[mixi]作品はこちらに。（1） - CG多面体

http://www.geocities.jp/raioso97/mixi.html
こんにちわ。私のサイトも見ていってください！
２Dソフトでですが、多面体描いてます☆

こんにちは。

以前5個の複合多面体を紹介しましたが。
今回は一番簡単に作れる正六面体（立方体）3個（3軸）の複合体です。
皆さんがお持ちの3Dソフトで必ず作れるはず？です。（多分？）
どんな3Dソフトでも、必ず面を作る、コピー、移動、回転、ぐらいの機能はあるはずですよね。
それだけあれば大丈夫。

どんな方法でもかまいません。まず、3軸（X,Y,Z）の原点に適当な大きさの立方体を1つ作ります。
これをAとします。
このAを元にX軸に45°の回転をかけて1つコピーします。
同様に元のAをY軸に45°の回転をかけて1つコピーします。
同じく元のAをZ軸に45°の回転をかけて1つコピーします。
元のAを削除します。はい、3個の正六面体複合体の完成です。
10分もかからないで出来たはずです。
次に今作った3個の正六面体複合体をBとして、
Bに先ほどと同じ操作をしていきます。
9個の正六面体複合体の完成です。超カンタンでしょう？

あの単純な立方体を単純な操作で9つ重ねるだけで美しい複雑な形状になりました。
複合多面体の魅力は重ね合わせるだけで予想を上回る変化を見せて現れる新たな形状ではないでしょうか。
まるで立体版の万華鏡のように。

一見するとデタラメの形状に見えるかもしれませんが、注意深く目で追うと必ず対称軸の周りに規則正しいパターンを発見できるはずです。
同様にして3個の正六面体複合体のバリエーションとして
27個の正六面体複合体
81個の正六面体複合体
243個の正六面体複合体
729個の正六面体複合体
2187個の正六面体複合体
6561個の…と限りなく作ることが出来ます。（PCの能力と搭載メモリによりますが…　(;^_^A　）
既にお気付き思いますが重なりが増えるごとに突起は細かくなり究極は球に近づいていきます。

同様に立方体と同じ3軸の対称軸を持つ多面体なら3個の複合多面体を作ることが出来ます。
正8面体、切頭（頂）8面体、四方6面体、菱形12面体、六方8面体、
大菱形立方8面体、小菱形立方8面体、凧型24面体、……まだたくさんあります。

立方体と置き換えて、同じように作れます。
興味を持たれた方、是非作ってみてください。

[22] mixiユーザー 12月30日 09:55

左から9個の正六面体複合体、27個の正六面体複合体、81個の正六面体複合体

[23] mixiユーザー 12月30日 10:03

同じく左から243個の正六面体複合体、729個の正六面体複合体、2187個の正六面体複合体

2187個のものは酒屋の軒下に下げる新酒の販売を知らせる「杉玉」に似てます。

[25] mixiユーザー 12月30日 21:36

＞クラウドさん
とっても綺麗です！
私が使っている3DCADでは形状は出来てもイマイチ陰影に
リアリティが無いんで思わず見惚れてしまいました☆

[26] mixiユーザー 12月31日 01:55

＞Tさん

そうですね、レンダリングで陰影をよりリアルにするにはスキャンラインやレイトレーシングではなくパストレーシングやラジオシティを使わなくては出来ませんが、そうなると時間とがとんでもなくかかる。痛し痒しですね。

でも、一昔前の状態を思えば、マシンもソフトも格段の進化を遂げてますから、今後の更なる進化を期待しましょう。(^^;)

[27] mixiユーザー 01月15日 01:06

衝動に駆られて、M.C.エッシャーの『重力』という版画を3DCG化してみました。
↓ネタ元
http://images.google.co.jp/images?hl=ja&q=gravitation+escher

既に絶版していると思いますが、この作品を表紙にしたエッシャーの画集がありました。
まだ子供でしたので、当時の私には結構高価なものでした。
悩んだ末、表紙のこの絵だけで判断して購入した思い出があります。
ボロボロになるまで読みたおしたので、いい買い物だったのでしょう。
正多面体などへの興味をより強くしてくれた本でもあります。

私も、レンダリングはモデリングソフト付属の簡易なもを使っているような状態でして、はじめはそれでも満足していたのですが、他の人の作品を見ていると、もっとちゃんとできるようになりたいと思いますね。
Tさんの書き込みを読んでしまうと、アップするのが恥ずかしいのですが、まあ、少しずつ上達していきたいと思います。

同じデータに2通りのレンダリングをしてみました。
デスクトップの壁紙にでもしてみようかと考えています。

[28] mixiユーザー 01月17日 00:42

スゴイ！w(°ｏ°)w

かなり忠実に再現されてますね。
小星形十二面体と12体のトカゲ状生物。
せっかくのモデリングデータ、静止画だけではもったいないと思うのは私だけでしょうか。
レンダラーについてですが、私はリアルな表現が全てだとは思いません。トゥーンレンダー的な簡略表現も美しいと思います。

余談ですかコンピュータがない時代にあっても、正確な作画をしているエッシャーの才能は改めてスゴいと感じました。

[29] mixiユーザー 01月18日 23:46

とりあえず、『重力』の動画版アップしてみました。

http://briefcase.yahoo.co.jp/seitamentai
↑の CG_polyhedron > gravitation にあります。

3dh.zip は、３Ｄホライズン(http://www.3dh.biz/)を使って、マウス操作で動かせるようになっています。
Javaが使える環境でないとダメだったり、PCのスペックもそれなりに要求されます。
今回は特にデータ自体が重たいので、環境によってはフリーズするかもしれません。
解凍して、gravitation.html をブラウザで開いてください。
(※Firefoxでは上手く表示されないようです。)

gif.zip は、アニメーションgifになっています。
ファイル自体は大きいですが、ダウンロードしてローカルで見る分には問題ないと思います。
解凍して、gravitation.gif を適当なビューワーで開いてください。

[31] mixiユーザー 01月26日 21:03

＞ishitsuさん
subdivide、インストールして使ってみました。
subdivideで立方体を加工しても、p-立方体にはなりませんでしたよ。
試されました？

プロペラ多面体、なかなか美しいですね。

[33] mixiユーザー 01月27日 18:00

＞ねじれ正多面体とプロペラ多面体、凧型12面体の関係が今ごっちゃになってきています。

凧型12面体というのがどういう形なのかわかりませんでした。
半正多面体(準正多面体)の双対多面体に凧形24面体と凧形60面体があります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%87%A7%E5%BD%A2%E4%BA%8C%E5%8D%81%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%87%A7%E5%BD%A2%E5%85%AD%E5%8D%81%E9%9D%A2%E4%BD%93
どちらかと勘違いしてないでしょうか？
あるいは、菱形12面体と勘違いしていないでしょうか？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%8F%B1%E5%BD%A2%E5%8D%81%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E4%BD%93

ねじれ6・8面体(変形立方体)については、私自身、頂点がどういう位置に配置してるのか調べたことがあります。
http://polyhedron.s53.xrea.com/old/chapter07/02.html
http://polyhedron.s53.xrea.com/old/chapter07/03.html
↑のページを見れば、正8面体からねじれ6・8面体を作図する方法がわかると思いますし、さらにちゃんと計算すれば、座標も求めることができるはずです。

p-立方体ですが、そこに書かれたページをざっと眺めただけでは十分な定義がされていないように思います。
http://www.lcv.ne.jp/~hhase/essey/essey032.html
↑のp-立方体の正方形面以外の面を凧形にしたいようですが、その条件だと、「正方形面どうしをつなぐ辺の長さが、正方形の1辺と同じ長さ」ということになります。そのような立体は無限に存在します。
p-立方体という立体をただ1つに特定するためには、もう1つ条件が必要です。

力学的にどうなのかはわかりませんが、形状としての美しさを求めるなら、「各頂点が同一の球面に内接している」といった条件を付加するべきだと思います。
その条件でちょっと計算してみましたが、根気さえあれば解けそうな気がしました。
私は根気がないので途中でやめました。

[35] mixiユーザー 01月29日 00:24

p-立方体、気になったのでちゃんと解きました。
33でも書いたように、与えられた条件だけでは1つに確定しませんので、以下の条件を付加しました。

1)正方形ではない面は、凧形。
2)各頂点は、同一の球面に内接する。

1)についてはishitsuさんが32で書かれているので。
凧形は↓のような四角形です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%87%A7%E5%BD%A2
2組の長さが等しい辺があること、4つの頂点が同一平面状にあること、に注意しないといけません。

2)については、p-立方体を1つに確定するために加えました。
凧形の各頂点が同一球面上に位置するとき、凧形の長辺と短辺の間の角は直角になります。
おそらく、さらにプロペラ操作を繰り返していくつもりだと思いますが、その際にはこの点に注意すると、法則性を見つけるヒントになると思います。

この条件でp-立方体の頂点32個の座標を求めると以下の通り。

(a,b,1)(-b,a,1)(-a,-b,1)(b,-a,1)
(b,a,-1)(-a,b,-1)(-b,-a,-1)(a,-b,-1)
(b,1,a)(a,1,-b)(-b,1,-a)(-a,1,b)
(a,-1,b)(b,-1,-a)(-a,-1,-b)(-b,-1,a)
(1,a,b)(1,-b,a)(1,-a,-b)(1,b,-a)
(-1,b,a)(-1,-a,b)(-1,-b,-a)(-1,a,-b)
(c,c,c)(-c,c,c)(-c,-c,c)(c,-c,c)
(c,c,-c)(-c,c,-c)(-c,-c,-c)(c,-c,-c)

a=(13^(1/2)-2)/3≒0.53518375848799643103974042249017
b=((6×(13^(1/2))-21)^(1/2))/3≒0.2652687636643124668209988060421
c=((6×(13^(1/2))+15)^(1/2))/9≒0.67250506127595574005601892503424

この話題、↓の方が向いていると思うのですがいかがでしょう？
http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=10843782&comm_id=1371487

[36] mixiユーザー 02月09日 15:26

星型十二面体の各頂点の詳しい座標を知りたいです。
誰か教えてもらえませんか？

[37] mixiユーザー 02月10日 23:33

＞36

大星形十二面体の頂点座標データをということですが、それは大星形十二面体をCGで作る為に必要ということでしょうか？
単に大星形十二面体を作るだけなら、座標データはまったく必要ありません。

私の作り方ですが、正十二面体の枠から導く方法です。
大星形十二面体を構成するのは12個の星形5角形(星5/2角形)です。
構成面の1つの星形5角形と正十二面体の枠面の位置関係は左図のとおりです。
残りの11面の枠面も同様に星形5角形の面を枠内に張れば作ることが出来ます。
具体的には中央図のグリーンとオレンジで示した2つの星形5角形さえ作れば、後は全てコピー配置するだけです。
オレンジで示した星形5角形はy軸回転72°コピーを5回。これにグリーンの星形5角形を加えて-y方向に原点中心に鏡面コピー。
コピーした6面をy軸回転180°で完成です。
どうしても頂点座標が欲しければ枠の正十二面体の頂点がまさに大星形十二面体の棘部分の頂点になります。
もう一方の頂点は内包する正二十面体の頂点がまさにそれです。
計算式や結果等はググれば少なからずヒットすると思いますので、ご自分で探してください。

これに限らず、座標を求めてから作るより、構成面と枠から導くやり方の方が簡単に早く作ることか出来ると思います。

大星形十二面体の簡単なアニメ作りました。
http://video.mixi.jp/list_video.pl?owner_id=4116192&tag=%E6%98%9F%E5%BD%A2%E5%A4%9A%E9%9D%A2%E4%BD%93

[38] mixiユーザー 02月11日 00:44

正二十面体・正十二面体の座標については、＞18の書き込みを参考にしてもらえばわかると思います。
が、私も、単純な多面体から作られた方がいいと思います。

（※＞18の訂正
＞立方体の1辺の長さは黄金比（2.6180339887498948482045868343656）となるようにしてください。
↓
＞立方体の1辺の長さは黄金比（1.6180339887498948482045868343656）となるようにしてください。）

＞クラウドさん
動画の方がやっぱりいいですね。
かたちもよく理解できますし。
せめて、gifアニメが使えたらな。

[40] mixiユーザー 02月19日 08:33

星形正多面体5種類の簡単なアニメです。

http://video.mixi.jp/list_video.pl?owner_id=4116192&tag=%E6%98%9F%E5%BD%A2%E6%AD%A3%E5%A4%9A%E9%9D%A2%E4%BD%93

[41] mixiユーザー 12月09日 10:22

ご無沙汰しております。
このトピが最近静かですので，賑わわせてみます。

<video src="2259528:e22e62d645cc88c84f148c673e34f35c">

正12面体の最後の星型と正20面体の最後の星型を合体させてみました。
色は，ホントは白黒のほうが綺麗なのですが，クリスマスカラーという事で。

使用ソフトはPOV-Ray，座標計算はMaximaです。

ご存知の方がいらしたら教えて頂きたいのですが，この立体，ウェニンガーの「多面体の模型」で，なぜ20・12面体の星型にカウントされないのですか？星型多面体の条件を満たしてないのでしょうか？

[42] mixiユーザー 12月09日 16:59

ざきおさん、ご無沙汰してます。
"マクガフィン"改め"Mcguffin"です。

久しぶりの投稿、うれしかったです。
ありがとうございます。
私も、CGの表現力が身についたら、また投稿したいと思っています。
「多面体の模型」はどこか奥にしまってしまったので、見つかったら確認しておきます。
お役に立てず、すいません。

ざきおさんのページのアルバムや動画も拝見しました。
とても綺麗でしたよ。

[43] mixiユーザー 12月10日 21:42

Mcguffinさん，コメントありがとうございます。
ご覧の通りまだまだへたっぴでして，立体の質感とか色とか影の付け方とか背景とか，どうしていいかわからず手探り状態が続いています。
また懲りずに折りをみてアップしていきたいと思っていますので，Mcguffinさんもぜひ新作を発表して下さい。
もちろん他の皆様の作品も楽しみにしております。

[44] mixiユーザー 09月30日 01:12

はじめまして、Ｇｏｏｇｌｅのトップにフラーレンの図形がＪavaScriptを使って表示されていた日があったことに、触発されて、こんなのをつくりました。

　ちょっと、透視の座標変換はいい加減です。
　視点をY軸方向に動かしても投影面はZ軸に垂直な面のままなので、
　透視結果として、斜めに投影面を見る形になって歪んでしまいました。
　　マウスで図形の方を、回転して視れるのですから、視点のY座標は
　０のままとして下さい。

Canvasの機能を使ったＪａｖａＳｃｒｉｐｔのソースを日記に載せてあります。
FireFox,Opra,Chromeで動作しました。　
　コピーして、お手元で、御確認ください。
テキストファイルにコピー＆ペーストして、ファイル名をhtmlファイルとしてブラウザにかけてみるだけです。

http://mixi.jp/view_diary.pl?id=1590874280&owner_id=1285676

表示する多面体データを、適宜、追加したり削除したり、表示サイズや奥行き感を自由に調整したりカスタマイズできます。　できれば、使ってみていただいて講評いただきたいところです。

[45] mixiユーザー 10月03日 00:57

http://mixi.jp/view_diary.pl?id=1594373183&owner_id=1285676
サイズ変更や、表示のオンオフが切り替えられるようにしました。

[46] mixiユーザー 09月07日 00:34

先日、調べものをしているとき、だいぶ前に本で見た珍しい立体に出くわしました。
そこで、久しぶりにモデリングしてみたのが、上記の立体です。

アラン・ホールデン（Alan Holden）という化学者の方が見つけた立体だということです。
御覧のように、丸棒から作った正3角形10個が、複雑にからまって形作られています。
三角形の頂点は、12・20面体の頂点の位置にあります。
もし、丸棒が細すぎれば、隙間ができてこの立体を形作れません。
逆に、丸棒が太すぎると食い込みあってしまいます。
実際に制作された模型の写真も見ましたが、丸棒がちょうどいい太さになっていて、棒と棒が接しあうだけで支えられています。

左図は、その模型写真をイメージしたもの。
右図は、金属を加工して作ったものをイメージしました。
12・20面体を元にしているので、5本脚でも3本脚でも立てることができます。
こんな置物があれば、1つほしいです。

興味がある方は、「アラン・ホールディング」で画像検索すると、この立体の図がヒットします。
どうやら、人名を間違えて記事を書かれているようなのですが、この立体に言及してる日本語の記事は、それ以外に見つかりませんでした。
文献では、宮崎興二先生が、いくつかの著書の中で紹介されているようです。

[49] mixiユーザー 09月07日 01:34

>幕賀品さん

　残念ながら丸棒ではありませんが…

ユニット折紙でその立体の作り方があります。
http://www.langorigami.com/science/polypolyhedra/polypolyhedra.php4　の中の
http://www.langorigami.com/science/polypolyhedra/Polypolyhedra_part_1.pdf
です。

上記サイトのLangさんの設計とは違いますが、自分で作った物もあります。
1枚目の写真でランプシェードになっているものがそうです。
http://photo.mixi.jp/view_album.pl?album_id=31914194&owner_id=517324
こちらはCADを使い始める前の作品なので、立体をイメージしてから、膨大な数の長方形の比率と角度の比率を試作し、整数比に収めてあります。

CGの方は板で作った時に安定する設計にしてあります。
こちらは木で作れそうです。

[50] mixiユーザー 09月07日 12:31

kawachoさん

すごいですね。
丸棒の場合、近接する直線どうしの距離を求めて、その半分の半径を持つ円を断面にすれば、おのずと丸棒どうしが接するようになります。
図面を描いて計測するだけですから、たいした手間もありません。
断面が長方形とか山形だと、だいぶたいへんそうです。
ちょっと、想像できません。

pdfファイル見ました。
正5角形6個でも、同様に組みあがるようですね。
これもいずれモデリングしてみたいと思います。

ランプシェード、他の写真も含めて拝見しました。
とてもすばらしいです。
雑談トピにも書いたのですが、身の回りのモノに、多面体を利用したデザインが使われているのって、とてもすてきだと思います。
ある意味では、ちょっと悔しいです。

[51] mixiユーザー 09月08日 22:27

>幕賀品さん

コメントありがとうございます。

断面が山形や菱形になるように作図するのはそれほど大変な作業ではありませんでした。
面と面が接する点を求め、そこから辺に平行な線を引いて行けば、自ずと求まります。
その菱形の辺に接するように長方形を作図したのが上記のCGです。

ランプシェードは自宅で使っています。
4年ほど経っていますが、自重で少し歪む事と、漏れ光の明暗差が大きいのが懸案事項になっています。

[52] mixiユーザー 09月09日 00:46

kawachoさんに紹介していただいたpdfファイルの、16ページの立体です。
先日投稿した画像同様、断面を円形にしています。
紹介していただいたサイトの他のpdfファイルも見ましたが、12・20面体だけでなく立方八面体などからも、同様の立体を導くことが出来るようです。
もうちょっと探究してみたいと思います。

＞kawachoさん

なんとなくわかってきたような気がします。
pdfファイルの16ページ・17ページの上部にある図、特に気にせず流していましたが、この図の意味がわかってきました。
断面形状も、この図と関連してるようですね。
それでも、端部の処理とか、実際に作るとなるとたいへんそうですね。

ランプシェード、障子紙に使われるような特殊な紙を利用されているのだと思いますが、透過性のある構造体というのが面白いですね。
折紙にすることで、強度を増してるんでしょうね。

既に御存知かもしれませんが、kawachoさんのアルバムにコメントさせていただきました。
メッセージを送ろうと思ったのですが、設定の関係で送れなかったので。
まだでしたら、ぜひ御覧になってください。

[53] mixiユーザー 09月10日 03:11

>幕賀品さん

その論文を書いたRobert J. Langに会ったとき、「私の論文を読めば簡単にできるよ！」
と言われましたが、実は未だによく判っていません…
作図してみるとp16,p17の図が、求める図形の断面図だというのが判りました。
うまく調整すると左の写真の構造も作れます。

残りの2枚は他の多面体から作ったユニット折紙です。
正十二面体と菱形30面体を基本にし、3DCADで設計、実際に作ってみました。

ランプシェードに使っている紙は、ノーメックス紙という難燃素材です。
220度の連続使用に耐え、水に濡れても全く問題になりません。
堅い素材なので折り加工が少し難しく、光の色が変わるのが難点ですが、
堅さからくるテンションのおかげで、接着剤なしで自立できます。
そのため、1パーツが駄目になっても交換が容易になりました。

[54] mixiユーザー 09月10日 10:22

＞kawachoさん

真ん中の模型、変形十二面体がベースなんじゃないですか？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%89%E5%BD%A2%E5%8D%81%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E4%BD%93
ちょっとすごすぎますね。
学生の頃、半正多面体の頂点の位置と正多面体の関係を調べてみた事があるのですが、変形立方体と変形十二面体には相当てこずった思い出があります。
http://polyhedron.s53.xrea.com/old/chapter07/01.html
それだけに、それをさらに手を加えた造形というのは、本当に驚かされます。
（※苦労しただけに、皆さんどうやってモデリングしてるのか、とても謎です。
私が気付けていないだけで、実はシンプルな方法があるのでしょうか？）

一連の画像を見てて思ったのですが、ストローを使うと簡単に模型が作れるかもしれませんね。
蛇腹になった折れ曲がるストローを上手くつないでやれば、3角形や5角形に加工できるでしょう。
（角の部分が蛇腹になるようにして）
半透明で、キレイなような気がします。

CG多面体のコミュニティなので、それに関連して話しますと。
皆さんも御存知かもしれませんが、3Dプリンタを使うと、モデリングデータから立体を作ることができるそうで、下記のような立体出力をしてくれるサービスを利用すれば、個人でも可能です。
http://inter-culture.jp/

また、モデリングデータをペーパークラフトに変換してくれるソフトもあるそうです。
dxfファイルでの出力も可能らしいので、CADソフトでの編集も可能でしょう。
http://www.tamasoft.co.jp/pepakura/

モデリングは、立体造形の手段の一つにもなっているようです。
（※どちらも使ったことがないので、どの程度のものかはわかりません。）

[55] mixiユーザー 09月10日 15:31

>幕賀品さん

真ん中の物は正十二面体がベースになっています。
１枚目がこれのCGデータ、２枚目がそれの元になったデータ、改造したのが３枚目です。

これを作るきっかけになったのは、Daniel Kwan氏の作品を見たのがはじまりでした。
http://www.flickr.com/photos/8303956@N08/493347496/in/set-72157600203194535
こちらの下段の真ん中です。
彼の多々面体ユニット折紙はもの凄く刺激的です。
http://www.flickr.com/photos/8303956@N08/

この構造の求め方ですが、参考にしたのは日詰明夫氏の著書、「音楽　の　建築」
http://starcage.org/book/publish.html
それと山口陸幸さんのサイトです。
久しぶりに見に行ったら閉鎖されてしまったようで呆然としています…

角棒にしとうよ思ったきっかけは hhaseさんの「あそびをせんとや」の
http://www.lcv.ne.jp/~hhase/memo/m09_03b.html
です。

ストロー多面体、大学で正多面体５種とf=2のフラードームを組み立てたことがあります。
精度が要求され組み立てるのに苦労しましたが、軽くて材料費もかなり安く済みました。
接続方法は　http://zamcopter.web.fc2.com/maths_models.htm　こちらとほぼ同じです

[56] mixiユーザー 09月10日 16:01

3Dプリンタの参考までに・・

George W. Hartさんのサイトです。
http://www.georgehart.com/rp/rp.html

Alan Holdenの板状モデルも出てきます。

[57] mixiユーザー 09月12日 00:09

＞kawachoさん
「変形十二面体」は私の勘違いでした。
形を理解しようと、折れ曲がる箇所をテキトーに結んでいたら、そんな風に見えました。
すみません。
それにしても複雑ですね。
右二つはまだなんとなくわかるような気がしますが、左側のはちょっと理解の範囲を超えています。（今のところは）

山口さんのサイト、私もときどき見てました。
googleのキャッシュの日付を見ると、最近閉鎖されたようですね。
更新手続きのミスとかで、いずれ復活するといいのですが。
書籍も購入しようかと思ったことがあるんですが、パズルの答えを先に覗くような気がして、辞めてしまったんですよね。
残念です。

[58] mixiユーザー 10月02日 20:57

kawachoさんに教えてもらった折紙のサイトと内容がかぶりますが、モデリングしてみたのでアップします。

[59] mixiユーザー 01月03日 12:57

1枚目
正四面体が20個、球状に配置されたものです。
各正四面体の頂点の1つは、球体の中心に位置します。
隣り合う正4面体どうしは、面で接しています。

2枚目
1枚目の正四面体を、内接する切頭4面体に置き換えたものです。

3枚目
2枚目同様、正四面体を内接するテトラポッドに置き換えたものです。

実は、3枚目のような、テトラポッドが複雑に絡み合った球体を作れないかと、データをいじっている中で、その基本となるものとして見つけたのが1枚目です。
今までにも、どこかで見たことがあるように思うのですが、理解できていなかったということになります。
たぶん、有名な立体だとは思うのですが、私個人としては新たな発見で、まだまだ奥が深いなと思ったしだいです。

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