケーリー・ハミルトンの公式)

【3-2】det(A-kE) = k^2 - tr(A)k + det(A)

※{tr(A)}^2-4det(A)＜0　⇔ 任意の実数kについてA-kEが逆行列をもつ

※{tr(A)}^2-4det(A)≧0　⇔ A-kEが逆行列をもつような実数kが存在する。

【3-3】tr(A)=0 ⇔ 零行列ではないAに対して、B^n=A (n≧3)をみたすBが存在する。

【3-4】行列Jを以下のように定める。
┃0 1┃
┃1 0┃
このとき
●det(AJ) = -det(A)
●tr(AJ) = b+c

コメント(5)

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[3] mixiユーザー 10月17日 13:20

かみっちさんの書いた性質は２行２列の行列に対してだけに言えるんですか？？

n×n行列では？

[4] mixiユーザー 10月17日 15:03

>3:Mr.Doughnut さん

トレースと行列式に注目しただけでは一般には正しくありません。
たとえば、次の行列を考えてみてください。

┃1 0 0┃
┃0 -1 0┃
┃0 0 0┃

でも、一般化として次の命題が考えられます。

Aをn次正方行列、Eをn次単位行列、tを変数とする。
また、c_1 , c_2 , ,,, , c_n を次で定まる数とする。

det(tE-A)=t^n -(c_1)t^(n-1)+(c_2)t^(n-2)- ,,, +(-1)^n (c_n)

このとき、次の４つの命題は同値

(1) c_1 = c_2 = ,,, = c_n = 0

(2) A^n = 0　（0行列）

(3) A^k = 0 （kはn以上のすべての自然数）

(4) A^k = 0 （kはある自然数）

ここで、一般に c_1 がトレース、c_n が行列式です。
ですから、n=2 のとき、
これは 2:かみっちさんの書いてくれた命題そのものです。

[5] mixiユーザー 10月17日 16:16

（補足）
当然だと思って書き忘れましたが、
4:で書いたことは、いわゆる「高校数学の裏技」の範疇を超えておりますので、
間違っても、受験で使ったりしないように(^_^)

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